Chapitre 7: Dynamique des fluides

Chapitre 7: Dynamique des fluides
But du chapitre: comprendre les principes qui permettent de décrire la circulation sanguine.
Ceci revient à étudier la manière dont les fluides circulent dans les tuyaux. Selon la vitesse du
fluide, l'écoulement est laminaire ou turbulent. Dans ce qui suit, on se restreindra à l'étude des
fluides laminaires, visqueux ou non.
7.1 Equation de continuité
La conservation de la matière impose que le débit d'un fluide dans un tuyau (ou du sang dans
les veines) est constant. Le débit, noté Q est donné par: Q = S ⋅ v en m3/s. L'équation de
continuité s'écrit:
Q = S1 ⋅ v1 = S2 ⋅ v 2 ,
€ les parties où le tube est plus étroit.
ce qui signifie que le fluide circule plus vite dans
Exemple: aspirateur, sèche-cheveux, etc.
€
7.2 Equation de Bernouilli
Le théorème de Bernouilli est une application de la conservation de l'énergie au cas des
fluides en mouvement. Un certain travail est fourni au fluide lorsqu'il passe d'un point à un
autre et ce travail est égal à la variation d'énergie mécanique. Dans le cas d'un fluide laminaire
visqueux et incompressible, on obtient la relation suivante:
1
1
p1 + ρv12 + ρgh1 = p2 + ρv 22 + ρgh2 + Δp1,2
2
2
N
J
où pi est la pression aux points (1) ou (2); l'unité de pression est le Pa et Pa = 2 = 3
m
m
€
3
le deuxième terme est une densité d'énergie cinétique [J/m ]
le troisième terme est une densité d'énergie potentielle [J/m3]
Δp1,2 est la perte de charge et représente la densité d'énergie nécessaire pour qu'un fluide
€
visqueux circule dans un tube.
€
7.3 Fluides parfaits
Un fluide non visqueux est dit parfait, et dans ce cas Δp1,2 =0. L'équation de Bernouilli se
réduit à:
1
p + ρv 2 + ρgh = constant .
2
€
A partir de cette équation on retrouve certains des résultats de la statique des fluides. Exemples:
€
-1 -
Dynamique des fluides
1) Si la section du tube est constante de sorte que la vitesse du fluide est elle aussi constante,
on trouve que la variation de pression entre deux points dépend de la différence de hauteur
entre ces points. Pour le manomètre représenté ci-dessous on a::
D'après l'équation de Bernouilli:
p + ρgy1 = pbas = patm + ρgy 2
Donc la pression dans le récipient vaut:
p = patm + ρgy 2 − ρgy1 = patm + ρg(y 2 − y1 ) = patm + ρgh
€
La mesure de la pression (ou tension) artérielle par cathétérisation, est basée sur ce même
principe: on introduit une canule dans l'artère et on utilise un liquide adéquat pour le liquide
de manomètre, c'est-à-dire du mercure pour les pressions artérielles, une solution salée pour
les pressions veineuses (qui sont beaucoup plus faibles que les pressions artérielles). Au lieu
de différence de hauteur d'un liquide, on peut aussi mesurer la pression exercée par le liquide
du manomètre contre une membrane et traduire cette pression en signal électrique.
€
€
2) Dans le cas où l'écoulement est horizontal et s'effectue dans un tuyau de section variable,
1
1
on a: p1 + ρv12 = p2 + ρv 22 (la densité d'énergie potentielle est la même aux deux points
2
2
considérés et a été simplifiée dans l'équation) . Cette équation exprime le fait que lorsqu'en un
point la vitesse du fluide est grande, la pression en ce même point est faible. Cette
constatation permet d'expliquer bien des phénomènes de la vie courante: les toits 'arrachés' par
la tempête, le rideau de douche qui 'colle' contre le corps, les avions qui volent.
En utilisant la relation ci-dessus avec l'équation de continuité, on peut écrire que la variation
de pression entre les points (1) et (2) vaut:
 A2 
1
p1 − p2 = ρv12  12 −1 .
2
 A2 
La connaissance des pressions et des aires en deux points, permet de calculer la vitesse en un
des points et d'en déduire l'autre vitesse par l'équation de continuité.
€
7.4 Fluide visqueux et équation
de Poiseuille
Lors de l'écoulement laminaire d'un fluide visqueux, la vitesse n'est pas la même en différents
points de la section du tube. Elle est nulle au niveau des parois et maximum, vmax , au centre.
1
L'expérience montre que la vitesse moyenne vaut v = v max . La chute de pression (perte de
2
charge) le long d'un tube horizontal de section constante dépend de l'importance des forces
visqueuses, et puisque celles-ci dépendent de la vitesse, de la vitesse moyenne. Par ailleurs, la
longueur du tube intervient aussi, puisque le travail dépensé pour lutter contre les forces
€
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Dynamique des fluides
visqueuses est proportionnel au déplacement. On a donc: Δp1,2 ∝ v ⋅ l . Cette remarque permet
d'écrire ensuite la vitesse moyenne en fonction des paramètres pertinents, telles que perte de
charge, longueur du tube, viscosité du fluide, rayon du tube. Une analyse dimensionnelle
Δp ⋅ R 2
donne: v =
et le débit moyen Q = Av = π
€R 2 ⋅ v s'écrit:
8ηl
Δp ⋅ π ⋅ R 4
Q=
, c'est la loi de Poiseuille.
8η ⋅ l
€
€ On voit donc que le débit est considérablement influencé par le rayon du tube. En effet,
lorsque le rayon est augmenté de 20%, le débit double. Ce résultat joue un rôle crucial pour
expliquer la circulation du sang dans les artères, artérioles, capillaires.
€
Exemple: le débit de sang à travers l'artère d'un chien (rayon 4 mm) est de 1 cm3/s. On peut en
déduire que la vitesse moyenne du sang est de 2 cm/s, la vitesse maximum de 4 cm/s et la
perte de charge le long de l'artère sur une distance de 10 cm de 2,1 Pa.
L'illustration (a) montre que la pression diminue lorsque la vitesse augmente (réduction de
section du tube); l'illustration (b) montre qu'il y a de plus chute de pression le long d'un tuyau
de section (donc de vitesse) constante, à cause de la viscosité du fluide.
€
7.5 Fluides laminaire et turbulent
Si la vitesse d'un fluide dépasse une certaine valeur critique, l'écoulement devient turbulent.
Les forces de frottement dans le fluide deviennent plus importante et le passage du fluide dans
un tube demande davantage d'énergie. La vitesse critique à partir de laquelle l'écoulement est
turbulent est donnée par:
ℜη
v critique =
où ℜ est le nombre de Reynolds (les autres grandeurs ont été définies ailleurs
ρD
dans le texte). Si ce nombre est inférieur à 2000, le régime est laminaire. S'il est supérieur à
3000, le régime est turbulent. Entre ces deux valeurs le régime est instable.
€
Ecoulement turbulent
Exemple: Dans une aorte de diamètre 2 cm, l'écoulement devient
3000 ⋅ 2,1⋅10−3
turbulent à partir de v critique =
= 30 cm /s . Pour un
1,05 ⋅10 3 ⋅ 0,02
débit de 5 litres/min, la vitesse d'écoulement dans cette aorte est
de 26,5 cm/s. Lors d'une activité physique intense, le débit
augmente et donc l'écoulement sera turbulent.
€
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Dynamique des fluides
7.6 Système cardio-vasculaire
L'analogie de la circulation sanguine avec un système de plomberie a des limites, car le sang
n'est pas un simple fluide; il contient des cellules dont les dimensions sont à peine inférieures
à celles de certains capillaires. Cependant, la description vue plus haut permet de donner une
première image approximative du système de circulation sanguine, de discuter de la pression
sanguine et de la puissance délivrée par le coeur.
Le sang est pompé à travers le système par le
coeur, qui est constitué de deux pompes
comprenant chacune deux chambres appelées
oreillette et ventricule. Le sang en
provenance de tout le corps, sauf les
poumons, entre dans l'oreillette droite qui se
contracte et chasse le sang dans le ventricule
droit. Le ventricule se contracte à son tour et
envoie le sang dans les poumons. C'est là que
le sang se débarrasse du dioxyde de carbone
et absorbe l'oxygène. Régénéré, le sang passe
alors dans l'oreillette gauche, puis le
ventricule gauche qui force le sang dans
toutes les parties du corps - sauf les poumons,
à travers l'aorte. L'aorte se divise en artères
puis en artérioles et finalement en capillaires
pour alimenter tous les organes. L'échange de
gaz, d'éléments nutritifs, de déchets entre le
sang et les tissus se fait par diffusion à travers
les parois minces des capillaires.
Le sang est pompé par impulsions. La pression maximum avec laquelle le coeur chasse le
sang dans le système, que l'on nomme la pression systolique, vaut environ 120 torr (mmHg).
La pression minimum, 80 torr. On prend pour pression moyenne exercée par le coeur 100
torr=13,3 kPa (1 torr=1 mmHg=0,133 kPa). Ceci correspond à une hauteur de colonne de
sang de 129 cm (densité du sang: 1,05). Les pertes d'énergie occasionnées par la viscosité du
sang et son frottements avec les parois artérielle, font que la pression n'est plus que de 30 torr
au niveau des capillaires et qu'elle tombe quasiment à zéro juste avant de revenir au coeur. Le
système veineux doit donc chasser activement le sang vers le coeur grâce aux contractions
musculaires et à un système de valves. La pression en divers endroits du corps dépend de la
position:
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Dynamique des fluides
La puissance délivrée par le coeur pour maintenir l'écoulement sanguin est égale à la
puissance dissipée par les forces de frottements visqueux. Le travail des forces de frottements
est égal à la force F multipliée par le déplacement L: Travail = F ⋅ L = p ⋅ A ⋅ L = p ⋅ V
Travail p ⋅ V
=
= pression ⋅ débit , soit P = p ⋅ Q .
La puissance vaut: P =
Temps
t
€
Exemple: quelle est la puissance délivrée par le coeur pour un corps au repos? Dans ce cas, la
pression moyenne est de 100 torr=13,3 kPa et le débit de €
5 litres/minutes, ce qui donne pour
€
la puissance cardiaque, P =1,1 W.
Dans le tableau ci-dessous, on donne quelques valeurs utiles concernant le système cardiovasculaire (Tableau pris dans Kane et Sternheim):
Pression moyenne dans les artères
Pression moyenne dans les veines
Volume du sang (corps humain de 70 kg)
Temps pour un cycle complet (repos)
Débit cardiaque (au repos)
Masse volumique du sang (37°C)
Viscosité du sang (37°C)
12,8 kPa
1,07 kPa
5,2 litres
54 s
9,7.10-5 m3/s
1,06.103 kg/m3
2,08.10-3 Pa.s
Remarques finales:
Les subdivisions les plus fines du système artérielle sont entourées de fibres musculaires. En
se resserrant ou se dilatant selon les besoins, le corps dispose d'un mécanisme d'ajustement
pour l'écoulement du sang.
Comme le sang dans les artères est à une pression relativement haute, le sectionnement d'une
artère est grave.
Les dépôts dans les artères réduisent leur section et augmentent la vitesse d'écoulement du
sang. Si la vitesse est plus grande, la pression en ces endroits est réduite (loi de Bernouilli). Il
peut alors arriver que la pression extérieure soit supérieure à la pression dans l'artère et la
bloque totalement. Si cela se produit au niveau de l'artère coronaire, le sang cesse d'affluer
vers le muscle cardiaque et le coeur cesse de fonctionner.
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