Processus de branchement multitypes conditionnés à l`extinction

Processus de branchement multitypes
conditionnés à l’extinction tardive
et illustration en analyse des risques épidémiologiques
Sophie Pénisson
IRTG SMCP Berlin / Université de Potsdam
INRA Jouy-en-Josas
Neuvième Colloque ”Jeunes Probabilistes et Statisticiens”
Le Mont-Dore
3-7 mai 2010
rtg
s
Sophie Pénisson (Berlin / INRA)
Processus de branchement en épidémiologie
cp
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Plan
1
Processus de branchement multitype
Introduction
Quelques propriétés
2
Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
3
Quantification de l’infection
4
Analyse des risques liés à une extinction très tardive
Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive
Estimation et prédiction
5
Un mot sur le processus de diffusion de Feller
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Processus de branchement en épidémiologie
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Processus de branchement multitype
Introduction
Processus de branchement multitype
Processus de Bienaymé-Galton-Watson (BGW)
d types de particules
processus de Markov à valeurs dans Nd
type 1
type 2
n
X0= (1,1)
X3= (3,0)
distribution de la descendance (p1 (k))k∈N2 , (p2 (k))k∈N2
pi (k1 , k2 )= probabilité qu’une particule de type i donne naissance à
k1 particules de type 1 et k2 particules de type 2
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Processus de branchement multitype
Quelques propriétés
Propriété de branchement
= propriété additive
~
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+
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Processus de branchement multitype
Quelques propriétés
Extinction vs. explosion
matrice moyenne M
mij := nombre moyen de descendants de type j pour une particule de
type i
Théorème de Perron-Frobenius ⇒ si ∃n tel que Mn > 0 alors M a
une valeur propre maximale réelle ρ qui est > 0 et simple
Le processus est alors dit irréductible. Sous cette hypothèse:
Théorème
P
lim Xn = 0 + P lim Xn = ∞ = 1
n→∞
n→∞
P lim Xn = 0 = 1 ⇐⇒ ρ 6 1
n→∞
ρ < 1: processus sous-critique
ρ = 1: processus critique
ρ > 1: processus sur-critique
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Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
Maladie SEIR
INFECTION
INCUBATION
horizontal or vertical
susceptible
exposed
clinical case
slaughtered
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Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
Problématique
quantification de l’infection persistant après la suppression des farines
animales
année d’extinction de l’épidémie
évolution de l’épidémie en cas d’extinction très tardive
Remarque: les états de santé S et E sont indifférentiables
apparently healthy
animals
clinical cases
But: construire un modèle basé sur l’incidence des cas cliniques
Non rigoureux:
modèle déterministe
modélisation stochastique directe des cas cliniques
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Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
Plus rigoureux: modélisation stochastique de tous les états de santé
n
n+1
n+2
n+3
C
B
A
infected
by A
infected
by B
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Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
Modèle limite (C.Jacob)
Obtenu lorsque la population totale initiale temps vers ∞
Hypothèses clés: maladie SEIR rare, infection de type Reed-Frost
Xn := incidence de cas cliniques pour l’année n
Xn =
d X
n−k
X
X
D
Yn−k,n,i , {Yn−k,n,i }i i.i.d. Yn−k,n,i ∼ Poisson (Ψk (θ0 ))
k=1 i=1
n
n+1
...
Yn,n+1,1~ Poiss ( Ψ1 )
...
n+d
time
Yn,n+d,1~ Poiss ( Ψd )
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Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
Pd+1
Si
Sk+1
Ψk (θ0 ) := θ0 Pinc. (k) Pi=k+1
+ pmat. Pinc. (k) Pd+1 .
d+1
j=1 Sj
j=1 Sj
d = 9, 10 ans étant l’âge maximal observé pour l’abattage du béétail
θ0 = paramètre inconnu d’infection horizontale persistante après la
suppression de farine animale en 1989 (θ0 = nb moyen par infectieux
et par an d’animaux infectés via ingestion de prions excrétés par
d’autres animaux vivants);
pmat. = paramètre d’infection maternelle (proba pour un nouveau-né
de mère infectieuse d’être infecté à la naissance);
Sk = proba pour un animal apparemment sain de survivre au moins k
années;
Pinc. (k) = proba que la période d’incubation intrinsèque soit de k
années.
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Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
Xn processus d-Markovien 1-dimensionnel, de loi de transition
!
d
X
D
Xn |(Xn−1 , . . . , Xn−d ) ∼ Poisson
Xn−k Ψk (θ0 ) ,
k=1
ou Xn := (Xn , Xn−1 , . . . , Xn−d+1 ) processus 1-Markovien d-dimensionnel,
D
Xn |Xn−1 ∼ (Poisson (Xn−1 · Ψ(θ0 )) , Xn−1 , . . . , Xn−d+1 ) .
Proposition
Xn est un processus de branchement à d types.
Matrice moyenne


... 0

. . . 0



. . .. 
M(θ0 ) = 
. .


Ψd−1 (θ0 ) 0 . . . . . . 1
Ψd (θ0 ) 0 . . . . . . 0
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Ψ1 (θ0 )
Ψ2 (θ0 )
..
.
1
0
..
.
0
1
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Modélisation en épidémiologie: exemple de l’ESB
On a [M(θ0 )]d > 0. Soit ρ la plus valeur propre maximale de M(θ0 ). Alors
ρ 6 1 ⇐⇒
d
X
Ψk (θ0 ) 6 1.
k=1
On peut écrire
Ψk (θ0 ) = ak θ0 + bk ,
où ak et bk sont connus. Alors
Proposition
extinction p.s. de l’épidémie ⇐⇒
d
X
Ψk (θ0 ) 6 1
k=1
P
1 − dk=1 bk
⇐⇒ θ0 6 Pd
' 23.
k=1 ak
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Quantification de l’infection
Estimation du paramètre d’infection θ0
Conditional Least Squares Estimator
n
X
[Xk − Eθ (Xk |Xk−1 )]2
θbX0 := arg min
.
θ
a · Xk−1
k=1
Proposition (S.P.)
p.s.
lim θbX0 = θ0 ,
X0 →∞
sP
lim
X0 →∞
Pd
n
k=1
i=1 ai Xk−i
2
σ (θbX0 )
D
θbX0 − θ0 = N (0, 1) .
(k)
où mij (θ) denote l’entrée (i, j) de la matrice [M(θ)]k , et
Pn Pd Pd
(k−1)
(θ)
k=1
j=1
i=1 bi mji
2
.
σ (θ) := θ + P
P
P
(k−1)
n
d
d
(θ)
k=1
j=1
i=1 ai mji
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Quantification de l’infection
Résultats numériques
obs
obs
|X0 | = |Xobs
1997 | = X1997 + . . . + X1989 = 167977
θbX0 = 2.4486
P θ0 ∈ [2.4000 ; 2.4971] ' 0.95
Conclusion
Existence d’une source d’infection horizontale persistant après 1989,
mineure mais non-nulle. Nb moyen d’animaux infectés par cette voie est
seulement de qques unités par infectieux et par an (infection par farines
animales de l’ordre de 1000).
Permet l’estimation de l’année d’extinction de l’épidémie, du nombre de
cas à venir etc.
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Analyse des risques liés à une extinction très tardive
Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive
Conditionnement à une extinction très tardive
But: Étude des trajectoires à extinction très tardive:
P (Xn = . | Xn+k 6= 0) ,
k très grand.
Approximation par
P (X∗n = . ) := lim P (Xn = . | Xn+k 6= 0) .
k→∞
Proposition (A.Joffe & S.Dallaporta (2008))
Supposons ρ 6 1. Alors
1 j · ξ(θ0 )
P X∗n+1 = j|X∗n = i =
P (Xn+1 = j|Xn = i) ,
ρ i · ξ(θ0 )
où ξ(θ0 ) est le vecteur à droite normalisé de M(θ0 ) pour ρ.
X∗n est le Q-processus associé à Xn .
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Analyse des risques liés à une extinction très tardive
Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive
Quasi-stationnarité et stationnarité
Théorème (A.Joffe & F.Spitzer (1967))
Supposons ρ < 1, alors
νθ0 (j) := lim P (Xn = j | X0 = i, Xn 6= 0)
n
existe, ne dépend pas de i, et est une mesure de probabilité.
On appelle la mesure de probabilité νθ0 la limite de Yaglom.
Proposition (A.Joffe & S.Dallaporta (2008))
Supposons ρ < 1 et E (X1 ln X1 ) < ∞. Alors X∗n est récurrent positif de
probabilité stationnaire
πθ0 (j) := P
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j · ξ(θ0 )νθ0 (j)
.
k∈Nd k · ξ(θ0 )νθ0 (k)
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Analyse des risques liés à une extinction très tardive
Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive
Application au processus épidémiologique
Rappel: le processus Xn a pour loi de transition
D
Xn |Xn−1 ∼ Poisson (Xn−1 · Ψ(θ0 )) .
Le Q-processus associé X∗n vérifie alors:
Proposition (S.P.)
D
Xn∗ |X∗n−1 ∼ Poisson X∗n−1 · Ψ(θ0 )
∗B
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ξ1 (θ0 )X∗n−1 · Ψ(θ0 )
P
∗
ξ1 (θ0 )X∗n−1 · Ψ(θ0 ) + di=2 Xn−i+1
ξi (θ0 )
Processus de branchement en épidémiologie
!
.
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Analyse des risques liés à une extinction très tardive
Trajectoires conditionnées à une extinction très tardive
Simulation d’une trajectoire du processus Xn (en rouge) et du processus
Xn∗ (en bleu), pour le même paramètre d’infection θ0 = θbX0 = 2.4486.
35
30
number of clinical cases
25
20
15
10
5
0
2010
2015
Sophie Pénisson (Berlin / INRA)
2020
2025
2030
2035
2040
2045
Processus de branchement en épidémiologie
2050
2055
2060
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Analyse des risques liés à une extinction très tardive
Estimation et prédiction
Estimation et prédiction
2
n ∗
∗ |X∗
X
X
X
−
E
θ
k−1
k
k
θbn∗ := arg min
θ
a · X∗k−1
k=1
Proposition (S.P.)
p.s.
lim θbn∗ = θ0 ,
n→∞
s
lim
n→∞
P
d
j∈N
n P
j∈Nd
f ∗ (θ0 , j)πθ0 (j) g ∗ (θ0 , j)πθ0 (j)
D
θbn∗ − θ0 = N (0, 1) .
n = 11
∗
b
θn = 2.4472
P θ0 ∈ [2.3988 ; 2.4956] ≈ 0.95
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Analyse des risques liés à une extinction très tardive
Estimation et prédiction
Simulation de 1000 trajectoires de Xn∗ à partir de 2009
80
maximum
97.5% quantile
median
2.5% quantile
minimum
70
number of clinical cases
60
50
40
30
20
10
0
2010
2015
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2020
2025
2030
2035
Processus de branchement
year en épidémiologie
2040
2045
2050
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Diffusion de Feller
Un mot sur le processus de diffusion de Feller
Proposition (N.Champagnat & S.Roelly (2008) / S.P. (2010))
Soit P la loi d’un processus de diffusion de Feller (resp. d’un BGW à temps
continu) multitype, irréductible et (sous-)critique (ρ 6 0). Alors la loi du
Q-processus associé, défini par
∀t > 0, ∀B ∈ Ft , P∗ (B) := lim P (B | Xt+θ 6= 0)
θ→∞
est une h-transformée de Doob de P, satisfaisant: pour tout t > 0 et x ∈ Rd+
(resp. x ∈ Nd ), x 6= 0,
Xt · ξ −ρt
e
Px |Ft .
P∗x |Ft =
x·ξ
Proposition (S.P.)
De même que la diffusion de Feller multitype peut-être obtenue comme limite de
BGW multitypes, le Q-processus associé peut-être obtenu comme limite de
Q-processus associés aux BGW.
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Diffusion de Feller
Champagnat, N. and Rœlly, S. (2008). Limit theorems for conditioned
multitype Dawson-Watanabe processes and Feller diffusions. Electron. J. Probab.
13, 777–810.
Dallaporta, S. and Joffe, A. (2008). The Q-process in a multitype branching
process. Int. J. Pure Appl. Math. 42, 235–240.
Jacob, C., Maillard-Teyssier, L., Denis, J. B. and Bidot, C. (2009). A
branching process approach for the propagation of the BSE in Great-Britain. In
Branching processes and their Applications, Lecture Notes in Statistics,
Springer-Verlag, 227–242.
A. Joffe, A. and Spitzer, F. (1967). On multitype branching processes with
ρ 6 1. J. Math. Anal. Appl. 19, 409–430.
Pénisson, S. (2010). Continuous-time multitype branching processes conditioned
on very late extinction. ESAIM P&S.
Pénisson, S. (2010). Estimation of the infection parameter in the different phases
of an epidemic modeled by a branching process.
Pénisson, S. and Jacob, C. (2010). BSE epidemic in Great-Britain: prediction of
the disease spread and study of the very late extinction case scenario, based on a
stochastic branching model.
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