Cours et exercices - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S5 Info-MIAGE 2011-2012
Mathématiques Financières
Compléments sur les intérêts composés
Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
Année 2011-2012
Licence mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 5
Mathématiques Financières
COMPLEMENTS SUR LES INTERETS COMPOSES
Les intérêts considérés sont des intérêts composés dont la capitalisation coïncide avec la périodicité du
taux.
I - Equivalence à intérêts composés
1) Définitions et propriété.
Deux capitaux sont équivalents, à intérêts composés, un jour donné, s’ils ont la même valeur actuelle
à cette date, les actualisations étant faites avec le même taux. Ainsi, deux capitaux V 1 et V 2 payables dans n 1
et n 2 périodes sont équivalents aujourd’hui (date 0) au taux t par période si V 1 1 t n 1 V 2 1 t n 2 .
Deux groupes de capitaux sont équivalents, à intérêts composés, un jour donné, si la somme des
valeurs actuelles des capitaux du premier groupe est égale à la somme des valeurs actuelles des capitaux du
second groupe.
Règle d’or des mathématiques financières : ne jamais comparer ou égaler deux ou plusieurs capitaux
sans avoir, au préalable, ramener ces capitaux à une même date, appelée date d’équivalence.
Propriété : si deux capitaux ou deux groupes de capitaux sont équivalents à un moment donné,
l’équivalence a lieu à tout moment, lorsque les calculs sont effectués avec la solution commerciale.
2) Exemple 1
Un débiteur qui doit s’acquitter des dettes suivantes :
3 600 € payables dans 1 an,
2 400 € payables dans 1 an et 6 mois,
4 500 € payables dans 2 ans et 6 mois,
6 000 € payables dans 4 ans,
obtient de son créancier de se libérer de sa dette par un paiement unique dans 5 ans. En considérant un taux
annuel de 6 %, la valeur nominale V de ce paiement unique est :
V 3600 1. 06 4 2400 1. 06 3.5 4500 1. 06 2.5 6000 1. 06 19053. 54 €,
cette égalité correspondant à l’égalité dans 5 ans (date 5) de la valeur actuelle du paiement unique et de la
valeur actuelle des 4 dettes remplacées.
En mulipliant tous les termes de l’égalité précédente par 1, 06 5 , on obtient :
V 1. 06 5 3600 1. 06 1 2400 1. 06 1.5 4500 1. 06 2.5 6000 1. 06 4 14237. 91 €
cette égalité correspondant à l’égalité à ce jour (date 0) de la valeur actuelle du paiement unique et de la
valeur actuelle des 4 dettes remplacées.
II - Escompte à intérêts composés
1) Cas général
Lorsqu’un effet est payable à une date éloignée (plus d’un an en général), la valeur actuelle à retenir
lors de l’opération d’escompte est la valeur actuelle à intérêts composés.
Avec la solution commerciale, l’escompte à intérêts composés E est égal à la différence entre la
valeur nominale V n et la valeur actuelle V a :
E Vn Va Vn Vn 1 t n Vn 1 1 t n ,
où t est le taux d’escompte et n l’échéance à courir de l’effet.
2) Exemple 2
Un commerçant remet à son banquier un effet de 1 500 € payable dans 3 ans. Le taux d’escompte
annuel est 8,5 %. Calculer la valeur actuelle commerciale et le montant de l’escompte retenu par le banquier.
Echéance dans n 3 ans.
Valeur nominale : V n 1500 €.
Valeur actuelle commerciale : V a 1500 1. 08 3 1190, 75 €.
Escompte commercial : E 1500 1190, 75 309, 25 €.
Stéphane Ducay
1
S5 Info-MIAGE 2011-2012
Mathématiques Financières
Compléments sur les intérêts composés
III - Les annuités
A - Généralités
1) Définitions
On appelle annuités, des sommes payables à des intervalles de temps de même durée.
Lorsque le montant de chaque versement reste identique, on parle d’annuités constantes ; on
parle d’annuités variables dans le cas contraire.
Remarque :
En toute rigueur, il serait préférable d’utiliser le terme "annuités" pour des versements annuels et
les termes "semestrialités", "trimestrialités" et "mensualités" dans les cas de versements respectivement
semestriels, trimestriels et mensuels. On peut aussi considérer des versements bimensuels, bimestriels ou
bisannuels. On adaptera bien sûr les résultats du paragraphe B qui sont présentés dans le cas de versements
annuels : par exemple, si les versements sont mensuels, on utilisera un taux d’intérêt mensuel.
2) Objet
Ces versements effectués de façon régulière ont généralement pour but :
- soit de constituer un capital (annuités de capitalisation ou de placement),
- soit de rembourser une dette, un emprunt (annuités de remboursement ou d’amortissement).
B - Valeur actuelle d’une suite d’annuités à une date donnée
Les explications données le sont pour des versements annuels et un taux de placement annuel t ;
on adaptera les résultats pour les autres périodicités.
1) Cas général
a) Formule
On considère n versements annuels V 1 , V 2 , . . . , V n ayant lieu en fin d’année 1, 2, . . . , n,
c’est-à-dire aux dates 1, 2, . . . , n, au taux annuel t.
La valeur actuelle de ces n versements immédiatement après le dernier versement,
c’est-à-dire à la date n, est :
V a1 V 1 1 t n 1 V 2 1 t n 2
Vn 1 1 t 1 Vn.
La valeur actuelle de ces n versements une période avant le premier versement, c’est-à-dire à
la date 0 est :
V a2 V 1 1 t 1 V 2 1 t 2 . . . V n 1 1 t n 1 V n 1 t n .
b) Exemple 3
On considère cinq annuités variables de 990 € versée le 01/01/1998, de 650 € versée le
01/01/1999, de 1 300 € versée le 01/01/2000, de 1 100 € versée le 01/01/2001, de 1 500 € versée le
01/01/2002. Le taux de placement annuel est 4,5 %.
La valeur actuelle au moment de la dernière annuité est :
V a1 990 1. 045 4 650 1. 045 3 1300 1. 045 2 1100 1. 045 1500 5991, 48 €.
La valeur actuelle 2 ans après le dernier versement est : 5991, 48 1, 045 2 6542, 85 €.
La valeur actuelle des 5 annuités un an avant le premier versement est :
V a2 990 1. 045 1 650 1. 045 2 1300 1. 045 3 1100 1. 045 4 1500 1. 045 5 4807. 90 €.
La valeur actuelle au moment du deuxième versement est : 4807. 90 1. 045 2 5250, 32 €.
c) Remarque
Il n’y a pas de simplification possible des formules si les annuités sont variables.
:
2) Cas des anuités constantes
a) Formules
On considère n versements de même valeur V aux dates 1, 2, . . . , n, au taux annuel t.
La valeur actuelle de ces n versements immédiatement après le dernier versement (date n) est
1 t n 1
V a1 V
.
t
La valeur actuelle de ces n versements un an avant le premier versement (date 0) est :
1 1 t n
.
V a2 V
t
Stéphane Ducay
2
S5 Info-MIAGE 2011-2012
Mathématiques Financières
Compléments sur les intérêts composés
Démonstration
On applique les formules du cas général à V 1 V 2 . . . V n V. On obtient :
V a1 V 1 t n 1 V 1 t n 2 . . . V 1 t 1 V V
1 t n 1 1 t n 2 ... 1 t 1
Le crochet contient la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier
1 t n 1
1 t n 1
terme 1 et de raison 1 t. On en déduit que : V a1 V 1
V
.
t
1 t 1
De même, V a2 V 1 t 1 V 1 t 2 . . . V 1 t n 1 V 1 t n
V 1 t 1 1 1 t 1 1 t 2 ... 1 t n 2
1 t n1
Le crochet contient la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier
n
1 t 1
1
terme 1 et de raison 1 t 1 . On en déduit que : V a2 V 1 t 1 1
1 t 1 1
1 1 t n
V
(en ayant multiplié numérateur et dénominateur par 1 t ).
t
b) Exemple 4
On verse, chaque mois, 150 € pendant 48 mois consécutifs au taux mensuel de 0,50 %.
Valeur actuelle des 48 mensualités au moment du dernier versement :
1, 005 48 1
8114, 67 €.
V a1 150
0, 005
Valeur actuelle des 48 mensualités un mois avant le premier versement :
1 1, 005 48
V a2 150
6387, 05 €.
0, 005
Valeur actuelle des 48 mensualités 2 mois après le dernier versement :
8114, 67 1, 005 2 8196, 02 €.
Valeur actuelle des 48 mensualités 4 mois avant le premier versement :
6387, 05 1, 005 3 6292, 19 €.
1.
C - Applications
1) Constitution d’un capital
a) Principe
Le capital C constitué après n versements est la valeur actuelle de ces n versements
immédiatement après le dernier versement (formule V a1 ). Les valeurs actuelles de ce capital à d’autres dates
se calculent à partir de C en utilisant la formule des intérêts composés.
b) Exemple 5 (reprise de l’exemple 3)
On constitue un capital par un versement de cinq annuités variables de 990 € versée le
01/01/1998, de 650 € versée le 01/01/1999, de 1 300 € versée le 01/01/2000, de 1 100 € versée le 01/01/2001,
de 1 500 € versée le 01/01/2002. Le taux de placement annuel est 4,5 %.
Capital constitué :
990 1, 045 4 650 1, 045 3 1300 1, 045 2 1100 1, 045 1500 5991, 48 €.
Valeur actuelle de ce capital 2 ans après le dernier versement :
5991, 48 1, 045 2 6542, 85 €.
Le versement unique au 1er janvier 1994 qui aurait permis de constituer le même capital au 1er janvier
1999 est 5991, 48 1, 045 5 4807, 87 € ou encore
990 1, 045 1 650 1, 045 2 1300 1, 045 3 1100 1, 045 4 1500 1, 045 5 4807, 87 €.
2) Remboursement d’un emprunt
a) Principe
On emprunte une somme C que l’on rembourse en n versements R 1 , R 2 , ..., R n (le premier
remboursement ayant lieu une période après la remise des fonds). Une relation entre C, R 1 , R 2 , ..., R n , est
établie en écrivant que le capital prêté est équivalent aux n versements (formule V a2 ).
b) Exemple 6
On a emprunté une somme le 1er janvier 1999. On l’a remboursée en cinq semestrialités
variables : 1 260 € le 1er juillet 1999, 1 350 € le 1er janvier 2000, 1 500 € le 1er juillet 2000, 1 575 € le 1er
janvier 2001, 1 950 € le 1er juillet 2001. Le taux annuel est 7,64 %.
1 t s 2 et donc 1 t s
1 t a 1/2 1. 0764 1/2 .
Le taux semestriel équivalent t s vérifie 1 t a
La somme empruntée est donc :
1260 1, 0764 1/2 1350 1, 0764 1 1500 1, 0764 3/2 1575 1, 0764 2 1950 1, 0764 5/2 6793, 35.
Stéphane Ducay
3
S5 Info-MIAGE 2011-2012
Mathématiques Financières
Compléments sur les intérêts composés
c) Exemple 7
On rembourse un emprunt par le paiement de 10 trimestrialités égales de 855 €, le premier
versement ayant lieu trois mois après la remise des fonds. Le taux trimestriel est 2,20 %.
1 1, 022 10
La somme empruntée est C 855
7600, 36 €.
0, 022
IV - Exercices
Les calculs se font à intérêts composés. Sauf indication contraire, la capitalisation correspond à la
périodicité du taux, la solution commerciale est adoptée et chaque fois que le taux indiqué ne correspond pas
à la périodicité des versements, on utilisera le taux équivalent.
Exercice 1
Soit un capital de 712 € payable dans 2 ans et un capital de 848 € payable dans 5 ans. Montrer qu’ils sont
équivalents à intérêts composés au taux annuel de 6 %.
Exercice 2
Montrer qu’on peut remplacer trois règlements : 1 628 € à 1 an, 1 895 € à 2 ans, 2 517 € à 5 ans par un
règlement unique de 6 607 € à 4 ans, l’équivalence étant assurée au taux annuel de 8,20 %.
Exercice 3
Pour l’achat d’un appareil ménager, un commerçant propose deux formules de crédit au taux mensuel de
0,775 %.
Première formule : Règlement en 4 versements.
100 € 1 mois après la livraison ;
95 € 2 mois après la livraison ;
94 € 3 mois après la livraison ;
86 € 4 mois après la livraison.
Coût de l’acquisition : 375 €.
Deuxième formule : Règlement en 4 versements.
85 € 1 mois après la livraison ;
91 € 3 mois après la livraison ;
98 € 5 mois après la livraison ;
106 € 7 mois après la livraison.
Coût de l’acquisition : 380 €.
Montrer que ces deux formules de crédit à intérêts composés sont équivalentes.
Quel est le prix de l’appareil ménager au comptant ?
Exercice 4
Un débiteur a contracté quatre dettes auprès du même créancier :
820 € payables dans 1 an et 3 mois ;
960 € payables dans 2 ans et 6 mois ;
780 € payables dans 3 ans et 9 mois ;
1 060 € payables dans 5 ans.
Préférant se libérer en une seule fois, il obtient de son créancier la faculté de s’acquitter par un paiement
unique dans 3 ans. Calculer le montant de ce paiement, compte tenu d’un taux annuel de 8 %.
Exercice 5
Un débiteur qui s’est engagé à payer au même créancier : 2 042 € payables dans 1 an et 6 mois, 1 761 €
payables dans 2 ans, 1 245 € payables dans 2 ans et 6 mois préférerait se libérer par un paiement unique de 5
048 €.
Quelle serait l’échéance annuelle de ce paiement au taux annuel de 5,75 % ?
Que peut-on dire de la situation ?
Exercice 6
Pour un prêt d’une durée de 3 ans, une banque offre deux possibilités de remboursement au même taux en
trois versements annuels consécutifs, le premier ayant lieu un an après la remise des fonds.
Première proposition : 715 €, 1 070 € et 1 790 €. Deuxième proposition : 1 120 €, 1 170 € et 1 210 €.
Déterminer le taux et le montant de ce prêt.
Stéphane Ducay
4
S5 Info-MIAGE 2011-2012
Mathématiques Financières
Compléments sur les intérêts composés
Exercice 7
Un débiteur qui doit rembourser à son créancier 2 000 € dans 2 ans et 1 800 € dans 5 ans obtient de libérer
par un paiement unique de 3 700 € dans 3 ans. A quel taux annuel a été calculé cet arrangement ?
Exercice 8
On fait un placement unique à intérêts composés au taux annuel de 5,25 %. Quatre ans après ce
placement, on retire chaque année 2 500 €. Au cinquième retrait, le compte est épuisé. Quel est le montant de
ce placement unique ?
Exercice 9
Calculer, dans chacun des cas suivants, la valeur acquise par une suite de versements périodiques et
constants, immédiatement après le dernier versement :
a) 18 annuités égales de 1 875 € - Taux annuel de capitalisation : 5,60 %.
b) 12 semestrialités égales de 675 € - Taux semestriel de capitalisation : 3 %.
c) 12 semestrialités égales de 675 € - Taux annuel de capitalisation : 6 %.
d) 6 versements bisannuels de 4 170 € - Taux annuel de capitalisation : 4,75 %.
Exercice 10
Déterminer, dans chacun des cas suivants, la valeur actuelle d’une suite de versements constants, une
période avant le premier versement :
a) 8 annuités de 1 050 €, taux annuel 4,25 %.
b) 14 semestrialités de 600 €, taux semestriel 2,25 %.
c) 14 semestrialités de 600 €, taux annuel 4,50 %.
d) 9 versements bisannuels de 2 500 €, taux annuel 5,35 %
Exercice 11
Déterminer la valeur actuelle par une suite de 28 trimestrialités constantes de 680 € au taux annuel de 4,80
%.
a) au moment du dernier versement.
b) 5 trimestres après le dernier versement.
c) 2 ans et 7 mois après le dernier versement.
d) 240 jours après le dernier versement.
Exercice 12
Déterminer la valeur actuelle d’une suite de 6 annuités constantes de 1 200 € au taux annuel de 4,72 %.
a) 1 an avant le premier versement.
b) 2 ans et 5 mois avant le premier versement.
c) au moment du premier versement.
d) 6 mois avant le premier versement.
Exercice 13
12 trimestrialités, de 778 € chacune, donnent une valeur acquise, au moment du dernier versement, de 10
000 €. Quel est le taux trimestriel de capitalisation ?
Exercice 14
On place à intérêts composés 15 trimestrialités de 150 € du 1er janvier 1999 au 1er juillet 2002, période
pendant laquelle le taux varie.
Taux trimestriels de :
1,75 % du 01/01/1999 au 31/03/2000 ;
1,25 % du 01/04/2000 au
31/03/2001 ;
1,5 % du 01/04/2001 au 01/07/2002.
Quelle est la valeur définitive de ce placement, au moment du dernier versement, le 1er juillet 2002 ?
Stéphane Ducay
5
S5 Info-MIAGE 2011-2012
Mathématiques Financières
Compléments sur les intérêts composés
Exercice 15
On effectue des versements périodiques et constants pour se constituer un capital de 15 000 €
immédiatement après le dernier versement, quel est le montant de chaque versement dans chacune des
hypothèses suivantes ?
a) 10 annuités, taux annuel 5,50 %.
b) 120 mensualités, taux mensuel 0,45 %.
c) 60 mensualités, taux annuel 4,25 %.
d) 15 semestrialités, taux annuel 5,75 %.
Exercice 16
a) Combien faut-il verser d’annuités de 180 €, capitalisées au taux annuel de 6 %, pour constituer un
capital d’environ 1 500 € au moment du dernier versement ?
b) Quel est le montant du capital constitué ?
Exercice 17
On emprunte 15 000 € remboursables par une suite de versement périodiques et constants, le premier
remboursement a lieu une période après la remise des fonds. Quel est le montant de chacun des versements
dans les cas suivants ?
a) 5 annuités, taux annuel 6,25 %.
b) 60 mensualités, taux mensuel 0,45 %.
c) 12 semestrialités, taux annuel 5,50 %.
Exercice 18
Une personne souhaite emprunter 4 500 €. Son budget ne lui permet pas de rembourser plus de 230 € par
mois. Combien de mensualités faut-il prévoir dans ces conditions pour rembourser cet emprunt de 4 500 €
consenti au taux annuel de 7,40 %, le premier remboursement ayant lieu un mois après la signature du contrat
et la remise des fonds ?
Exercice 19
Malgré un taux annuel d’intérêt très élevé (13,80 %), une personne emprunte 15 000 € et s’engage à
rembourser sa dette en 15 versements annuels de 2 417,76 €, le premier remboursement ayant lieu un an après
la signature du contrat et la remise des fonds. Vérifier que le taux annuel est bien égal à 13,80 %.
Les taux d’intérêts ayant considérablement baissé sur les marchés financiers, le créancier accepte de
renégocier le contrat et de remplacer les 9 dernières annuités par 8 semestrialités constantes, calculées au taux
semestriel de 6 % sur le montant de la dette restant à payer immédiatement après le versement de la sixième
annuité, la première semestrialité échéant six mois après le paiement de la sixième annuité.
Déterminer :
a) le montant de la dette après le paiement de la sixième annuité ;
b) le montant de chacune des semestrialités.
Stéphane Ducay
6