Brevet Amérique du sud, novembre 2009 Le cube représenté ci

Brevet Amérique du sud, novembre 2009
Le cube représenté ci-contre est un cube d’arête 6 cm.
(la figure n’est pas aux dimensions réelles)
On considère :
le point M milieu de l’arête [BB′],
le point N milieu de l’arête [CC′],
le point P milieu de l’arête [DC],
le point R milieu de l’arête [AB].
1. Quelle est la nature du triangle BRM?
Construire ce triangle en vraie grandeur.
Calculer la valeur exacte de RM.
2. On coupe le cube par le plan passant par R et
parallèle à l’arête [BC]. La section est le
quadrilatère RMNP.
Quelle est la nature de la section RMNP ?
Construire RMNP en vraie grandeur.
Donner ses dimensions exactes.
3. Calculer l’aire du triangle RBM.
Calculer le volume du prisme droit de base le triangle RBM et de hauteur [BC].
Correction
1. Nous avons RB=BM=3cm, c'est à dire la moitié de 6 cm.
De plus l'angle ̂
RBM est droit car nous avons un cube dont les faces sont donc des carrés.
Le triangle RBM est donc un triangle rectangle isocèle en B.
Donc, d'après le théorème de Pythagore :
RM²=BR²+BM²
RM²=3²+3²
RM²=18 or RM est une longueur donc RM>0
RM= √ 18 cm ou 3 √ 2 cm.
Ceci est la valeur exacte.
La valeur arrondie, qui n'était pas demandé est environ 4,2 cm.
Il faut tracer le triangle RBM en vraie grandeur.
2. La nature de la section RMNP est un rectangle avec RM=PN= 3 √ 2 cm et RP=MN=6cm
Il faut tracer le rectangle RMNP en vraie grandeur.
3. Aire de RBM=
RB×BM
3×3
= 2 = 4,5 cm²
2
L'aire du triangle RBM est de 4,5 cm².
Volume du prisme = AiredeRBM ×hauteur = 4,5×6 = 27 cm 3 .
Le volume du prisme concerné est 27 cm 3 .