MathИmatiques pour les systХmes dynamiques

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Avant-propos
Cet ouvrage fait suite au livre Algèbre et analyse pour l'automatique paru
dans cette même collection. Même si leurs dates de parution dièrent, ces deux
ouvrages ont été conçus simultanément et leur ensemble pourrait s'intituler
Outils mathématiques pour l'automatique .
La problématique fondamentale de l'automatique est celle de la conception,
de la mise en ÷uvre et de l'exploitation des moyens permettant à l'homme
de maîtriser le comportement de systèmes complexes, naturels ou articiels.
Science des systèmes1 , elle constitue donc une discipline transversale à de nombreux domaines d'application : elle intervient ainsi dans les sciences pour l'ingénieur, celles de l'information et de la communication, celles du vivant...
Cependant, si les concepts sur lesquels elle se fonde (rétroaction, modélisation, système dynamique, état, signal, optimalité...) présentent une ecacité
pratique indéniable, leur apprentissage comme leur développement nécessitent
d'accéder à un bagage d'outils mathématiques assez variés. Ceci constitue une
caractéristique de la discipline : il sut pour s'en convaincre d'interroger les
étudiants de licences et maîtrises IEEA, des écoles d'ingénieurs ou des formations permanentes. Tous lui accordent une place à part (en bien ou en mal !)
liée à son niveau de théorisation relativement exigeant.
La question se pose alors de dénir une boîte à outils mathématiques assez riche et susamment compacte, à laquelle puissent faire appel les étudiants
en formation initiale, mais également les doctorants et chercheurs conrmés.
Notre but a donc été de réunir une variété susante d'outils mathématiques
impliqués dans le domaine de l'automatique, en un minimum de pages et à un
niveau susamment poussé. Le lecteur familier de ces disciplines (et de la
recherche en général) imaginera aisément la gageure d'un tel objectif ! Car il
est bien certain que de tels outils sont en constante évolution et que la seule
possibilité réaliste était d'en donner une photographie instantanée portant
sur des besoins relativement stabilisés.
1 Le concept de système , entendu en tant qu'outil pour la modélisation et l'utilisation
de la complexité, implique la prise en compte conjointe de plusieurs points de vue : opérations créant une dynamique temporelle, auto-évolution de ces opérations par rétroaction,
prise en compte de l'environnement, émergence d'une nalité, avec non-séparabilité de ces
diérents aspects. On peut considérer que l'automatique contribue directement à l'étude de
ces questions.
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Mathématiques pour les systèmes dynamiques
Après avoir établi un bilan des concepts mathématiques nécessaires, la solution retenue a donc été de les présenter en deux livres traitant deux aspects
complémentaires de façon relativement indépendante :
un premier ouvrage, déjà mentionné, a rassemblé les éléments d'analyse,
d'algèbre et d'optimisation : Analyse (Topologie - Dérivations et intégrations Fonctions à variable complexe Séries et fonctions orthogonales), Algèbre et polynômes (Structures algébriques Polynômes Quasi-polynômes), Matrices (Formulaire de calcul matriciel Equations
matricielles classiques Faisceaux matriciels Matrices polynomiales et
rationnelles) et Optimisation (en dimension nie ou non) ;
le présent ouvrage concerne les outils mathématiques pour les systèmes
dynamiques : Mathématiques pour les signaux et systèmes (Distributions,
transformées de Laplace, de Fourier, en z Calcul opérationnel de Mikuzi«ski Probabilités et calcul stochastique) et Systèmes dynamiques
(Géométrie diérentielle Equations diérentielles ordinaires Algèbre
diérentielle Equations diérentielles avec discontinuités Equations
aux diérences Equations diérentielles à retards Systèmes à paramètres distribués).
Cette solution en deux volumes indépendants nous a semblé constituer un
compromis ecace entre, d'une part, une concision trop importante qui aurait
privé l'ouvrage de son intérêt pour un public exigeant, et d'autre part, une
exhaustivité aussi gourmande en place qu'inaccessible.
Sur la base de ce découpage, nous avons fait appel à des auteurs spécialistes
de chacun des domaines, gardant une vue d'ensemble sur la discipline et ayant
aussi une bonne expérience pédagogique. Ainsi, chaque chapitre fait-il référence
à diérents domaines d'utilisation en automatique. Bien sûr, ces exemples restent volontairement réduits puisqu'ils ne constituent qu'un échantillonnage de
certains thèmes traités dans la collection Automatique dirigée par Claude
Foulard, dans le cadre plus général du Traité Information, Commande, Communication .
Par ailleurs, nous espérons que ce livre, volontairement ouvert, ne se limitera
pas au seul public automaticien mais pourra être une source d'information
pour d'autres utilisateurs de mathématiques. C'est en tous cas dans cette intention qu'il a été conçu.
Pour conclure, je souhaite remercier ici tous les auteurs qui ont accepté
de contribuer à cet ouvrage : la relecture et l'unication de leurs diérentes
contributions m'ont permis de constater, avec plaisir, la grande variété des
connaissances exposées dans ces dix chapitres.
Jean-Pierre Richard