Chapitre 4.3 – La force sur un fil dans un champ magnétique uniforme

Chapitre 4.3 – La force sur un fil dans un champ
magnétique uniforme
Force magnétique sur un fil
Lorsqu’un fil parcouru par un courant
v électrique est plongé dans un champ magnétique,
v
celui-ci subit une force
magnétique
F
qui
dépend
du
courant
I,
de
la
longueur
du
fil
l , du
m
v
champ magnétique B et de l’angle θ entre l’orientation du fil et le champ magnétique.
Cette force macroscopique résulte de la force magnétique appliquée sur tous les électrons
en mouvement qui transportent le courant électrique :
v
v v
F = I l× B
où
v
F : Force magnétique appliquée sur le fil en newton (N)
I : Courant électrique en ampère (A)
v
l : Vecteur longueur du fil orienté dans le sens
v du courant en mètre (m)
B : Champ magnétique sur le fil en tesla (T)
θ : Angle entre l’orientation du fil et le champ
magnétique
v
B
I
θ
v
Fm
v
l
Preuve :
Considérons un groupe de N électrons se déplaçant à la vitesse de dérive1 vd dans un fil
conducteur de surface A :
vd
A
I
À l’aide de la définition de la densité des électrons libres n, nous pouvons établir un lien
entre les N électrons et le volume AD qu’ils occupent dans le fil :
N = nAD
v
Puisque tous les électrons se déplacent à la vitesse de dérive v d , on peut évaluer la force
magnétique appliquée sur chacun des électrons et faire la somme de toutes ces forces :
Sur un électrons :
v
v v
F = qv × B
et
q = −e
Sur N électrons :
v
v v
F = qv × B
et
q = − Ne ⇒
1
⇒
v
v v
F1 = −e vd × B
v
v v
FN = − Ne vd × B
La vitesse de dérive a été définie au chapitre 3.3
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Rappelons le lien entre la vitesse de dérive
vd des électrons et le courant électrique I
qu’ils transportent dans un fil de surface A :
×
×
×
vd ×
I
×
×
×
A×
v
B
v
×
×
×
×
Fm (e )
Nous pouvons maintenant développer l’expression de la force magnétique appliquée sur
v
nos N électrons et introduire un lien entre la vitesse de dérive vd et le courant électrique I :
v
v
v
v v
v
FN = − Ne vd × B
⇒
FN = − Ne vd (vˆd × B )
(Remplacer vd = vd v̂d )
v
v
⇒
FN = −(nAD )e vd (vˆd × B )
(Remplacer N = nAD )
vd =
I
nAe
⇒
⇒
⇒
⇒
Remarque :
v
v
 I 
FN = −(nAD )e
(vˆd × B )
 nAe 
v
v
FN = − I D (vˆd × B )
v
v
FN = I (− D vˆd × B )
v
v v
F = I l× B
■
(Remplacer vd =
I
)
nAe
(Simplification)
(Réécriture)
v
(Remplacer l = − D v̂d )
Puisque les électrons se déplacent dans le sens contraire du courant
conventionnel, la vitesse de dérive est orientée dans le sens contraire au
v
courant. Ainsi, nous pouvons établir le lien suivant : l = − D v̂d
Comparaison entre force électrique et force magnétique
Voici une comparaison entre la force électrique et la force magnétique que s’applique deux
géométries de base :
Attraction de sphère conductrice
Répulsion de sphère conductrice
Attraction de deux fils
Répulsion de deux fils
Les expériences d’attraction et de répulsion entre deux fils portent à croire qu’un courant
électrique I génère un champ magnétique, car un fil subit une force magnétique sous la
v
v v
présence d’un champ magnétique ( F = I l × B ).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Situation A : La force magnétique sur un fil aligné le long de l’axe y. Un fil de 80 cm
est aligné le long de l’axe y et il est parcouru par un courant de 0,5 A s’écoulant dans le
sens négatif de l’axe y. Ce fil est plongé dans un champ magnétique constant de 0,2 T
orienté dans le sens positif de l’axe z. On désire évaluer la force magnétique appliquée sur
le fil sous forme vectorielle.
z
Voici une représentation de la situation :
•
•
•
I = 0,5 A
v
v
B = 0,2 k T
v
v
l = −0,8 j m
v
F
vy
B
v
l
x
Avec la définition de la force magnétique, évaluer la force appliquée sur le fil :
v
v
v v
v
v
⇒
F = (0,5) (− 0,8 j ) × 0,2 k
(Remplacer valeurs num.)
F = I l× B
v
v
v
(Sortir les constantes)
⇒
F = −0,08 j × k
v
v v v
v
(Calculer, j × k = i )
⇒
F = −0,08(i )
v
v
F = −0,08 i N
⇒
(Évaluer la force magnétique)
(
(
)
)
Situation B : La force magnétique sur un fil électrique d’un circuit. Une pile de 9 V
alimente en électricité un moteur rotatif d’une résistance de 500 Ω avec deux fils
rectilignes de résistance négligeable. Selon un plan cartésien gradué en mètre, la pile est
située à la coordonnée
v
v
v(1,2) vet le moteur est situé à la coordonnée (-3,4). Un champ
magnétique B = 3 i − 9 j − 4 k × 10 −3 T constant applique une force magnétique sur les
deux fils électriques. On désire évaluer le module de la force magnétique appliquée sur
chacun des deux fils.
(
)
Évaluons le courant transporté par les fils à l’aide de la loi d’Ohm :
∆V = RI
∆V
R
⇒
I=
⇒
I=
⇒
I = 0,018 A
(9)
(500)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Isoler I)
(Remplacer valeurs num.)
(Courant électrique)
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v
Évaluons le vecteur longueur de fil l partant de la pile vers le moteur avec la définition du
v v
v
vecteur déplacement : ( r = p 2 − p1 )
v v
v
v
v
v
l = p 2 − p1 ⇒
l = (− 3,4 ) − (1,2 )
( p 2 : position moteur, p1 : position pile)
v
⇒
l = (− 4,2 )
(Vecteur déplacement)
v
v
v
l = (− 4 i + 2 j ) m
⇒
(Vecteur exprimé en composante unitaire)
Avec la définition de la force magnétique, évaluons la force magnétique sur le fil sous
forme vectorielle :
v
v
v v
v
v
v
v
v
F = I l× B ⇒
F = (0,018) (− 4 i + 2 j ) × 3 i − 9 j − 4 k × 10 −3 (Remplacer)
v
v
v
v
v
v
⇒
(Factoriser constantes)
F = 1,8 × 10 −5 (− 4 i + 2 j ) × 3 i − 9 j − 4 k
((
(
)
)
)
⇒
v
v
v v
v
v
v
F = 1,8 × 10 −5 ( (− 4 i × 3 i ) + (− 4 i × −9 j ) + − 4 i × −4 k
v
v v
v
v
v
+ (2 j × 3 i ) + (2 j × −9 j ) + 2 j × −4 k )
(Distribution du produit)
⇒
v
v v
v v
v v
F = 1,8 × 10 −5 ( − 12 ( i × i ) + 36( i × j ) + 16 i × k
v v
v v
v v
+ 6( j × i ) − 18( j × j ) − 8 j × k )
(Factoriser les constantes)
⇒
v
v
v
F = 1,8 × 10 −5 ( − 12 (0 ) + 36 k + 16( − j )
v
v
6 − k − 18( 0 ) − 8 ( i ) )
(Effectuer produits vectoriels)
⇒
v
v
v
v
v
F = 1,8 × 10 −5 36 k − 16 j − 6 k − 8 i
(Retirer termes nuls)
⇒
v
v
v
v
F = 1,8 × 10 −5 − 8 i − 16 j + 30 k
(
(
)
)
(
)
(
()
( )
(
(
)
)
)
(Simplification)
Nous pouvons maintenant évaluer le module de la force magnétique (la valeur sera la même
sur les deux fils) :
2
2
F = Fx + Fy + Fz
2
(− 8)2 + (− 16)2 + (30)2
⇒
F = 1,8 × 10 −5
⇒
F = 6,28 × 10 −4 N
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Le haut-parleur
Exercices
Référence : Note Science Santé – Chapitre 7 – Question 2
Une tige de résistance R, de longueur L et de masse m, repose sur deux rails conducteurs (de
résistance négligeable) formant un plan incliné d’angle θ. Si le tout forme un circuit fermé
avec une pile de force électromotrice ε, déterminez la valeur et le sens du champ
magnétique B à appliquer verticalement, juste suffisant pour empêcher la tige de descendre
sous l’effet de la gravité. Supposons qu’il n’y a pas de friction.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Solution
Référence : Note Science Santé – Chapitre 7 – Question 2
Nous avons la définition de la force magnétique Fm :
v
v v
Fm = I l × B
Notre courant provient d’une force électromotrice
ε:
∆V = RI
⇒
I=
∆V ε
=
R
R
On remplace I par son expression provenant de la loi d’Ohm :
ε 
Fm = I l B sin (θ ) =   (L ) B sin (90°)
R
⇒
Fm =
LεB
R
Avec la 2ième loi de Newton : (dans la coordonnée x’ )
v
∑F =0
⇒
∑F
⇒
− Fm cos(θ ) + mg sin (θ ) = 0
⇒
−
⇒
L εB
cos(θ ) = mg sin (θ )
R
⇒
B=
R
sin (θ )
mg
Lε
cos(θ )
⇒
B=
mgR
tan (θ )
Lε
x'
=0
L εB
cos(θ ) + mg sin (θ ) = 0
R
Ainsi :
v mgR
v
B=
tan (θ ) j
Lε
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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