Rentrée scolaire 2009/2010 Lycée Désiré Nisard - Châtillon-sur

Rentrée scolaire 2009/2010
Lycée Désiré Nisard - Châtillon-sur-Seine
DEVOIR PASSERELLE DE MATHEMATIQUES
Ce devoir est à rédiger soigneusement et à rendre au professeur principal le jour de la rentrée.
Le sujet comporte deux pages.
UNE COUPE A GLACE
On considère une coupe à glace en forme de pyramide.
Cette coupe est une pyramide régulière de sommet S et sa base est un
carré ABCD de centre O. Les points I et J sont les milieux respectifs
des segments [AB] et [CD].
De plus, on a :
AB = 10 cm et IS = 13 cm.
PARTIE A : Volume de la coupe.
1. Démontrer que : OS = 12 cm.
2. En déduire le volume de cette pyramide en cm3 .
Quelle est la capacité maximale de cette coupe en cL ?
PARTIE B : Volume d’une boisson en fonction de sa hauteur.
On verse une boisson dans la coupe.
La boisson prend la forme d’une pyramide régulière à base carrée
A’B’C’D’ et de sommet S.
On s’intéresse au volume de liquide en fonction de sa hauteur dans la
coupe.
O’, centre du carré A’B’C’D’, appartient au segment [OS].
La droite parallèle à (IJ) passant par O’ coupe les segments [IS] et
[JS] respectivement en I’ et J’.
Nommons x la longueur SO’.
1. Justifier que : 0 ≤ x ≤ 12
2. En utilisant le théorème de Thales, exprimer O’I’ en fonction de x.
5
3. En déduire que : A’B’ = x .
6
4. On considère V (x) le volume de boisson en cm3 en fonction de la hauteur x.
25 3
x .
Montrer que : V ( x) =
108
5. Remplir le tableau de valeurs suivant (on pourra s’aider d’un tableur).
x
0 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 12
V (x)
arrondi à
0,1 cm3 près.
1
6. A l’aide du tableau précédent, représenter graphiquement V (x) en fonction de x dans un repère.
On utilisera une feuille de papier millimétré.
(En abscisses : 1cm représente 1cm ; en ordonnées : 1cm représente 20 cm3 ).
PARTIE C : Une boule de glace à ras bord.
Une boule de sorbet supposée parfaitement sphérique est déposée
dans la coupe. Sa taille est telle qu’elle se trouve exactement à ras
bord.
On considère le cercle de centre H inscrit dans le triangle IJS.
Son rayon OH est donc celui de la boule.
Ce cercle coupe la droite (IS) au point K, et la droite (JS) au point L.
Notons r le rayon du cercle.
Ainsi : HK = OH = HL = r.
1. Calculer l’aire du triangle IJS.
2. Exprimer l’aire de chacun des trois triangles IHJ, IHS et JHS en
fonction de r.
10
.
3
On remarquera pour cela que la somme des aires des trois triangles
IHJ, IHS et JHS est égale à l’aire du triangle IJS.
3. En déduire que : r =
4. Déterminer la valeur exacte du volume de la boule de sorbet en cm3 .
En déduire que ce volume a pour valeur approchée 155,1 cm3
(à 0,1 cm3 près).
5. La glace a fondu.
A l’aide du graphique de la partie B, déterminer la hauteur de liquide dans la coupe.
Remarque : Pour cette question, on supposera que le volume de la boule de sorbet reste le même sous forme
liquide, ce qui n’est pas exact en réalité.
Nous négligerons ce phénomène pour cet exercice.
2