Formulaire sur l`intégrale

Formulaire sur l’intégrale
Z
Z
Intégrale indéfinie et dérivées
Z
f 0 (x) dx = f (x) +C
d
dx
Z
sin(x) dx = − cos(x) +C
Z
cos(x) dx = sin(x) +C
f (x) dx = f (x)
Z
sec2 (x) dx = tan(x) +C
Changement de variables
Z
Z
csc2 (x) dx = − ctg(x) +C
f (u) du
Z
f g(x) g0 (x) dx =
où u = g(x), du = g0 (x)dx
sec(x) tan(x) dx = sec(x) +C
Z
csc(x) ctg(x) dx = − csc(x) +C
Intégration par parties
Z
u dv = uv −
Z
Z
v du
Linéarité
Z
Z
A f (x) dx = A
f (x) dx, A ∈ R
Z
Z
f (x) + g(x) dx =
Z
f (x) dx +
g(x) dx
Primitives de base
Z
xa dx =
xa+1
+C, a , −1
1
dx = ln |x| +C
Z x
ex dx = ex +C
a+1
Z
Z
bx dx =
bx
+C
ln(b)
tan(x) dx = − ln | cos(x)| +C = ln | sec(x)| +C
Z
ctg(x) dx = ln | sin(x)| +C = − ln | csc(x)| +C
Z
sec(x) dx = ln | sec(x) + tan(x)| +C
Z
csc(x) dx = − ln | csc(x) + ctg(x)| +C
1
√
dx = asin(x) +C = − acos(x) +C
1 − x2
Z
1
dx = atan(x) +C = − actg(x) +C
2
Z 1+x
1
√
dx = asec(x) +C = − acsc(x) +C
x x2 − 1
Z
Intégrale définie
Changement de variable pour l’intégrale définie
Avec le changement de variable u = g(x):
Définition
y
Z b
0
Z g(b)
0
f (g(x))g (x) dx =
a
g(a)
g(b)
f (u) du = f (u)g(a)
y = f 0 (x)
Théorème fondamental du calcul
k f (x)
Première partie:
a
dx
Z b
x
b
f 0 (x) dx =
a
n
Z b
f (x) dx = lim
n→∞
a
∑ aire
k
Z b
a
b
dy = f (b) − f (a) = f (x)a
y
k=1
f (b) − f (a)
dy
y = f 0 (x)
dx
aire
k
= f (xk∗ )∆x =
f (xk∗ )
k
xk∗
a
b
∆x
x
f (x)
x
Z
f (t) dt
Seconde partie : d
= f (x) dx
a
y
1
2
k
...
3
a
... n−2 n−1
n
y = f (x)
y = f (x)
a + k∆x
b
Rx
x
b−a
pour un découpage régulier
n
b−a
xk∗ = a + k
si on prend les cotés à droite
n
b−a
xk∗ = a + (k − 1)
si on prend les cotés à gauche
n
∆x =
a
Rx
f (t) dt
Z
Comparaisons
Si f (x) ≥ 0 sur [a, b], alors
f (x) dx ≥ 0.
a
f (x) dx
Si f (x) ≥ g(x) sur [a, b], alors
a
Z b
f (x) + g(x) dx =
a
f (x) dx
Z b
a
f (x) dx ≥
a
Propriétés géométriques de l’intégrale définie
Z a
Z b
Z b
f (x) dx = −
f (x) dx = 0
a
Z ca
Z b
f (x) dx +
a
f (t) dt)
x
dx
Linéarité de l’intégrale définie
Z b
Z b
C f (x) dx = C
a
f (x)
a
Z b
a
b
d(
Z c
f (x) dx =
b
g(x) dx.
a
Si m ≤ f (x) ≤ M sur [a, b], alors
f (x) dx
a
f (x) dx
a
Z b
m(b − a) ≤
Z b
a
f (x) dx ≤ M(b − a).