Page 1 Première ES Exercices pourcentages 1 Exercice 1

Première ES
Exercices pourcentages
Exercice 1 : évolutions et pourcentages
La population d’une ville était de 150 000 habitants en 2000. Elle s’est accrue chaque
année de 20 000 habitants.
Calculer l’augmentation en pourcentage de 2000 à 2001, de 2001 à 2002, de 2002 à
2003.
Exercice 2 : évolutions et pourcentages
Le 20 octobre 2010, le prix du litre de gasoil a augmenté de 2% pour atteindre 1,175 €.
Quel était son prix avant la hausse ? (Arrondir au millième d’euro).
Exercice 3 : évolutions et indices
Exercice 4 : taux annuel moyen
Une action a augmenté de 10% en 2009 et de 20% en 2010.
On veut déterminer le taux t qui, appliqué en 2009 et en 2010, aurait permis d’obtenir le
même résultat final.
Ce taux t est appelé taux annuel moyen.
t ²

 = 1,11,2
1) Expliquer pourquoi 1 +
 100
2) En déduire la valeur de 1 +
t
puis la valeur de t.
100
1
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Exercices pourcentages
Exercice 5 : Baisse d’impôts (exercice plus difficile)
Les deux questions sont indépendantes.
Les résultats seront arrondis à 10-2.
Le gouvernement d’un pays envisage de baisser un impôt de 30% en 5 ans.
1) On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.
Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89%.
2) La première année, cet impôt baisse de 5% ; la deuxième année, la baisse est de
1% et la troisième année, de 3%.
a) Quelle est la baisse, en pourcentage de cet impôt au terme de ces trois
premières années ?
b) Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider
ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux
dernières années ?
2
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Exercices pourcentages
CORRECTION
Exercice 1 : évolutions et pourcentages
La population d’une ville était de 150 000 habitants en 2000. Elle s’est accrue chaque
année de 20 000 habitants.
Calculer l’augmentation en pourcentage de 2000 à 2001, de 2001 à 2002, de 2002 à
2003.
La population en 2001 est de 150 000 + 20 000 = 170 000
La population en 2002 est de 170 000 + 20 000 = 190 000
La population en 2003 est de 190 000 + 20 000 = 210 000
Pour calculer les pourcentages d’évolution demandés, on utilise la formule
Q2 – Q1
.
Q1
170 000 – 150 000
 0,133 soit environ 13,3 %
150 000
190 000 – 170 000
 Entre 2001 et 2002 :
0,118 soit environ 11,8 %.
170 000
210 000 – 190 000
 Entre 2002 et 2003 :
 0,105 soit environ 10,5 %.
190 000
Exercice 2 : évolutions et pourcentages

Entre 2000 et 2001 :
Le 20 octobre 2010, le prix du litre de gasoil a augmenté de 2% pour atteindre 1,175 €.
Quel était son prix avant la hausse ? (Arrondir au millième d’euro).
Soit p le prix avant la hausse.
2 

= 1,175
On a p1 +
 100
1,175
D’où p =
 1,152 €.
1,02
Le prix avant la hausse était donc d’environ 1,152 €.
3
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Exercices pourcentages
CORRECTION
Exercice 3 : évolutions et indices
a)
Année
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
Rang de l'année xi
Dette yi
(en milliards
d'euros)
Indice base 100
0
1
2
271,7 321,4 443
100
3
4
5
6
7
540,1 613,1 683,5 773,4 872,6
118,3 163,0 198,8 225,7 251,6 284,7 321,2
Q2
On utilise la relation 100 
Q1
Exemples de calcul :
321,4
 pour 1992 : 100
118,3 (valeur arrondie au dixième)
271,7
443
 pour 1994 : 100
163,0 (valeur arrondie au dixième)
271,7
683,5
 pour 2000 : 100
251,6 (valeur arrondie au dixième)
271,7
321,2 – 100 221,2
b) Le taux d’évolution global entre 1992 et 2004 est :
=
100
100
Ce qui correspond à une augmentation de 221,2 % environ.
4
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Exercices pourcentages
CORRECTION
c)
Année
1990
1992
1994
1996
1998
0
1
2
3
4
Rang de l'année xi
Dette yi
(en milliards d'euros)
Indice base 100
Taux d’évolution
bisannuel
271,7 321,4
100
118,3
443
2000 2002 2004
5
6
7
540,1 613,1 683,5 773,4 872,6
163,0 198,8 225,7 251,6 284,7 321,2
18,3% 37,8% 21,9% 13,5% 11,5% 13,2% 12,8%
Calcul du taux d’évolution bisannuel :
I2 – I1
100
I1
Exemples de calcul :
118,3 – 100
100 = 18,3
100
225,7 - 198,8
 Entre 1996 et 1998 :
100  13,5
198,8
Exercice 4 : taux annuel moyen

Entre 1990 et 1992 :
Une action a augmenté de 10% en 2009 et de 20% en 2010.
On veut déterminer le taux t qui, appliqué en 2009 et en 2010, aurait permis d’obtenir le
même résultat final.
Ce taux t est appelé taux annuel moyen.
t ²

 = 1,11,2
3) Expliquer pourquoi 1 +
 100
t
4) En déduire la valeur de 1 +
puis la valeur de t.
100
10
1) Le coefficient multiplicateur appliqué en 2009 est 1 +
= 1,1.
100
20
Le coefficient multiplicateur appliqué en 2010 est 1 +
= 1,2.
100
Le coefficient multiplicateur global appliqué sur les 2 années est donc 1,11,2.
Si on applique un même taux t sur les deux années, le coefficient
t  
t  
t ²

1 +
 = 1 +

multiplicateur global sera : 1 +
 100  100  100
t ²

 = 1,11,2
On a donc bien : 1 +
 100
t
t
2) Comme 1 +
> 0, alors 1 +
= 1,32
100
100
t
D’où :
= 1,32 – 1
100
D’où t = 100( 1,32 – 1)  14,9.
Le taux annuel moyen cherché est donc d’environ 14,9%.
 14,9²
 = 1,149²  1,32
Vérification : 1 +
100 

5
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Exercices pourcentages
CORRECTION
Exercice 5 : Baisse d’impôts (exercice plus difficile)
Les deux questions sont indépendantes.
Les résultats seront arrondis à 10-2.
Le gouvernement d’un pays envisage de baisser un impôt de 30% en 5 ans.
3) On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.
Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89%.
4) La première année, cet impôt baisse de 5% ; la deuxième année, la baisse est de
1% et la troisième année, de 3%.
c) Quelle est la baisse, en pourcentage de cet impôt au terme de ces trois
premières années ?
d) Pour atteindre son objectif, quel pourcentage annuel de baisse doit décider
ce gouvernement, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux
dernières années ?
6,89
= 0,9311
100
30,0
Sur 5 ans, le coefficient multiplicateur global sera : 0,93115  0,6998  1 –
.
100
Ce qui correspond bien à une baisse de 30% sur 5 ans.
2) a)
Le coefficient multiplicateur sur les 3 années est :
5
1  
3 

 
8,7715
1 –
1 –
1 –
= 0,950,990,97 = 0,912285 = 1 –
100
100
100

 
100
 

Ce qui correspond à une baisse sur 3 ans d’environ 8,77%.
b)
Soit t le pourcentage de baisse à appliquer sur les deux dernières années.
t  
t 

30
1 –
 = 1 –
On doit avoir 0,950,990,971 –
100
100
100

 

t ²

0,7
t
 =
Soit 1 –
 0,7774 avec 1 –
>0
100


0,9122285
100
1) Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 6,89% est 1 –
t
 0,7774
100
t
Soit : –
 0,7774 – 1
100
Soit 1 –
Soit t  -100( 0,7774 – 1)
Soit t  12,40
12,4
1–
= 0,876
100
30
100
Conclusion : Pour atteindre son objectif de baisse de 30% sur cinq ans, ce
gouvernement devra appliquer une baisse d’environ 12,4% sur les deux
dernières années.
Vérification : 0,950,990,970,8760,876  0,70 = 1 –
6