Méthode de Monte Carlo pour les options asiatiques

Méthode de Monte Carlo pour les options asiatiques
6 avril 2011
Exercice 1. On se place dans le modèle de Black-Scholes
dSt = St (rdt + σdWt ),
S0 = x
où W est un mouvement Brownien standard réel.
On cherche à calculer le prix d’une option asiatique donné par
"
−rT
E e
Z T
1
T
! #
Su du − K
0
.
+
R
1. Simuler T1 0T Su du en approchant l’intégrale par la méthode des trapèzes à N pas de
temps.
2. Calculer le prix de l’option asiatique par une méthode de Monte Carlo en utilisant
l’approximation précédente. Application numérique : x = 100, T = 1, r = 0.05, σ =
0.2, K = 95. Le prix est 8.82. Pour N = 100 et M = 10000, l’intervalle de confiance est
de l’ordre de 0.37.
3. On considère maintenant la variable de contrôle
RT
1
Y = eT
0
log(Su )du
.
On rappelle que
(r−σ 2 /2) T2
E(Y ) = x e
E(e
σ
T
RT
0
Wu du
) = x erT /2−σ
2 T /12
.
Utiliser Y comme variable de contrôle pour calculer le prix de l’option asiatique. Comparer l’intervalle de confiance obtenu avec celui obtenu à la question précédente. Application numérique : pour N = 100 et M = 10000, l’intervalle de confiance est de l’ordre
de 0.14.
4. On considère maintenant la variable de contrôle
1
Z = e−rT e T
RT
0
log(Su )du
−K
.
+
L’espérance de Z est donnée par


(r−σ 2 /6) T2
E(Z) = e−rT −KN (−d) + x e
1
N −d + σ
s

T 
3
q
2
σ T
avec d = σ1 T3 ln( K
x ) − (r − 2 ) 2 . Utiliser cette nouvelle variable de contrôle pour
calculer le prix de l’option asiatique et comparer l’intervalle de confiance obtenu avec
ceux obtenus dans les deux cas précédents. Application numérique : pour N = 100 et
M = 10000, l’intervalle de confiance est de l’ordre de 0.013.
La fonction Scilab [p,q]=cdfnor("PQ",x, m, sigma) renvoie dans p la probabilité
qu’une gaussienne de moyenne m et de variance sigma soit plus petite que x, et on a
q=1-p.
Exercice 2 (Correction pour les options barrières). On considère une option de payoff
e−rT (ST − K)+ 1{∀t∈[0,T ]St ≥L}
avec L > 0.
On prendra T = 1, σ = 0.25, r = 0.02, x = 100, K = 105, et L = 90. Le prix vaut alors 6.57.
1. Ecrire une fonction calculant le prix d’une telle option par une méthode de Monte Carlo
à M tirages et N pas de discrétisation. Pour M = 50000 et N = 100, le prix est de
l’ordre de 7.05 et la taille de l’intervalle de confiance est de l’ordre de 0.27.
2. Pour M = 50000, tracer l’évolution du prix en fonction de N , pour N allant de 10 à
100 par pas de 10. Que constate-t-on ?
3. Le biais que l’on observe numériquement provient de la discrétisation de la condition
de sortie. En conditionnant par la valeur du sous-jacent aux instants de discrétisation,
on peut montrer que l’on a (voir cours)
E (ST − K)+ 1{inf u∈[0,T ] Su ≥L} = E (ST − K)+
N
Y
P
i=1
inf
u∈[ti−1 ,ti ]
Su ≥ LSti−1 , Sti
!!
pour toute grille 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T .
Il resterait alors à calculer ces probabilités conditionnelles dont on donne l’expression
pour tout s < t, L > 0 et L < x et L < y :
P
inf Su < LSs = x, St = y
s≤u≤t
= exp −
2 log Lx log Ly
σ 2 (t − s)
!
.
4. Utilisez le résultat précédent pour mettre en œuvre une méthode de Monte-Carlo
améliorée calculant le prix de l’option barrière.
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