Ex 1

Exercice 1 : ( 4 points )
Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la
suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la
probabilité qu’il perde la suivante est 0,8.
Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les événements :
• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ».
• Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».
On pose pn = p(Gn) et qn = p(Pn).
1. Recherche d’une relation de récurrence.
a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles pG1 (G 2 ) et pP 1 (G 2 ) .
b. Justifier l’égalité pn + qn = 1.
c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn + 0,2.
2. Etude de la suite (pn).
2
On pose, pour tout entier naturel n non nul, vn = pn − .
5
a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.
b. En déduire l’expression de pn en fonction de n .
c. Déterminer la limite de la suite (pn) quand n tend vers +∞.
Solution :
1.a. D’après l’énoncé, on a ‫݌‬ଵ = 0,5, ‫ீ݌‬భ ሺ‫ܩ‬ଶ ሻ = 0,7 et ܲ௉భ ሺ‫ܩ‬ଶ ሻ = 1 − ܲ௉భ ሺܲଶ ሻ = 1 − 0,8 = 0,2.
തതത
b. Comme ܲ௡ = ‫ܩ‬
௡ on en déduit que ‫݌‬௡ + ‫ݍ‬௡ = 1.
c. D’après la formule des probabilités totales, ܲሺ‫ܩ‬௡ାଵ ሻ = ܲሺ‫ܩ‬௡ ሻܲீ೙ ሺ‫ܩ‬௡ାଵ ሻ + ܲሺܲ௡ ሻܲ௉೙ ሺ‫ܩ‬௡ାଵ ሻ.
Ainsi, ‫݌‬௡ାଵ = ‫݌‬௡ × 0,7 + ሺ1 − ‫݌‬௡ ሻ × 0,2 = 0,5‫݌‬௡ + 0,2.
ଶ
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
ଵ
ଶ
ଵ
2.a. On a ‫ݒ‬௡ାଵ = ‫݌‬௡ାଵ − = ‫݌‬௡ + − = ‫݌‬௡ − = ቀ‫݌‬௡ − ቁ = ‫ݒ‬௡ .
ହ
ଶ
ହ
ହ
ଶ
ଵ
ହ
ଶ
ହ
ଶ
ଶ
ଵ ௡ିଵ
(vn) est donc une suite géométrique de raison et de premier terme ‫ݒ‬ଵ = ‫݌‬ଵ − = 0,1. ‫ݒ‬௡ = 0,1 × ቀ ቁ
ଶ
ଶ
ଵ ௡ିଵ
ଶ
ହ
ଶ
b. ‫݌‬௡ = ‫ݒ‬௡ + = + 0,1 × ቀ ቁ .
ହ
ହ
ଶ
c. (vn) est géométrique de raison positive et strictement inférieure à 1 donc elle converge vers 0. Ainsi (pn)
ଶ
converge vers . (Pour n assez grand la probabilité que Pierre gagne la n-ième partie est voisine de 40%.)
ହ
Arbre résumant la situation :
Gn+1
0,7
Gn
0,3
Pn+1
pn
Gn+1
1- pn = qn
0,2
Pn
0,8
Pn+1
.