Exercice 1 Exercice 2

Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés
Seconde
ɕn€o”n€éš
Exercice 1
Seconde/Espace/exo-016/texte
ABCDEF GH est un cube de 4 m de côté. I et J sont les milieux respectifs des segments [BF ] et [AB].
D
C
J
A
B
H
E
I
G
F
1. Que peut-on dire des droites (IJ) et (AF ) ? des longueurs IJ et AF ? Justifier.
2. Trois fourmis se déplacent sur le cube afin d’effectuer le trajet de A vers G suivant les modalités suivantes :
no 1 : AI + IF + F G ;
no 2 : AF + F G ;
no 3 : AJ + JI + IG.
Calculer la distance exacte parcourue par chacune des fourmis puis en donner une valeur approchée arrondie au centimètre
près.
✎ On veillera à ne calculer que ce qui est nécessaire. Par exemple, on pourra remarquer que AI = IG et ainsi faire l’économie
du calcul de IG.
3. a) Réaliser un patron du cube à l’échelle 1/200e.
b) En déduire la longueur du trajet le plus court pour aller de A à G.
Exercice 2
Seconde/Espace/exo-049/texte
Une bobine de fil 1 est enroulée autour de l’assemblage en bois d’un cylindre surmonté de deux troncs de cône identiques
(figure b). Les troncs de cône sont obtenus en « coupant » un cône de génératrice SF = 13,5 cm par un plan parallèle à sa
base (figure a).
1. Démontrer que SO = 8,1 cm.
’.
2. Calculer l’arrondi au degré de la mesure de l’angle OSF
3
3. Calculer le volume V1 , en cm , du cône 1 de sommet S et de base le disque de rayon [OF ].
On donnera un résultat exact en fonction de π.
4. a) En remarquant que (IE) est parallèle à (OF ), montrer que IE = 4,8 cm.
b) En déduire le volume V2 , en cm3 , du cône 2 de sommet S et de base le disque de rayon [IE].
On donnera un résultat exact en fonction de π.
5. Montrer que le volume exact du tronc de cône est V = 287,28π cm3 .
En déduire, au cm3 près, le volume de bois nécessaire à la réalisation d’une bobine.
1. D’après une idée originale de Sésamath
Exercice 3
Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés
S
Sur la figure ci-contre, on a représenté en perspective cavalière une
pyramide à base carrée SABCD de hauteur [SA].
Le triangle SAB est rectangle en A, AB = 9 cm et SA = 12 cm.
EF GH est la section de la pyramide SABCD par le plan parallèle à
la base et telle que SE = 4 cm
Seconde
Seconde/Espace/exo-050/texte
H
E
G
F
1. Donner la liste des segments qui devraient être représentés en
pointillés sur la figure.
2. a) Calculer SB.
b) Démontrer que EF = 3 cm.
3. Calculer le volume du tronc de pyramide ABCDEF GH.
C
1
✎ On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par V = × B × h
3
où B et h désignent respectivement l’aire de la base et la hauteur de la pyramide.
D
A
B
Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés
Seconde
C€oŠrˆrˆi€géš
Exercice 1
Seconde/Espace/exo-016/corrige
1. Théorème de la droite des milieux : Si un segment a pour extrémités les milieux de deux des trois côtés d’un triangle
alors il est parallèle au troisième côté et sa longueur est égale à la moitié de celle de ce troisième côté.
Dans le triangle ABF , I est le milieu de [BF ] et J le milieu de [AB] donc les droites (IJ) et (AF ) sont parallèles et
AF
IJ =
.
2
2. En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles ABI et ABF tous deux rectangles en B, il vient :
AF 2 = AB 2 + BF 2
AI 2 = AB 2 + BI 2
2
2
= 4 +2
= 42 + 42
= 16 + 4
= 16 + 16
= 20
= 32
√
√
Comme AI > 0, on a AI = 20 soit encore AI = 2 5 .
√
√
Comme AF > 0, on a AF = 32 soit encore AF = 4 2 .
√
AF
Par ailleurs, IJ =
donc IJ = 2 2 .
2
• Longueur du trajet √
de la fourmi no 1 :
AI + IF + F G = 2√5 + 2 + 4
= 2 5+6
≈ 10,47
soit environ 10,47 m à 1 cm près.
• Longueur du trajet
de la fourmi no 2 :
√
AF + F G = 4 2 + 4
≈ 9,66
soit environ 9,66 m à 1 cm près.
o
• Longueur du trajet de la
√n 3:
√ fourmi
AJ + JI + IG = 2 + 2 2 + 2 5
≈ 9,30
soit environ 9,30 m à 1 cm près.
3. a) Le patron est à l’échelle 1/200e si, et seulement si, chaque arête du cube mesure 2 cm sur celui-ci.
D
A
J
B
C
I
H
E
F
G
b) En réalisant le patron, on constate que le trajet le plus court (ligne droite) pour aller de A à G est le trajet « A−I −G »
de longueur AI + IG.
√
√
AI + IG = 2√5 + 2 5
=4 5
≈ 8,94 soit environ 8,94 m à 1 cm près.
Exercice 2
1. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle SOF rectangle en O, on obtient :
Seconde/Espace/exo-049/corrige
Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés
2
2.
3.
4.
5.
2
Seconde
2
SO = SF − OF
= 13,52 − 10,82
= 182,25 − 116,64
= 65,61
√
Or, SO > 0 donc SO = 65,61 = 8,1.
Conclusion : SO = 8,1 cm.
Dans le triangle SOF rectangle en O :
’ = OF
sin OSF
SF
10,8
=
13,5
= 0,8
’ = arcsin 0,8 et, à l’aide de la calculatrice, on obtient OSF
’ ≈ 53◦ (à 1◦ près).
donc OSF
1
V1 = × π × OF 2 × OS
3
1
= × π × 10,82 × 8,1
3
= 314,928π
Conclusion : V1 = 314,928π cm3
a) (IE) est parallèle à (OF ) car ces droites sont toutes deux parallèles à (OS).
Par ailleurs, les droites (IO) et (EF ) sont sécantes en S donc, d’après le théorème de Thalès :
SI
SE
IE
=
=
SO
SF
OF
L’égalité entre le premier et le troisième rapport permet d’obtenir :
OF × SI
IE =
SO
10,8 × (8,1 − 4,5)
=
8,1
= 4,8
Conclusion : IE = 4,8 cm.
1
b) V2 = × π × IE 2 × SI
3
1
= × π × 4,82 × (8,1 − 4,5)
3
= 27,648π
Conclusion : V2 = 27,648π cm3
V = V1 − V2
= 314,928π − 27,648π
= 287,28π
Conclusion : Le volume exact du tronc de cône est V = 287,28π cm3 .
La bobine est constituée de deux troncs de cône identiques et d’un cylindre de hauteur 10 cm et de base le disque de rayon
[IE]. Le volume de bois nécessaire à la réalisation d’une bobine est donc donné, en cm3 , par :
Vb = 2 × V + π × IE 2 × 10
= 2 × 287,28π + 230,4π
= 804,96π
donc Vb ≈ 2529 cm3 (à 1 cm3 près).
Exercice 3
Seconde/Espace/exo-050/corrige
1. Les segments qui devraient être représentésS en pointillés sur la figure sont [DA], [DC], [DS], [EH] et [HG].
H
E
G
F
C
D
A
B
Géométrie dans l’espace: Exercices corrigés
Seconde
2. a) En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle SAB, rectangle en A, on obtient :
SB 2 = SA2 + AB 2
= 122 + 92
= 144 + 81
= 225
√
Or, SB > 0 donc SB = 225 = 15.
Conclusion : SB = 15 cm.
b) Les droites (EF ) et (AB) sont parallèles et les droites (AE) et (BF ) sont sécantes en S donc, d’après le théorème de
Thalès :
SF
EF
SE
=
=
SA
SB
AB
L’égalité entre le premier et le troisième rapport permet d’obtenir :
AB × SE
EF =
SA
9×4
=
12
=3
Conclusion : EF = 3 cm.
3. Notons V le volume du tronc de pyramide ABCDEF GH.
Méthode 1 :
V = VSABCD − VSEF GH
1
1
= × AABCD × SA − × AEF GH × SE
3
3
1
1
= × AB 2 × SA − × EF 2 × SE
3
3
1
1
= × 92 × 12 − × 32 × 4
3
3
= 324 − 12
= 312
Méthode 2 :
1
La pyramide SEF GH est une réduction de la pyramide SABCD et le coefficient de réduction correspondant est .
3
Å ã4
1
Ainsi : VSEF GH =
× VSABCD
3
1
=
× VSABCD
27
donc : V = VSABCD − VSEF GH
1
= VSABCD −
× VSABCD
Å
ã 27
27
1
=
−
× VSABCD
27 27
26 1
=
× × AABCD × SA
27 3
26 1
=
× × 92 × 12
27 3
= 312
Conclusion : Le volume du tronc de pyramide ABCDEF GH est 312 cm3 .