1 La perspective cavalière

Collège Elie COUTAREL
Année 2008-2009.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec LATEX
Géométrie dans l’Espace
1
La perspective cavalière
1.1
Définition
Définition 1
La perspective cavalière est une manière de représenter sur papier des objets en volume. Cette représentation ne
présente pas de point de fuite : la taille des objets ne diminue pas lorsqu’ils s’éloignent.
Cette perspective ne prétend pas donner l’illusion de ce qui peut être vu, mais simplement donner une information
sur la notion de profondeur.
1.2
Les règles
On obéit à certaines règles pour représenter un objet en perspective cavalière, on se donne donc :
1. un plan (P ) : le plan de la feuille, muni d’un axe horizontal et d’un axe vertical.
2. une échelle (un rapport de longueur).
3. une direction de fuite : axe formant un angle  quelconque avec l’horizontale, appelé angle de fuite (souvent
30◦ ou 45◦ ).
4. Un rapport de fuite k, compris entre 0 et 1 (contraction des longueurs simulant l’éloignement).
Exemple 1
1
Représentons un cube de un mètre de côté avec une échelle de
(on va donc réduire 20 fois le cube), chaque côté
20
fera donc 5 cm. Prenons un rapport de fuite de 0,5 (les longueurs des côtés en perspective seront de moitié) et 30◦
pour la direction de fuite.
E
A
•
•
F
B
•
•
1
H
•
G
D
•
•
•
C
30◦
2
2.1
Deux solides de l’espace
Le cube
C’est un solide semblable au dé à 6 faces avec lequel on joue.
Comme on vient de le dire, il est composé de 6 faces, il a 8 sommets et 12 arêtes.
Sa représentation en perspective cavalière est celle du solide ci-dessus.
2.2
Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle)
C’est un solide semblable à une boite à chaussures.
Lui aussi est composé de 6 faces, de 8 sommets et de 12 arêtes.
Sa représentation en perspective cavalière est la suivante :
E
A
•
•
F
B
•
•
H
•
G
D
•
•
•
C
Remarque 1
Il existe une petite formule pour les polyèdres "sans trous" :
f +s−a=2
où f , s et a sont les nombres de faces, de sommets et d’arêtes.
Cette formule est dûe au mathématicien L. EULER.
3
Les volumes
Le volume est une mesure d’un objet tri-dimensionnel, en quelque sorte la quantité de matière que l’on peut
mettre à l’intérieur.
L’unité de base est le m3 , que l’on peut décliner avec ses multiples et sous-multiples.
Un objet ayant un volume de 1 m3 est donc assimilable à un cube de 1 m de côté (il a la même contenance).
En découpant un cube de 1 mètre de côté tous les 1 dm, on obtient donc 1 000 cubes de 1 dm3 , ce qui justifie le
tableau :
km3
hm3 dam3
m3
dm3
cm3
mm3
L dL cL mL
D’après le tableau, on voit que le contenu d’une brique de lait peut être mis dans un cube de 10 cm de côté.
2