16 Espace - Collège Le Grand Clos

CH XV Calculs dans l'espace
1. Pavé et cylindre
Cet ancien coffre est formé d’un pavé droit
surmonté d’un demi-cylindre. L’unité est le cm.
Calculer le volume de ce coffre. Donner le résultat en litres.
Solution
Le volume du pavé est :
V pavé = L x l x h
avec
L pour longueur
l pour largeur
h pour hauteur
avec
π pour "nombre pi"
r pour rayon
h pour hauteur
Le volume du cylindre est :
V cylindre = πr2 x h
Le volume du coffre est donc :
V coffre = L x l x h +
πr2 × h
2
= 85 x 50 x 35 +
π × 252 × 85
2
= 148 750 + 26 562,5 π
≈ 232 199 (cm3)
Conversion :
Dans un cube de 1 dm d'arête, on peut verser 1 litre d'eau exactement. Donc :
1 litre = 1 dm3
Dans le tableau de conversion des volumes, il faut mettre 3 chiffres par colonne.
232 199 cm3 = 232,199 dm3
= 232,119 litres
≈ 232 L
Le volume du coffre est environ 232 L.
2. Boule et sphère
Une boîte de forme parallépipédique contient trois balles de tennis
comme le montre le dessin ci-contre.
Les balles sont en contact avec les différentes faces de la boîte.
Calculer, à l’entier près, le pourcentage du volume inoccupé de la boîte.
— Calculons le volume du pavé.
Vpavé = L x l x h avec :
h = 19,5 (cm)
L = 19 ,5 : 3
L = 6,5 (cm)
2
Donc
Vpavé = 6,5 x 19,5
Vpavé = 823,875 (cm3)
Vpavé ≈ 824 (cm3)
Solution
l=L
l = 6,5 (cm)
— Calculons le volume des trois balles.
Le volume d’une balle est donné par la formule
V balles =
4
3
πr3
avec r pour rayon
r = 6,5 : 2 = 3,25 (cm)
Donc
V balles = 3 x
4
3
x πx 3,253
V balles ≈ 431 (cm3)
— Calculons l’espace vide V de la boîte
V = 824 – 431
V = 393 (cm3)
— Calculons le pourcentage de la boîte que représente cet espace « perdu »
p=
393
824
p = 0,48
p = 48%
3. Le Parallélépipède rectangle . La Pyramide
D
C
•
EFGHABCD est un parallélépipède rectangle
ou un pavé.
A
• DEFGH est une pyramide.
Le point D est son sommet
B
5
M
K
EFGH est sa base
L
6
•EF = 10 cm, EH = 6 cm et HD = 8 cm.
8
J
E
G
H
F
10
La hauteur d’une pyramide est la distance qui sépare le sommet de la base.
Ici, c’est donc DH. Le volume d’une pyramide est donné par la formule :
V (pyramide) =
1
3
×
B×h
Questions :
A l’intérieur de ce pavé, on peut voir 2 pyramides qui sont : DKJML et DHEFG
1°) Quel pourcentage du volume du pavé représente le volume de la pyramide DEFGH ?
Volume du pavé :
Volume de la pyramide
L x l x h = 10 x 6 x 8
1
1
×
B
×
h
=
x (6 x 10) x 8
3
= 480 (cm )
3
3
= 20 x 8
= 160 (cm3)
La pyramide occupe un volume de 160 cm3 sur un total de 480 cm3.
160
480
=
16
48
=
1
3
≈ 33%
Elle occupe environ les 33% du volume de la pyramide.
2°) Cette pyramide DEFGH a été coupée par le plan KLMN parallèle à sa base et passant par le
point J tel que DJ = 5 cm
On a :
(KJ) // (EH) // (JM) // (HG) / (ML) // (GF) / (LK) // (FE)
KLMJ est un rectangle et c’est la base de la pyramide DKJML
3°) La pyramide DKLMJ est une réduction de la pyramide DEFGH à l’échelle
5
8
ou 0,625
La pyramide DEFGH est un agrandissement de la pyramide DKLMJ à l’échelle
4°) Calculer le volume de la pyramide DKLMJ
D'après la leçon sur l'effet de l'échelle sur le volume :
V(DKLMJ) = V(DEFGH) : (1,6)3
= 480 : 4,096
= 117,1875 (cm3)
8
5
ou 1,6
4. Le cône de révolution
A) Vocabulaire
S
Cet objet s’appelle un cône.
Le point S est son sommet.
Le disque de rayon [AH] s’appelle la base du cône.
[SH] s’appelle la hauteur.
Le volume est donné par la formule :
4,8
A
H
B
3,6
V(cône) =
πR2 × h
3
ou
V=
1
3
x
πR2 x h
E
Un segment tel que [SE] s’appelle une génératrice.
B) Longueur d'une génératrice
Le triangle SHE est rectangle en H. Utilisons le théorème de Pythagore :
SE2 = SH2 + HE2
SE2 = 4,82 + 3,62
SE2 = 23,04 + 12,96
SE2 = 36
SE = 36
SE = 6 (cm)
Toutes les génératrices ont la même longueur.
C) Exercice
A
H
B
4,5
Un verre de vin est rempli aux
2
de sa hauteur [SH].
3
La hauteur [SH] mesure 8,1 cm. Le rayon [AH] mesure 4,5 cm.
Calculer le volume de vin que contient le verre.
Donner le résultat en cl.
K
8,1
• Volume du verre plein :
V(verre) =
S
π × 4,52 × 8,1
3
V(verre) = 54,675 π
V(verre) ≈ 172 (cm3)
• Le cône rempli de vin est une réduction du verre à l'échelle 2/3.
⎛ 2⎞
V(vin) = 172 x ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
V(vin) ≈ 51 (cm3)
1 dm3 = 1 L
1 cm3 = 1 mL
: 1 000
3
soit 51 ml = 5,1 cl
Dans le verre, il y a environ 5,1 cl de vin.