Quelques aspects de la theorie des coques minees - ETH E

These EPFZ No 9298
Quelques aspects de la theorie
des coques minees·
THESE
a
presentee
l'ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE ZURICH
pour I'obtention du titre de
Docteur es sciences techniques
par
LUIGI PELLEGRINELLI
Ing. civil dip\. EPFZ
ne le 12 septembre 1959
d'origine italienne
.
Acceptee sur proposition de
M. le professeur Dr. W. Schumann. rapporteur
M. le professeur Dr. H. Brauchli. corapporteur
1990
1
#
#
R esume.
La theorie des coques peut etre etudiee sous plusieurs aspects selon le principe
mecanique sur lequel elle se base et suivant les differentes linearisations prises en consideration. Le bagage mathematique necessaire est relativement considerable compare a celui utilise pour le developpement des theories des poutres et des plaques
normalement employees par les ingenieurs. En plus, diverses formes de notation
mathematique completement differentes peuvent etre employees, car il n'existe actuellement pas d'unification universellement reconnue dans le domaine de la theorie des
coques. C'est pourquoi, une partie importante du travail est consacree a la mise au
point preliminaire des concepts geometriques et des outils mathematiques necessaires
au developpement correct d'une theorie des coques. La notation tensorielle compacte
est choisie pour cette dissertation.
Apres ce travail preliminaire, vient le traitement de la cinematique et de la statique
d'une coque ainsi que de la loi constitutive.
La cinematique est decrite en representation lagrangienne et en utilisant la surface
moyenne comme reference. De cette description sont deduites en particulier: - la
forme exacte pour le vecteur unitaire normal ala surface moyenne deformee a partir
duquel sont deduites toutes les autres grandeurs caracteristiques de cette surface i
-les equations de compatibilite pour la surface moyenne i -les grandeurs cinematiques
relatives aux surfaces paralleles d'apres les hypotheses de Kirchhoff-Love.
Dans l'etude de la statique, les equations d'equilibre sont deduites apres avoir defini
les applications lineaires resultant de l'etat de tension sur un element de coque.
A partir de la loi de Hooke pour un etat de tension bidimensionnel, les transformations qui lient les grandeurs tensorielles decrivant l'etat de dilatation de la surface
moyenne aux grandeurs decrivant l'etat de tension global sur un element de coque
sont explicitees. Ces transformations sont definies avec les hypotheses de KirchhoffLove du cote cinematique et en referant les grandeurs statiques a la geometrie de la
coque non deformee (statique du premier ordre).
Enfin, la theorie des coques est abordee en partant du principe de variation mixte de
Hu-Washizu qui, apres avoir ete construit en faisant des considerations de mecanique
des continus sur un corps tridimensionnel elastique subissant de petites deformations,
est adapte au cas d'une coque isotrope et homogene se comportant d'apres les hypotheses de Kirchhoff-Love. Dans ce cas la fonctionnelle de Hu-Washizu se compose
de la somme de trois expressions integrales : une sur la surface moyenne et deux au
bord de cette derniere.
En imposant soit certaines relations cinematiques, soit certaines relations statiques,
on tire respectivement soit la fonctionnelle pour l'energie potentielle soit la fonctionnelle pour l'energie compIementaire de la fonctionnelle de Hu-Washizu pour la
coque.
A l'aide du calcul des variations et apres plusieurs transformations integrales, nous
determinons :. - les equations d'equilibre a l'interieur de la coque et les conditions
de Kirchhoff au bord a partir de la fonctionnelle pour l'energie potentielle; - les
equations de compatibilite al'interieur de la coque et les conditions duales a celles de
Kirchhoff au bord a partir de la fonctionnelle pour l'energie complementaire. De plus,
les methodes variationnelles appliquees directement ala fonctionnelle de Hu-Washizu
(sans conditions subsidiaires) donnent de nouvelles integrales au bord qui devraient
ameliorer l'approximation des resultats dans le cas d'une solution numerique.
2
Abstract.
The theory of shells can be studied under different aspects depending on the mechanical principles on which it is based and on the different linearizations used.
The mathematical background of this theory is more important than the one of the
theory of beams and plates. Moreover, many totally different mathematical notations
are used, because there is not yet a universal unification in the field of the theory of
shells. It is why the clarification of the geometrical concepts of the theory of shells
and of the mathematical tools needed for its developpement is an important and the
first part of this work. The compact tensor notation is used in this dissertation.
After these preliminaries, we study the kinematic and the static of a shell, and also
the constitutiv law.
The kinematic is described in Lagrangean form from the middle surface as reference. From this we deduce in particular : - the exact form of the unit vector normal
to the middle surface in the deformated state. From this vector, all other characteristic values' of this surface can be computed ; - the equations of compatibility
for the middle surface ; - the kinematic values for the parallel surfaces under the
Kirchho:ff-Love hypothesis.
In the study of the static of the shells we define the linear transformations for the
stress on an element of a shell. Then we deduce the equations of equilibrium.
From Hooke's law for a plane stress we build the transformations which relate
the strain values of the middle surface on the tensors 'describing the stress of an
element of the shell. These transformations are determined under the Kirchhoff-Love
hypothesis on the kinematic side and by submitting the static values to the geometry
of a non-deformed shell (static of first order).
At last the theory of shells is described using the mixed variational principle of HuWashizu. This principle is first built under continuum-mechanical considerations for
a three-dimensional elastic body, which is subjected to small deformations. Then, the
principle is adapted to a homogeneous and isotropic shell requiring the KirchhoffLove hypothesis. In this case, Hu-Washizu funetional is the sum of three integral
expressions : one on the middle surface and two others on the boundary of this
surface.
From Hu-Washizu funetional, by assuming either some kinematic or some static
relations, one gets respeetively the funetional either for the potential energy or for
the complementary energy.
By calculus of variations and after several integral transformations, we determine :
- the equations.of equilibrium inside the shell and Kirchhoff conditions on the boundary from the functional for the potential energy ; - the equations of compatibility
inside the shell and the conditions dual to Kirchhoff-conditions on the boundary from
the functional for the complementary energy.
Moreover, the variational principles applied directly to Hu-Washizu funetional (without any supplementary conditions) give new integral formula on the boundary which
should improve the numerical approximations.