Chapitre 10 : Mécanique des fluides

Chapitre 10 : Mécanique des fluides
1. Pression hydrostatique
• Les fluides regroupent gaz et liquides.
• En général, on considère des fluides incompressibles.
Ce n’est plus le cas en thermodynamique.
• Un objet immergé subit une pression de toutes parts.
force normale !
• Par définition :
• Unité : Pascal (Pa)
F
F! .!n
=
p=
A
A
• Exemples :
- punaise
F!
p1
paire action-réaction
pression différentes p1 != p2
p2
−F!
- pression atmosphérique : force = poids de l’air
p = 1.013 105 Pa = 1013 hPa = 1 atm
- vide : p = 0 Pa
• Fakir :
2. Effet de la profondeur
• Colonne de fluide incompressible en équilibre : V = Ah
p0 A
Newton selon la verticale : p0 A + mg = pA
p0 A + ρgV = pA
mg
p0 + ρgh = p
pA
La pression ne dépend que de la profondeur.
A
B
C
D
pA = pB = pC = pD
• Loi de Pascal : toute pression supplémentaire se transmet à tout le fluide.
p0
p = p0 + ρgh
h
p
• Vérins hydrauliques :
F1
p1
F2
p2
F1
F2
p1 =
=
= p2
A1
A2
• Estimer l’épaisseur de l’atmosphère
si colonne d’air homogène :
p0
h=
ρg
105
h=
≈ 8 km
1.25 10
3. Mesurer la pression
• Manomètre :
• Baromètre :
vide
h
h
h
h
hauteur = différence de pressions
expérience de Torricelli
ph = pl + ρgh
p0 = ρgh
une pression étalon !
• Expérience de Torricelli
h = 760 mm
• Anciennes unités :
1 atm = 760 mm de Hg
1 hPa = 1 mb
1 torr = 1/760 atm
4. Principe d’Archimède - Flottabilité
• Origine :
!
B
cube de fluide en équilibre
il doit exister une force B qui équilibre mg
si cube de métal, les forces sont différentes
m!g
cette force B provient du fluide environnant
ph
pg = pd
pg
pd
(pas de force latérale)
pb = ph + ρgh (force dirigée vers le haut)
B = (pb − ph )A = ρghA = ρgV
pb
B = ρgV
B = poussée d’Archimède = poids du fluide déplacé par l’objet
• Coule ou flotte ?
bilan des forces : mg − B = (ρ − ρf )gV
bois
métal
!
B
m!g
m!g
ρ < ρf flotte
• En surface :
!
B
ρ > ρf coule
volume total = volume immergé + volume émergé
!
B
mg − B = 0
ρgVtot − ρf gVim = 0
m!g
ρ
Vim
=
ρf
Vtot
• Iceberg :
ρeau = 1000 kg/m3
ρglace = 917 kg/m3
Vi
= 0.917
Vtot
• Bateaux :
• Problème du glaçon qui fond :
avant
après
∆h ?
Le niveau d’eau ne varie pas !
• Application : fonte des glaces aux pôles.
5. Dynamique des fluides
• Types d’écoulement :
- laminaire : la vitesse en chaque point est constante au cours du temps.
On peut définir des lignes de courant.
- turbulent : la vitesse en chaque point de l’écoulement varie
au cours du temps.
• Fluide idéal : - écoulement laminaire : vitesse stationnaire en un point
- non-visqueux : pas de perte d’énergie
- incompressible : densité unique
- irrotationnel : pas de tourbillon
6. Equation de continuité
• Pipe-line :
∆x2
v2
∆x1
v1
tranches de fluide :
∆x1 = v1 ∆t
m1 = ρA∆x1
∆x2 = v2 ∆t
m2 = ρA∆x2
fluide incompressible : m1 = m2
A1 v1 = A2 v2
• Débit :
Av = Q
L’équation de continuité est donc une équation de conservation du débit.
• Exemples :
- bouchons
la vitesse augmente
dans le rétrécissement !
- seringues
section piston > section aiguille
vp
vs
≈ 100 − 1000
vp
vs
• Filet du robinet :
Les particules d’eau sont en chute libre : v = v0 + gt
7. Equation de Bernoulli
∆x2
• Tranches :
z2
v1
z1
∆x1
travail : W1 = p1 A1 ∆x1 = p1 V
W2 = −p2 A2 ∆x2 = −p2 V
v2
W1 + W2 = (p1 − p2 )V
1
1
2
énergie cinétique : ∆K = mv2 − mv12
2
2
énergie potentielle : ∆U = mgz2 − mgz1
W = ∆U + ∆K
1
1
2
(p1 − p2 )V = ρV v2 − ρV v12 + ρV gz2 − ρV gz1
2
2
1 2
p + ρv + ρgz = C
2
• Loi de Torricelli :
v=0
v
Bernoulli :
1 2
ρgh = ρv
2
!
v = 2gh
c’est une simple chute libre !
• Effet Venturi
Bernoulli simplifié :
1
∆p = − ρ ∆v 2
2
Une dépression se crée là où le fluide s’écoule rapidement.
• Expérience : balle de ping-pong :
• Adhésion :
flux d’air
• Portance des ailes d’avions :
F!
vh
vb < vh
p b > ph
vb
vh
vb
• Tempêtes et toitures :
F!
vent
vb ≈ vh
• Tube de Venturi :
v1
p2
v2
p1
v1 < v2
p 1 > p2
v1
p1
aspiration
• Application : approcher le vide
10−2 atm
• Autre application : sprays
8.Viscosité
• Définition : en écoulement laminaire, des couches de fluide de surface S
glissent les unes sur les autres : force de frottement entre les couches.
∆z
v
∆v
gradient de vitesse
∆z
v=0
frottement :
∆v
Ff = ηS
∆z
Les frottements visqueux impliquent une dissipation d’énergie.
• Unités de la viscosité : [Pa s]
• Valeurs typiques de la viscosité :
fluide
air
eau
huile
miel
verre fondu
η [Pa s]
ρ [kg/m3 ]
2 10−5
1.25
10−3
0.08
1000
900
103
-
1012
• Loi de Poiseuille : débit dans un tube cylindrique
L
d
profil de vitesse parabolique
π ∆p d4
Q=
8 η L
• Frottement visqueux :
Un objet sphérique placé dans un fluide en écoulement laminaire subit une force.
F = 6πηRv
• Chute dans un fluide visqueux : vitesse limite
loi de Stokes
• Turbulence : les tourbillons produisent une chute de pression
force de frottement supplémentaire :
ρ 2
F = C Av
2
C est le coefficient de résistance qui varie de 0.05 à 1.3
• Nombre de Reynolds :
rapport des forces de frottement turbulence/laminaire
ρvd
Re =
η
- écoulement laminaire si Re < 1
- écoulement turbulent si Re > 1
• Ronds de fumée :
Etna, Sicile.
enroulement !
• Autres anneaux : dans l’eau !
PMMH, ESPCI, Paris.
dauphins
9. Tension superficielle
• Définition :
F!
F = 2γ"
force par unité de longueur
• Origine à l’échelle moléculaire : déficit en énergie de cohésion
a
U
γ≈ 2
2a
énergie par unité de surface
• Valeurs typiques : l’eau a une tension superficielle élevée !
liquid
huile
eau + savon
glycérol
eau
mercure
γ [N/m]
0,021
0,030
0,063
0,072
0,500
l’ajout de savon diminue
• Forme idéale des fluides : sphère
A volume équivalent, la sphère
minimise la...
• Instabilité de Plateau-Rayleigh :
4 3
V0 = πR L = n πr = Vn
3
R
cylindre
2
λ
instabilité
gouttes
r
Un cylindre de liquide se décompose
spontanément pour former des goutelettes.
Sn
n 4πr2
=
S0
2πRL
3
r> R
2
condition de Plateau
• Expérience du bateau :
!γ
!γ
Objet au repos
eau
eau+savon
!γ
!γ
F!
Déplacement de l’objet
eau
La tension superficielle peut induire des mouvements.
• Objets en surface : punaise
vue du dessus
vue du dessous
• Insectes surfeurs :
gerris remigis
• Loi de Laplace :
forces capillaires = forces de pression
2γ
∆p =
R
• Bulle de savon : deux interfaces :
4γ
∆p =
R
• Loi de Laplace généralisée : courbure
∆p = γ
!
1
1
+ !
R R
"
= γC
caténoïde : surface à courbure nulle
• Adhésion capillaire : chateaux de sable
• Contact liquide/solide :
forme sphérique
flaque
• Angle de contact : quelle que soit la taille de la goutte
jonction triple : air, liquide, solide
air !γ
θ
liquide
solide
mouillant :
non-mouillant :
θ < 90◦
θ > 90◦
interaction forte solide /liquide
interaction faible solide/liquide
• Exemples typiques :
système
angle de contact
eau/verre
15
eau/parafine
115
mercure/verre
140
• Surfaces superhydrophobes : l’eau “glisse” sur ces surfaces
- vêtements imperméables
- pare-brises des voitures
- etc...
• Montée capillaire :
!γ θ
θ
!γ
force capillaire = poids de la colonne de liquide
2πRγ cos θ = f = ρgV = ρg πR2 h
h
m!g
2γ cos θ
h=
ρgR
Loi de Jurin
• Remarque : Pour un liquide non-mouillant, le liquide descend dans le tube !