Inégalité de Cauchy Schwarz
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Inégalité de Cauchy Schwarz
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 Inégalité de Cauchy Schwarz Exercice 1 [ 01575 ] [correction] Soit (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Montrer n X !2 xk 6n k=1 n X x2k k=1 Etudier les cas d’égalités. Exercice 2 [ 01576 ] [correction] Soient x1 , . . . , xn > 0 tels que x1 + · · · + xn = 1. Montrer que n X 1 > n2 xk k=1 Préciser les cas d’égalité. Exercice 3 [ 01577 ] [correction] On considère C 0 ([a, b] , R) muni du produit scalaire Z (f | g) = b f (t)g(t) dt a Pour f strictement positive sur [a, b] on pose Z `(f ) = b Z f (t) dt a a b dt f (t) Montrer que `(f ) > (b − a)2 . Etudier les cas d’égalités. Exercice 4 [ 01578 ] [correction] R1 Soit f : [0, 1] → R continue et positive. On pose In = 0 tn f (t) dt. Montrer 2 In+p 6 I2n I2p Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections Corrections Exercice 4 : [énoncé] Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz Exercice 1 : [énoncé] Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire canonique sur Rn !2 !2 ! n ! n n n n X X X X X 2 2 xk = xk 1 6 xk 1 =n x2k k=1 2 k=1 k=1 k=1 Z 1 n+p t 0 2 Z f (t) dt = 0 2 1 n t p f (t)t p p f (t) dt Z 6 0 1 t2n f (t) dt Z 1 t2p f (t) dt 0 k=1 Il y a égalité si, et seulement si, (x1 , . . . , xn ) et (1, . . . , 1) sont colinéaires i.e. : x1 = · · · = xn . Exercice 2 : [énoncé] Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz n X 1 √ xk √ xk k=1 Donc !2 6 n n X 1 X xk xk k=1 k=1 n X 1 > n2 xk k=1 De plus, il y a égalité si, et seulement si, il y a colinéarité des n-uplets √ √ 1 1 , . . . , et ( x1 , . . . , xn ) √ √ x1 xn ce qui correspond au cas où √ √ x1 xn √ = ··· = √ 1/ x1 1/ xn soit encore x1 = · · · = xn = 1/n Exercice 3 : [énoncé] p Soit g ∈ C([a, b] , R) l’application définie par g(t) = f (t). Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz : !2 Z Z b Z b b dt 1 2 dt 6 f (t) dt. = `(f ) (b − a) = g(t). g(t) a a f (t) a Il y a égalité si, et seulement si, t 7→ g(t) et t 7→ correspond à f constante. 1 g(t) sont colinéaires ce qui Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD