Mécanique des Fluides cours LS1 - partie I - Poly

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POLY-PREPAS
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Sections : L1 Santé -
Olivier CAUDRELIER
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1
Sommaire
1. Vocabulaire
2. Hydrostatique
a) Lois de Pascal
b) Machines hydrauliques
c) Pression atmosphérique
d) Circulation sanguine
e) Effets de l’accélération
f) Unités de pression
3. Dynamique des Fluides Parfaits
a) Définitions
b) Equation de Bernoulli
c) Conséquences de l’ Equation de Bernoulli : effet-Venturi, artériosclérose, Théorème de
Torricelli, tube de Pitot,
4. Dynamique des Fluides Réels
a) Force de viscosité, fluide newtonien
b) Ecoulements laminaire/turbulent
c) Nombre de Reynolds
d) Vitesse critique
e) Loi de Poiseuille
f) Fluides réels en écoulement turbulent : caractéristiques, les souffles, mesure de la tension
artérielle
5. Hémodynamique
a) Viscosité du sang
b) Le sang n’est pas newtonien
c) Effet Fahreus-Lindquist
6. Forces de cohésion dans les liquides
a) Tension superficielle
b) Angles de contact / capillarité
c) Loi de Jurin
d) Loi de Laplace
2
I.
Vocabulaire ; définitions :
Mobilité : Un fluide peut être considéré comme composé d'un grand nombre de particules matérielles,
très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres ; contrairement à un solide, un fluide
n’a pas donc pas de forme propre : il se répand et épouse la forme du récipient qui le contient.
Isotropie : un fluide est un milieu isotrope, c-à-d que les propriétés du fluide sont les mêmes dans
toutes les directions de l’espace qu’il occupe.
Compressibilité : il existe deux grandes classes de fluides, différenciés par leur compressibilité :
• Les fluides compressibles : les gaz, qui occupent tout l’espace qui leur est offert (fluide
expansible varie selon la variation de volume)
• Les fluides incompressibles ou quasi-incompressibles : les liquides, qui occupent un volume
déterminé (fluide inexpansible ou isovolume )
la compressibilité traduit la diminution de volume en réponse à un accroissement de
pression.
Viscosité : caractérise l’aptitude d’un fluide à s’écouler
fluide parfait : cas idéal où l’on considère qu’il n’y a pas de frottements entre les
molécules ; le mouvement du fluide s’effectue « d’un bloc », l’énergie est conservée : pas de
viscosité
fluide réel : les molécules interagissent entre elles lors d’un écoulement : frottements
internes sources de déperdition énergétique ; si l’on met en mouvement une partie du fluide, ce
mouvement se communique de proche en proche aux régions voisines, mais en s’affaiblissant
progressivement (gradient de vitesses). Chaque couche « résiste » au mouvement
d’entraînement : viscosité
Ecoulement stationnaire : un régime d’écoulement est dit stationnaire lorsque les paramètres qui le
caractérisent : pression, température, vitesse, masse volumique…, ont une valeur constante au cours
du temps
Pression (statique) : dans un liquide au repos, la pression en un point M représente la force exercée
perpendiculairement par le liquide sur une surface S -réelle ou imaginaire- entourant le point M :
en ; en ; en ²
3
La pression est une grandeur macroscopique, elle représente la résultante des chocs microscopiques
continuels qui ont lieu entre les molécules entre elles et contre les parois d’un volume V (cf
Thermodynamique : ). Elle est toujours normale à la surface.
Pression dynamique (ou cinétique) : un fluide en écoulement crée une pression supplémentaire
II.
Statique des Fluides : HYDROSTATIQUE
a) Dans un liquide incompressible et isotherme au repos, la différence de pression mesurée entre
deux points peut être reliée au poids de la colonne de liquide ayant comme base l’unité de
surface, et comme hauteur la différence de niveau entre les deux points.
1ère Loi de Pascal : « la pression est la même en tout point de même altitude » ; en
particulier, elle ne dépend pas de la forme du récipient, ni du volume autour (la pression à
10 m sous l’eau est la même que l’on soit dans un puits ou sous la mer)
Paradoxe de Stévin sur l’Hydrostatique : ce n'est pas le volume qui compte mais la
hauteur h du fluide
La pression au fond de chacun de ces verres est la même, puisque que chaque verre contient la même
« hauteur » de fluide (la surface du fond étant la même dans les 3 verres) ; pourtant la pression exercée
sur le sol par chacun de ces verres n’est pas la même !"#$$%&' ( )*+%,# - paradoxe
Application : les vases communicants, la hauteur d’eau ( dans les deux récipients)
doit être la même dans chacune des récipients
4
2ème Loi de Pascal : « la différence de pression entre deux points est proportionnelle à la
différence de hauteur H entre ces deux points »
∆ /0
ou :
1 /2 1 /2
Remarque : la pression étant proportionnelle à la profondeur, il s'ensuit qu'un corps immergé
subira une force plus grande sur sa face inférieure que sur sa face supérieure, d'où résulte le
principe d'Archimède
b) Théorème de Pascal : « une variation de pression se transmet intégralement dans un
liquide incompressible en équilibre »
(ce théorème est valable pour les gaz).
application : la presse hydraulique
Soient deux cylindres A et B de sections 34 et 35 communicant entre eux, avec 34 6 35 :
On exerce une force
4
sur la surface 34 ; la pression est alors 4 47
34
D’après le Théorème de Pascal, la pression est transmise intégralement, on a donc : 5 4
Or, 5 57
35 , on a donc :
35 57
8
34 8 9 : 9
47
Comme 35 ; 34 , on a donc : 5 ; 4 : on peut démultiplier les forces de manière considérable
(soulever un avion avec un vérin pneumatique)
5
c) Pression atmosphérique : (Torricelli ~ 1643)
L’air est le fluide responsable de la pression atmosphérique ; celle-ci correspond donc au poids de la
colonne d’air (8 à 15 km pour la troposphère) s’exerçant sur une unité de surface ; au niveau de la mer,
le corps humain supporte une pression de 1 kg/cm², ce qui signifie que l’être humain supporte près
d’une tonne d’air.
Pression absolue : en toute rigueur, il faudrait toujours tenir compte de la pression atmosphérique
quand on mesure une pression à une certaine profondeur (par ex sur un sous-marin en mer), et noter la
pression absolue à la profondeur z :
=> ?2@ A 1 /2
Cependant, les objets pour lesquels on mesure une pression ont déjà une pression interne égale à la
BCD , et donc ces deux pressions s’annulent on préférera parler uniquement de la pression exercée
par le fluide seul : /2
On la nomme : pression manométrique, ou pression piézométrique, ou pression transmurale, ou
pression de jauge
E Pression artérielle : Correspond au ∆ entre l'intérieur et l'extérieur du vaisseau
Variations de la pression atmosphérique selon l’altitude z (sur une grande hauteur) :
J/
?2@ F . HI KL 2
(formule du nivellement barométrique)
Application : altimètre
d) Circulation sanguine :
•
Variations des pressions circulatoires selon la posture :
COUCHE
(différences minimes dues à la viscosité du sang)
6
DEBOUT
M
NHO> PHQR 1 /S
HRHQ PHQR T /S
U
e) Effets de l’accélération :
Une personne peut subir une accélération VW (pilotes de chasse, F1, ascenseur, manèges, etc…) ; la
personne ressent alors non son poids réel : XW YW , mais son poids effectif : XW ?VW 1 YW@
si l’accélération est vers le haut : XW 1 et ?/ 1 @ : on ressent davantage son
« poids » (ex : ascenseur au démarrage en montant, on se sent « tassé » au sol)
La pression dans le cerveau devient : Z#"[#B+ Z&#+" T ?Y 1 V@\Z[ et donc, diminue ;
] à partir de V 2 _` 3Y, Z#"[#B+ b 0 voile gris ?2Y@: l’œil n’est plus
correctement irrigué, vision floue, les couleurs s’estompent, puis : voile noir : cécité
temporaire, jusqu’au blackout (évanouissement à 6Y)
XW T et ?/ T @ : on ressent davantage son
si l’accélération est vers le bas : « poids » (ex : ascenseur au démarrage en descendant, on se sent comme « soulevé » du
sol, ou : chasseur en piqué)
La pression dans le cerveau devient donc :
Z#"[#B+ Z&#+" T ?Y T V@\Z[ Z&#+" 1 ?V T Y@\Z[ et donc, augmente par
rapport à son état normal (Z[ ?ef_`@~9,3iV@
] si V T2 _` T 3Y, voile rouge (le sang monte dans les yeux, le pilote voit dans
un flou rose)
] si V j T5Y rupture d’anévrisme
7
f) Unités de pression :
Dans le Système International, l’unité de la pression est le Pascal ; il correspond à l’application
d’une force de 1 sur une surface de 1 ² (un confetti sur la main)
On utilise fréquemment l’hectoPascal : 1 \V 100 V
Correspondances avec d’autres unités :
. I
A Fm S F mFF ~ Fn =R A ~ Fn 0/ mm 0 o FF g) Poussée d’Archimède :
« Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale
ascendante XXXXW
p4 , de valeur égale au poids du volume V du fluide déplacé par le corps
immergé » :
XXXXW
p4 T XW)*+%,# ,é!*BZé
XXW
XXXXXW
r9 T stQOH . uPRN> HR/é . /
*v wV_xy z {_|` e} `~ f_`| e yV_~ y z {&+*#
p. y Forces de frottement fluide :
•
XW T . XW
Pour des vitesses relativement faibles (régime laminaire) : s
* A savoir : Le coefficient k dépend de la forme, de la surface, de la nature de l’objet.
Pour une bille de rayon R plongée dans un fluide de viscosité η :
XW TrR
XW
s
•
•
PRQtH OH APH> ?AH>>H s=tH@
XW T . XW²
Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent) : s
Généralisation, selon la vitesse de l’écoulement, les forces de frottement fluide sont de la
XW
forme : XW
s T . 8
Vitesse de sédimentation :
Le sang est constitué d’une suspension cellulaire (globules rouges, globules blancs, ) dans le plasma,
de viscosité , de masse volumique Nt>
Si on laisse au repos dans un tube à essai du sang non coagulable, on constate que les éléments les plus
denses se déplacent vers le fond et atteignent une vitesse-limite : la vitesse de sédimentation.
Démonstration non-indispensable :
Système : {le Globule Rouge}
Référentiel : terrestre considéré comme galiléen
XXXW, p
Bilan des forces : XW,
XXXXW
4
ème
2 Loi de Newton : ∑ W#C . VW
XW 1 r
XW 1 s
X
XW
XXXXXW
9 . T p4 T V
On projette sur un axe [Oz) vertical descendant :
d’où, avec : V ,[
,C
et 6p
Y T )*+%,# {Y T 6p Avec : {
Avec : { !*B$ {
e
e
6p
Y 1 T
T
e
e
!*B$ {
e
6p
Y 1 T
T
e
{
{

p )*+%,#
)*+%,#
e
6p
9
Y 1 T
Y 1 T
T
T
4
e

2
3 p 9
Lorsque la vitesse-limite est atteinte : t O
OA
F
!*B$
Y 1 T
!*B$
9

0 Y 1 T
T
9

2
2
L’équation différentielle devient :
2 2 Y
T 9
K /

K T |Vw
Nt>

Cette vitesse de sédimentation est très faible du fait de la petite valeur de R et de la faible
différence des masses volumiques.
La vitesse de sédimentation est un élément d'orientation diagnostique, permettant d’obtenir des
informations sur le nombre de , leur volume, la viscosité du plasma, le taux de certaines protéines
(qui augmente lors d’une inflammation : fibrinogène ), etc…
La mesure de la peut s'effectuer après une heure et deux heures de sédimentation, où l’on note en
millimètres, la hauteur du plasma surnageant, à partir de la graduation zéro.
Normes après la 1ère heure :
→ chez l'homme : 1 à 10 mm (< 16)
→ chez la femme: 3 à 14 mm (< 25).
La vitesse de sédimentation est un processus très lent, sauf en cas d’inflammation ou d’infection.
Ainsi lors d’un examen, une augmentation de la fait suspecter en premier lieu un syndrome
inflammatoire, les infections bactériennes ayant les plus forts taux d’augmentation (tuberculose,
méningite bactérienne, septicémie > 400 mg/L)
Centrifugation et ultracentrifugation:
XXW une
Afin d’augmenter la sédimentation, il suffit de substituer à l’accélération de pesanteur /
XWR .
accélération centrifuge Ainsi une centrifugeuse est constituée par un système en rotation, qui soumet l’échantillon à étudier à
une très forte accélération radiale

R ] F FFF / HARsQ/AP
R ] nFF FFF / QtARHARsQ/AP T HO=HR/ T
10

•
•
les particules de masse volumique plus élevée que celle du liquide s’éloignent de l’axe de
rotation du rotor avec des vitesses croissantes
les particules de masse volumique moins élevée que celle du liquide se rapprochent de l’axe
de rotation du rotor avec des vitesses décroissantes
Ces techniques permettent de séparer les éléments d'un mélange en le faisant tourner à grande vitesse ;
ex : séparer les éléments figurés du sang (globules rouges, globules blancs, plaquettes en suspension
dans le plasma sanguin).
L’ultracentrifugation est également utilisée pour l’enrichissement de l’uranium développement des
armes nucléaires.
III.
Dynamique des Fluides Parfaits :
a) Définitions : valables pour tout fluide incompressible (parfaits et réels) :
Débit Q : volume de fluide qui traverse une section s par unité de temps

uPtQH
∆A
~ . w I
Relation débit – vitesse :
. Equation de continuité, ou conservation du débit : le volume s’écoulant par seconde à travers
n’importe quelle section, est constant (pas de perte de masse : tout le fluide doit s’écouler)
débit entrant = débit sortant
9 8 . 8
9 . 11
4 5
b) Equation de Bernoulli
Un fluide parfait, c-à-d de viscosité nulle, est un cas théorique idéal et n’a aucune réalité physique ; en
revanche –et l’intérêt de l’Equation de Bernoulli est là-, beaucoup de fluides, sous certaines
conditions, peuvent être étudiés sous l’approche du modèle du fluide parfait (ce qui peut être le cas
lorsque la viscosité est faible, ou l’écoulement est lent, ou l’écoulement se fait dans un vaisseau de
grande section, etc …).
La démonstration se fait grâce au Théorème de l’Energie Cinétique, et l’on obtient :
1 /2 1 AH
1 /2 1 1 /2 1 •
•
le terme « 1 Y 1 » est appelé « charge » est reste donc constant lors d’un
écoulement pour un fluide parfait il n’y a pas de perte de charge dans l’écoulement d’un
fluide parfait
1 Y 1 est aussi appelée « pression totale » ou « pression de stagnation » ou
« pression d’arrêt », et est composé de 3 pressions :
Pression statique (ou « locale ») : Pression gravitique (ou « hydrostatique ») : Y
Pression dynamique (ou cinétique) : c) Conséquences de l’équation de Bernoulli :
Cas de la statique :
si 0, l’équation de Bernoulli devient : 1 Y 1 Y , que l’on peut écrire également :
∆ Y∆ on retrouve le Théorème de Pascal ; « l’équation de Bernoulli généralise le
Théorème de Pascal »
Effet-Venturi : pour une canalisation horizontale, c-à-d pour 2 2
12
Conservation du débit entre (1) et (2) :
en posant ,
. . . on a : .
est le degré de sténose, « pourcentage » de rétrécissement artériel : 1
j : étéAP OH t AH>>H O> tH RéARé>>HHA
Conservation de l’énergie entre (1) et (2) : pour , l’équation de Bernoulli devient :
1
1
1 1 2
2
1
1
1
T ? T @
2
2
2
_y j , e_~ 22 T 21 j 0
1 T 2 j 0
z SQAH OH NRH>>P O> tH RéARé>>HHA
Effet-Venturi : « £¤¥¦ §’©ª ¥é«¥é¬¦¦®¯®ª«, £ ° ± ©ª® ¬²©«® §® ³¥®¦¦¤ª,
±© ´éªéµ¬® §’©ª® é£é¶±«¤ª §® £± ¶«®¦¦® »
Application : deux camions ou deux bateaux côte à côte qui se rapprochent trop près, ont
tendance à se happer
Débit-mètre de Venturi : la mesure de 4 T 5 et la connaissance de SA, SB, et de la
masse volumique permettent de déterminer le débit.
Cavitation : parfois la pression 5 est tellement faible au niveau de la contraction que la
pression du fluide devient inférieure à sa pression de vapeur saturante, il se met à bouillir !
bulles de cavitation (dégagement de vapeur au sein du liquide).
Application à l’artériosclérose (ou athérosclérose)
L’athérosclérose est une maladie (cause dominante de la majorité des affections cardiovasculaires) où
le diamètre des artères diminue localement et progressivement par la formation d’une plaque
d’athérome : accumulation de lipides et de tissu fibreux, pouvant conduire à une sténose artérielle,
voire une thrombose (obstruction totale du flux sanguin embolie, AVC, infarctus…)
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Mécanisme :
• sans plaque d’athérome, la couche musculaire enrobant l’artère (la média) est
suffisamment tonique pour réguler la pression et le débit sanguin (sans cela l’artère
serait molle, flasque, et le sang ne serait pas « conduit » tout le long de l’artère)
• lorsque la plaque d’athérome se forme, le flux sanguin est peu à peu obstrué : sténose
artérielle
chute de tension par effet-Venturi à l’intérieur de la sténose
• la couche musculaire exerce toujours la même pression qu’à l’état normal, alors qu’à
l’intérieur la pression a diminué sous la pression externe, l’artère se ferme, le sang
s’accumule
• sous la poussée du sang accumulé, l’artère s’ouvre à nouveau, libérant violemment le
sang : régime turbulent, le sang va dans tous les sens, « cognant » les parois de l’artère
et engendrant un bruit audible à l’auscultation
• de nouveau, l’artère se ferme progressivement, puis s’ouvre, puis se referme…
on entend un souffle à l’auscultation
Théorème de Torricelli : on vide un réservoir assez large à travers un orifice ;
l’écoulement se faisant très lentement, on peut négliger son caractère instationnaire et
considérer la vitesse nulle à la surface du fluide (tout comme à l’œil nu on ne voit pas une
poche de perfusion se vider) F
de plus, BCD et BCD
L’équation de Bernoulli : 1 Y 1 1 Y 1 BCD 1 Y BCD 1 Y 1 ,
devient :
soit : Y Y 1 ¸/?2 T 2 @
n notant H : profondeur par rapport à la surface, c-à-d ¹ T , on obtient :
¸/0
Théorème de Torricelli : « la vitesse d’écoulement d’un fluide dans un réservoir
ouvert à travers un orifice situé à la profondeur H est : et : ¸/0 »
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Tube de Pitot : permet de mesurer la vitesse d’un écoulement
On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans
le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les
deux extrémités étant à la même hauteur.
Au point C, le liquide a la même vitesse que dans la canalisation et la pression est la
même que celle du liquide º En B, point d'arrêt, la vitesse est nulle ?5 0@ et la pression est 5 .
8 » 1 »
D'après le Théorème de Bernoulli,
O} Pù z
8 T »
PR, 8 T » /S
/S
¸/S
du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse En mesurant la dénivellation d'écoulement du fluide.
Remarque : la pression statique est indépendante de l’orientation du capteur qui la mesure, alors
que lors d’un écoulement (dynamique), la pression dépend de l’orientation du capteur
(latéralement, à la fin, ou en aval)
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