chap 24 le cosinus - Collège Gustave Courbet

COSINUS D'UN ANGLE AIGU
I Introduction :
Activité :
0,77
L’angle A
0,77
Cos 40° = AC / AB = AC / 10
Et AC = 10 × cos 40° = 0,77
Le navire se trouve à 7,7 m du quai.
II Définition :
B
hypoténuse
Dans le triangle ABC rectangle en C, le cosinus de l'angle aigu BAC est :
cos (BAC ) =
longueur du côté adjacent pour l'angle BAC
Longueur de l'hypoténuse
c’est à dire cos (BAC ) =
A
AC
AB
C
Remarques :
• Dans un triangle rectangle, le côté le plus long est toujours l'
hypoténuse.
• Le cosinus d'
un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
III Utilisation de la notation cosinus et du rapport (sans calcul) :
Complète avec les lettres des figures :
cos ABC =
BA
BC
cos ABH =
BH
BA
côté adjacent
Repasser les angles correspondants
au cosinus de la couleur de la lettre
du sommet de l’angle
cos BAH =
AH
AB
cos ACB =
CA
CB
cos
cos ABE
=
AB
BE
cos AEB =
ACH
=
AH
AC
cos ADF =
DA
DC
EA
EB
cos ADC =
cos ACE =
CA
CE
cos HAC
cos
ACD
=
=
HC
AC
AC
CD
DA
DC
cos BFD = impossible car le
triangle n’est pas rectangle
IV La calculatrice et la trigonométrie :
1) Première utilisation de la calculatrice :
Si tu veux connaître la valeur du cosinus d’un angle de 64°, assure-toi que ta calculatrice est bien en degré.
Pour cela vérifie que ta calculatrice texas college affiche …DEG…………… .
Si ta calculatrice n’affiche pas DEG tu dois taper 2nde MATHS
=
=
Tu peux alors taper… cos
64
)
=
….sur ta calculatrice et y lire : …0,438371147………
Si tu veux connaître la valeur du cosinus d’un angle de 64°, assure-toi que ta calculatrice est bien en degré.
Pour cela vérifie que ta calculatrice casio college 2D affiche …D…………… .
Si ta calculatrice n’affiche pas DEG tu dois taper shift MODE
3
Tu peux alors taper… cos
64
)
EXE ….sur ta calculatrice et y lire : …0,438371147…
Si tu veux connaître la valeur du cosinus d’un angle de 64°, assure-toi que ta calculatrice est bien en degré.
Pour cela vérifie que ta calculatrice autre que les deux précédentes affiche ……………… .
Si ta calculatrice n’affiche pas ……… tu dois taper
Tu peux alors taper ……………………………………………………………………………
On convient de donner un résultat avec un nombre de décimales en rapport avec la précision demandée dans les
énoncés (généralement la valeur arrondie à 0,01 près).
Si on te demande la valeur du cosinus de 64° à 0,01 près par défaut, tu indiqueras …0,43…………..
Si on te demande la valeur du cosinus de 64° à 0,01 près par excès, tu indiqueras …0,44…………..
Si on te demande la valeur du cosinus de 64° arrondi à 0,01 près, tu indiqueras ……0,44………..
Exemples : A l’aide de la calculatrice, donne les valeurs arrondies à 0,01 près de :
cos 2l° ≈ …0,93………..
cos 35° ≈ …0,82……….
2) Deuxième utilisation de la calculatrice :
Si maintenant tu connais la valeur du cosinus d’un angle aigu noté α, par exemple cos α = 0,739 et que tu veux
connaître la valeur de l’angle α à 0,01° près, tu dois utiliser l’inscription située au dessus de la touche COS ,
tu dois taper sur la Texas college
2nde
cos
0.739
)
=
sur l’écran s’affiche cos−1
Si maintenant tu connais la valeur du cosinus d’un angle aigu noté α, par exemple cos α = 0,739 et que tu veux
connaître la valeur de l’angle α à 0,01° près, tu dois utiliser l’inscription située au dessus de la touche COS ,
tu dois taper sur la casio college 2D
shift
cos
0.739
)
=
sur l’écran s’affiche cos−1
Si maintenant tu connais la valeur du cosinus d’un angle aigu noté α, par exemple cos α = 0,739 et que tu veux
connaître la valeur de l’angle α à 0,01° près, tu dois utiliser l’inscription située au dessus ou en dessous de la
touche COS , tu dois taper sur la calculatrice qui est différente des deux premières
…………………………………………………………………………………….
Elles affichent…42,35369955………, tu écriras : α ≈ …42.. (valeur arrondie au degré près).
Exemples : A l’aide de la calculatrice, donne les valeurs arrondies de l’angle aigu α au degré près :
cos α = 0,l83 donc α ≈…79°…
cos α = 0,991 donc α ≈…8°……
III Exercices types :
a) Utilisation de la calculatrice
mesure de ABC
5°
15°
30°
45°
60°
75°
85°
cos ABC à 10−2 près
1
0,97
0,87
0,71
0,5
0,26
0,09
cos ABC
0,7
0,9
5
7
8
15
6
35
1,2
3,5
13
30
mesure de ABC à 1° près
46
26
44
58
80
70
64
Pour chaque exercice qui suit , dessiner à main levée le triangle et placer les données connues et ce que l’on recherche
b) Recherche de la longueur d'un côté de l'angle droit
On considère un triangle ABC rectangle en B tel que BAC = 40 ° et AC = 9 cm
Rédaction : dans le triangle ABC rectangle en B, on a : cos BAC =
AB
cos 40 °
AB
donc
=
AC
1
9
Pour obtenir AB, je dois faire l'
opération suivante AB = 9 × cos 40°
Ce nombre est la valeur exacte de la longueur que je recherche.
1) Je vérifie qu'
elle est bien en mode degré (à l'
affichage, on voit écrit D ou Deg).
2) Pour en obtenir une valeur approchée, je tape la séquence suivante sur ma calculatrice :
On trouve environ 6,9 cm
Faire apparaître le produit en croix
c) Recherche de la longueur de l'hypoténuse
On considère un triangle ABC rectangle en B tel que BAC = 50 ° et AB = 5 cm
Rédaction : dans le triangle ABC rectangle en B, on a : cos BAC =
AB
cos 50 °
5
donc
=
AC
1
AC
5
cos 50°
Ce nombre est la valeur exacte de la longueur que je recherche.
1) Je vérifie qu'
elle est bien en mode degré (à l'
affichage, on voit écrit D ou Deg).
2) Pour en obtenir une valeur approchée, je tape la séquence suivante sur ma calculatrice :
Pour obtenir AC, je dois faire l'
opération suivante AC =
On trouve environ 7,8 cm
d) Recherche de la mesure d'un angle
On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 7 cm et BC = 10 cm
AB
Rédaction : dans le triangle ABC rectangle en A, on a : cos ABC =
BC
7
cos ABC =
10
7
ABC = cos-1
10
Pour obtenir la mesure de l’angle, j’utilise ma calculatrice de la manière suivante :
1) Je vérifie qu'
elle est en degré .
2) Je tape la séquence suivante : ………………………….
L'
angle ABC mesure environ 46°