memoire dess marche de financiers et gestion de capitaux

Transcription

RAHMANI ABDEL
MEMOIRE
DU
DESS
MARCHE DE FINANCIERS
ET GESTION DE CAPITAUX
MESURE
DE LA RENTABILITÉ
ET
DU RISQUE
- CNAM ANNEE SCOLAIRE 2002-2004
Mémoire : Mesure de la rentabilité et du risque
___________________________________________________________________________
A.
INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 3
B.
PREMIÈRE PARTIE : LES ACTIONS.................................................................................................... 5
I.
II.
1.
2.
III.
1.
2.
IV.
1.
2.
3.
V.
VI.
1.
2.
3.
4.
C.
QUELS SONT LES DIFFERENTES MESURES DE RENTABILITE D’UNE ACTION ?.............................................. 5
RENDEMENT EN DIVIDENDES ..................................................................................................................... 6
Mesure par le bénéfice......................................................................................................................... 6
Price earning ....................................................................................................................................... 7
METHODES UTILISANT LA CROISSANCE DES DIVIDENDES OU DES BENEFICES ....................................... 8
Méthodes d’évaluation absolue............................................................................................................ 8
Méthodes d’évaluation relative au secteur .......................................................................................... 8
COMPARAISON DE COURS A UNE DONNEE COMPTABLE ......................................................................... 9
Cours / actif net.................................................................................................................................... 9
Cours / Valeur.................................................................................................................................... 10
Cash flow et cours / cash flow............................................................................................................ 10
ILLUSTRATION : CALCUL DE RENTABILITE CLASSIQUE ET LOGARITHMIQUE D’UNE ACTION. ................... 11
QUELS SONT LES DIFFERENTES MESURES DU RISQUE D’UNE ACTION ? ................................................ 13
Le risque total .................................................................................................................................... 14
Le risque systématique ....................................................................................................................... 15
le risque spécifique............................................................................................................................. 17
Relation entre le risque total et systématique .................................................................................... 17
DEUXIÈME PARTIE : LES PORTEFEUILLES .................................................................................. 18
CHAQUE TITRE COMPORTE UN RISQUE QUE L'ON PEUT DECOMPOSER EN DEUX CATEGORIES: LE RISQUE
SPECIFIQUE DE CHAQUE TITRE, ET LE RISQUE SYSTEMATIQUE, LIE AUX MOUVEMENTS DU MARCHE.................. 18
LORSQUE L'ON CONSTITUE UN PORTEFEUILLE DE TITRES, ON ACHETE DANS DIFFERENTES PROPORTIONS
PLUSIEURS TITRES. L'UN DES GRANDS PRINCIPES DE LA CONSTITUTION DE PORTEFEUILLES REPOSE SUR UN
ADAGE DE PUR BON SENS : NE PAS METTRE TOUS SES OEUFS DANS LE MEME PANIER. LE PIONNIER DE LA
FINANCE MODERNE, MARKOWITZ, INVENTEUR DE LA THEORIE MODERNE DU PORTEFEUILLE, EST EN FAIT
ARRIVE A DEMONTRER EN TERMES MATHEMATIQUES LA REALITE DE CE PROVERBE. IL A ETABLI QUE LE RISQUE
TOTAL D'UN GROUPE DE TITRES EST INFERIEUR A LA SOMME DES RISQUES DE CES TITRES INDIVIDUELS. EN
D'AUTRES TERMES, INVESTIR DANS UN GROUPE DE TITRES (DIVERSIFIER SES INVESTISSEMENTS) PERMET DE
DIMINUER LE RISQUE SANS PERTE DE RENDEMENT. ........................................................................................... 18
CETTE DECOUVERTE REPOSE SUR LE FAIT QUE LES RISQUES SPECIFIQUES DE CHAQUE TITRE SE COMPENSENT ET
FINISSENT PAR DISPARAITRE COMPLETEMENT A PARTIR D'UN CERTAIN NOMBRE DE TITRES. LE SEUL RISQUE QUI
SUBSISTE POUR CE TYPE DE PORTEFEUILLES, DITS PORTEFEUILLES BIEN DIVERSIFIES, EST LA COMBINAISON DES
RISQUES SYSTEMATIQUES DES DIFFERENTS TITRES............................................................................................ 18
VII.
RENTABILITE D’UN PORTEFEUILLE ...................................................................................................... 19
1.
variance d’un portefeuille .................................................................................................................. 19
2.
Calcul de la covariance. .................................................................................................................... 22
3.
Calcul du coefficient de corrélation................................................................................................... 22
4.
Contribution d’un titre à la qualité du portefeuille............................................................................ 22
5.
Faisons le calcul pratique.................................................................................................................. 23
I.
Frontière efficiente et le portefeuille de variance minimale .............................................................. 24
D.
TROISIEME PARTIE : VAR, METHODE ET CRITIQUE ................................................................ 26
VIII.
DEFINITION ......................................................................................................................................... 27
IX.
LES ETAPES DU CALCUL ...................................................................................................................... 28
X. METHODES BASEES SUR LA VARIANCE .................................................................................................... 29
XI.
PASSAGE D’UNE VAR A 1 JOUR A UNE VAR A J JOURS ........................................................................ 31
XII.
STRESS TESTING.................................................................................................................................. 34
XIII.
MESURES COHERENTES DE RISQUE ..................................................................................................... 35
________________________________________________________________________
2 / 40
___________________________________________________________________________
AFIN D'IDENTIFIER ET DE QUANTIFIER LES RISQUES, LA COMPARAISON (CONTROLE EX-POST OU " BACKTESTING ") A INTERVALLES REGULIERS DES ESTIMATIONS JOURNALIERES DE PERTE POTENTIELLE (" VALEUR EN
RISQUE " OU CONCEPT SIMILAIRE) AVEC LES PROFITS ET PERTES CORRESPONDANTS APPARAIT INDISPENSABLE
PUISQU'ELLE PERMET UNE FORME DE VALIDATION DE LA METHODE EMPLOYEE. AUSSI, CHOISIT-ON DES
INFORMATIONS QUANTITATIVES EN COHERENCE AVEC L'ORGANISATION DES SYSTEMES DE MESURE ET DE
CONTROLE ADOPTES PAR L'ETABLISSEMENT. A CHAQUE SITUATION CORRESPOND UNE MESURE COHERENT DE LA
VAR : ............................................................................................................................................................... 35
•
VALEUR EN RISQUE " COURANTE " POUR UNE DUREE DE DETENTION D'UN JOUR ET DE DIX JOURS . CETTE
INFORMATION PEUT ETRE PRESENTEE SOUS LA FORME D'UNE COURBE REPRENANT LES VALEURS EN RISQUE
CONSTATEES QUOTIDIENNEMENT AU COURS DE L'EXERCICE ECOULE OU SOUS FORME D'ELEMENTS CHIFFRES EN
INDIQUANT LES VALEURS EN RISQUE MOYENNES AINSI QUE LEURS MONTANTS MAXIMAL ET MINIMAL POUR
L'EXERCICE ECOULE ; ........................................................................................................................................ 35
•
VALEUR EN RISQUE " EXTREME " CORRESPONDANTE POUR UNE DUREE DE DETENTION DETERMINEE.
CETTE VALEUR EN RISQUE EXTREME PEUT SE DEFINIR COMME L'EXPOSITION AU RISQUE D'UN INSTRUMENT DE
MARCHE, CALCULEE DANS DES CONDITIONS EXTREMES DE MARCHE. CETTE INFORMATION REPOND A LA NOTION
DE SCENARIO DE CRISE DE TYPE " STRESS-TESTING " ; ...................................................................................... 35
•
PERTES ET PROFITS QUOTIDIENS DE TRADING (PRESENTES SOUS FORME DE COURBE OU D'HISTOGRAMME).
CETTE INFORMATION REPOND A LA NOTION DE " BACK-TESTING ". LES RESULTATS DES DEUX TYPES DE
SCENARII (" BACK-TESTING " ET " STRESS-TESTING ") PERMETTENT D'APPRECIER LA QUALITE DU MODELE
UTILISE.............................................................................................................................................................. 35
XIV.
LES CRITIQUES .................................................................................................................................... 36
E.
CONCLUSION .......................................................................................................................................... 36
BIBLIOGRAPHIE.............................................................................................................................................. 38
A. Introduction
Le traitement explicite du temps se fait par la comparaison des flux financiers,
actualisés en fonction de leur date de réalisation. Quant à l’incertitude, on essaye
de la quantifier par des notions statistiques à travers la mesure du risque et de
rentabilité. La rentabilité et le risque sont les deux notions essentielles qui
permettent de caractériser un actif (finance de marché ) ou d’une entreprise
(finance d’entreprise), la connaissance de l’un étant indispensable pour porter un
jugement sur l’autre. Ainsi que le montre la théorie financière, les gains en
termes de rentabilité ne sont souvent que la contrepartie d’un accroissement du
risque.
Le risque porte soit sur la durée de l’investissement. Dans ce cas la rémunération
de l’investissement est d’autant plus grande que la durée du placement est
longue.Un investissement à trois mois est moins risqué qu’un investissement sur
20 ans.Dans la pratique, cela se traduit par une courbe de taux croissant.
________________________________________________________________________
3 / 40
___________________________________________________________________________
Le risque porte également sur la qualité de la contrepartie.A durée de prêt égale,
prêter à l’état via de la dette obligataire n’est pas équivalent à prêter à une petite
ou moyenne entreprise. L’entreprise à plus de risque de faire défaut que l’état.
L’état est supposé avoir le risque de défaut minima sur un territoire
géographique.Pour une maturité donnée, tous les autres prêt se font à un taux
supérieur. Cela se manifeste par un spread de credit entre le taux de
rémunération d’un placement et le titre d’obligation d’état de même maturité.En
France, pour le court terme, les taux de référence sans risque sont les billets de
trésoreries jusqu’à 1 an, puis viennent les BTAN, et enfin les OAT, dont les
échéances vont jusqu’à 30 ans. Tous les états ne se valent pas. L’Argentine à été
jugé en défaut de paiement par de grandes agences de notations financières a
cause de la dévaluation de sa devise et l’inflation galopante . L’objet de ce
mémoire est de décrire les différentes méthodes de construction et d’exploitation
du rendement et du risque en finance de marché, et plus précisément pour les
actions, à travers notamment des exemples de construction et d’interprétation de
ces indicateurs.
Ce document est composé de trois parties.
La première concerne la mesure du rendement et du risque d’une action. La
seconde la mesure du rendement et du risque d’un portefeuille.
Si la définition de la rentabilité titre ne pose pas de problème, il n’en est pas de
même de l’appréciation du risque, qui peut se faire à partir de plusieurs
indicateurs mesurant le risque total et le risque systématique d’un titre, chacun
ayant une interprétation bien définie. Le rendement et le risque doivent toujours
être annualisés ou, du moins calculés sur la même période. La rentabilité est une
fonction positive du risque.
Une fois ces concepts maîtrisés, la construction d’un portefeuille dans la
deuxième partie, en fait intervenir un troisième qui est la diversification d’un
portefeuille. Ce concept permet d’éliminer tout ou partie du risque spécifique lié
aux titres individuel. Cela a pour conséquence de réduire le risque global du
portefeuille jusqu’à un risque plancher qui est le risque du marché. Dans un
souci de simplification, les exemples d’applications ne font intervenir que deux
actifs dans la composition d’un portefeuille.
La troisième partie traite de la gestion des risques. Cette gestion repose sur
une infrastructure, des politiques et des méthodes qui permettent de gérer
l’information, d’établir des limites de transactions, d’évaluer la performance et
enfin de répondre aux exigences de la réglementation. Depuis le milieu des
années 90, le pivot de ce processus est la value-at-risk (Var). La gestion de
risque a pour premier objectif la comparaison des performances d’activités qui
ont des risques différents. Il faut tenir compte non seulement de la marge
bénéficiaire dégagée par un gestionnaire mais aussi du risque qu’il fait subir à
son institution. Un gestionnaire qui dégage un bénéfice de 1 million en gérant
des bons du Trésor n’utilise pas le capital de la banque de la même manière que
________________________________________________________________________
4 / 40
___________________________________________________________________________
celui qui gagne 1 million en spéculant sur des titres très volatiles.Ces mesures
permettent donc de détecter les activités qui ont un avantage compétitif et
facilitent les décisions d’allocation du capital de la banque.
B. PREMIÈRE PARTIE : LES ACTIONS
FAIRE UNE INTRODUCTION A CHAQUE PARTIE
Les actions sont le résultat d’un appel à l’investissement, au même titre qu’une
dette. La différence entre une dette et une action, c’est que pour une dette il y a
obligation de l’entreprise rémunérer l’investisseur. Alors que pour une action, la
distribution des dividende dépend de la politique croissance de l’entreprise. Les
actionnaires investissement dans des actions car les actions ont un taux de
rémunération supérieur à la dette, car les actions font partie des fonds propres, et
que ces derniers servent à couvrir le risque que les investisseurs ne veulent pas
prendre. Cette prise de risque est rémunérée.
I.
Quels sont les différentes mesures de rentabilité d’une action ?
La rentabilité d’une action peut être mesurée par plus d’une méthode aboutissant
en général à des résultats très différents. Elles ont toutes pour objectif de
________________________________________________________________________
5 / 40
___________________________________________________________________________
détecter les valeurs qui vont monter, soit en valeur absolue, soit par rapport à un
ensemble de valeurs.
A cours terme, les cours boursiers suivent une marche aléatoire. Certaines
méthodes d ‘évaluation sont très complexes, mais la complexité n’est pas
garante de pertinence. Toutes les méthodes d’évaluation sont sensibles à des flux
financiers. Ces flux dépendent des facteurs économiques. Une bonne approche
pour sélectionner un titre consiste essentiellement à estimer ce que l’on peut en
attendre sur le marché dans une période future. Une action ne vaut que par les
liquidités actuelles et flux futures disponibles pour générer les dividendes. Les
bénéfices sont la source des dividendes potentiels. Il est nécessaire de prendre en
compte le dividende dans le calcul du rendement d’une action.
Les méthodes d’évaluation des actions lient le taux d’actualisation au rendement
d’un actif «sans risque » ou d’un actif obligataire, sans incertitude sur les flux
nominaux.
Le problème clé de l’évaluation est d’identifier ce qui est le plus pertinent dans
le passé pour prédire le futur, et dans quelles conditions on peut s‘attendre à un
changement de tendance.
Par opposition aux méthodes d’évaluations, les méthodes d’analyse technique
permettent de sélectionner les valeurs par d’autres moyens que l’estimation des
flux de liquidités.
TOUT CA EST UN PEU FOUILLIS. STRUCTURE MIEUX TON DISCOURS
II.
Rendement en dividendes
Le rendement en dividende d’une action mesure le rapport entre le dividende
distribué et le cours. Les entreprises utilisent les dividendes comme un signal de
l’évolution future des bénéfices. Mais il existe des preuves empiriques qui
témoignent que les dividendes évoluent avec un retard de phase sur les
bénéfices. Si le marché dans son ensemble distribue un rendement en dividende
RDmarché et une action en dividende Daction la valeur de l’action vaut alors Vaction =
Daction / RDmarché. Cette méthode ne fournit pas de bons résultats pour les
périodes où les gains en capital sont importants.
1. Mesure par le bénéfice
Sur le long terme, de nombreuses études montrent que les dividendes sont
proportionnels aux bénéfices. Sur le cours terme, les bénéfices reflètent mieux la
valeur d’une action, parce qu’une part importante des bénéfices n’est pas
distribuée sous forme de dividendes. L’une des méthodes relatives aux bénéfices
________________________________________________________________________
6 / 40
___________________________________________________________________________
consiste à comparer le rendement en bénéfices (ou earning per share), et le
rendement des obligations ou des actifs monétaires. Le rendement en bénéfices
(ou earning yield) est défini par : RBaction = Bénéfice netaction / Prixaction.
La prime de risque par rapport aux obligations est défini par:
EYGaction = RBaction – Rendement obligations 7 ou 10 ans.
Une autre manière d’exprimer la prime de risque par rapport aux obligations est
d’utiliser le ratio : EYRaction = RBaction / Rendement obligations 7 ou 10 ans. Les
méthodes utilisant la prime de risque comparent celle-ci à sa valeur normale.
Une bande de EYG de 2% à 3% en écart est considérée comme normale. Un
EYG proche de zéro peut présager une chute des cours des actions. L’EYR est
souvent utilisé pour estimer le taux d’actualisation des méthodes d’évaluation du
rendement des actions.
2. Price earning
Le PE (Pricing Earning) rapporte le cours de l’action aux bénéfices. Si Bation est
le bénéfice estimé du titre, PE vérifie Vaction = Baction × PEmarché.
Un PE est relatif à un secteur, c’est à dire que chaque secteur d’activité a son
propre PE.
Action du CAC 40
BNP
Société Générale
PER
12.27
12.18
Peugeot
Renault
7.32
6.38
Carefour
CASINO
16.06
12.70
Il faut des exemples concrets, avec des vbraies entreprises de vrais secteurs
économiques pour dépasser le stade du discours un peu général.
L’évolution des bénéfices par action reste le facteur principal de l’évolution des
cours à long terme, et le meilleur indicateur existant pour les actionnaires.
________________________________________________________________________
7 / 40
___________________________________________________________________________
III.
Méthodes utilisant la croissance des dividendes ou des Bénéfices
1. Méthodes d’évaluation absolue
Si l’on considère que la valeur d’une action est la somme du produit à la revente
et de la chaîne des dividendes D1 à Dn, l’actualisation devient, compte tenu du
fait que les dividendes sont distribués l’année suivante en Europe.
Vaction = D0/(1+t) + D1/(1+t)2 + D2/(1+t)3 + …. +Dn-1/(1+t)n + Vn /(1+t)n
Le seul intérêt de cette méthode est de visualiser la manière dont le cours
évolue. En effet, on dispose rarement d’estimations des dividendes au-delà de 5
années. Bien que 85% de la valeur réside dans le dernier terme, le cours monte
tant que les dividendes estimés futurs vont croissant. C’est l’une des raisons
pour laquelle cette méthode est peu utilisée. Néanmoins, elle a le mérite
d’intégrer l’intérêt à long terme des secteurs de croissance. Ce sont ceux qui
maximise Vn, soit 85% de la valeur du titre. Examinons ce point plus en détail à
travers le modèle de Gordon Shapiro : Dans ce modèle, la croissance est
supposée constante et égale à g, de l’année 1 à l’année p :
D1 = D0 × (1+g)
D2 = D1 × (1+g)
………………….
Dp+1 = Dp × (1+g)
Si t est le taux de rentabilité exigé pour la valeur, alors la valeur de l’action est :
Vaction = D0 / (t-g).
Cette formule a de nombreux inconvénients, en particulier quand t et g sont
proche. En outre, le taux de croissance n’est jamais constant à l’infini, ce qui
affaibli le modèle. Des raffinements de modèle propose un g jusqu’à un certain
horizon, et un autre g’ au- delà.
2. Méthodes d’évaluation relative au secteur
Ces méthodes s’appliquent à des valeurs de croissance. Le postulat de base est
que la croissance des dividendes d’une action rejoindra au terme de l’horizon
considéré la croissance des valeurs de son secteur ou du marché.
Nous avons vu que les méthodes d’évaluation absolue étaient d’un intérêt limité,
dans la mesure où 85 % de sa valeur se retrouve dans un terme qu’il est très
difficile d’évaluer. Avec les méthodes d’évaluation que nos allons exposer, nous
évitons cet écueil et nous raisonnons en relatif par rapport au marché ou au
secteur. Le raisonnement est le suivant : Une société a pour valeur la somme
actualisé du produit de cession de ses actions à l’horizon de la période, et des
________________________________________________________________________
8 / 40
___________________________________________________________________________
dividendes encaissés sur la période. Le prix de cession est égal au produit du
bénéfice estimé pour l’année de cession par le PER de sortie, soit Vn = PEn × En,
avec En obtenu à partir du taux de croissance nominal et du bénéfice E0 de
l’année en cours. Si le pay out,c’est à dire le taux de distribution des dividendes,
lequel est défifni par PO = Dividende / Bénéfice, est constant, alors on a la
relation suivante :
Vaction = PO / (1+g) × (Σi=1,..,n(1+g)/(1+t)i) + PEn × (1+g)/(1+t)n
Cette formule a le mérite de faire coïncider à terme le PE de la valeur et du
marché ou du secteur. Elle est donc un bon outil de valorisation relative au
marché ou au secteur. Elle est utilisée lors des introductions en bourse au second
marché.
En Angleterre, une version plus claire mais simplifiée a été introduite par la
banque NatWest.
Vaction = Valeur du PE du marché
+ Différence Dividendes Valeur/ Marché sur la période
+ Différence prix Valeur / Marché à l’horizon
Le prix de l’entreprise à l’horizon sera Vn = PEn × En
Pour calculer En, il faut estimer la croissance des bénéfices, qui dépend de la
croissance du secteur et de la qualité du management. Pour le marché, il est
relativement facile de trouver une estimation des bénéfices à l’horizon.
On voit l’intérêt de la méthode : une valeur est d’autant plus prisée qu’elle
distribue des dividendes et a une valeur de revente plus élevée à terme. Plus la
valeur est risquée, plus le taux de rendement exigé par le marché est élevé.
IV.
Comparaison de cours à une donnée comptable
1. Cours / actif net
Le rapport Cours / Actif Net est utilisé dans les modèles d’évaluations, de façon
comparable au rendement en dividendes. Les valeurs sélectionnées sont celles
qui ont ce rapport le plus faible, excepté pour les valeurs de croissance. Cette
mesure a un intérêt pour les valeurs à forte capitalisation. L’inflation accroît la
distorsion des valeurs en fonction de la date d’évaluation. Cette méthode ne tient
pas compte du fait que les actifs se valorisent de façons différentes dans le
temps. Quant à la capitalisation boursière, elle dépend du nombre de parts et du
montant des bénéfices, mais n’a pas de réalité économique. Le rapport Cours /
Actif Net produit de bons résultats quand le marché monte. Il a le mérite d’être
calculable même si les bénéfices sont négatifs. Le cours d’une action reflète la
________________________________________________________________________
9 / 40
___________________________________________________________________________
capacité bénéficiaire de l’entreprise, alors que un changement significatif des
perspectives de bénéfices devrait progressivement faire varier le rapport Cours /
Actif Net. L’utilisation de ce rapport permet plutôt donc de déceler une tendance.
Le cours ne fournit pas d’informations directes sur les bénéfices futurs.
2. Cours / Valeur
Il s’agit du rapport Cours / Valeur de l’entreprise. La valeur de l’entreprise est
estimée par des méthodes telles que :
Valeur = Capitalisation Boursière
+ Valeur de la dette
- Économies d’impôts et de charge de la dette.
Ces mesures n’ont pas d’intérêt pour l’investisseur minoritaire, et sont plutôt
utilisé en « corporate finance » pour les opération de haut bilan.
Ca manque de références bibliographique
3. Cash flow et cours / cash flow
La définition du cash flow utilisé est la suivante :
Cash flow = Bénéfice net avant intérêts minoritaires
+ Dotations aux amortissements et provisions.
En d’autres termes, il s’agit de l’argent disponible pour les investissements, le
remboursements des dettes et la distribution des dividendes. Ainsi, on peut aller
plus loin et isoler ce qui est réellement disponible pour les actionnaires :
On définit le Free Cash Flow (FCF) comme suit :
FCF = Cash Flow
- Investissements de remplacement
- Remboursement dettes et capital
Si K est le taux exigé sur un investissement risqué, l’actualisation du Free Cash
Flow de l’année n donne : FCFn / (1+K)n
Une méthode d’évaluation de la valeur de plus en plus utilisée consiste à :
________________________________________________________________________
10 / 40
___________________________________________________________________________
•
•
•
•
Considérer que la dette est remboursée immédiatement
Estimer les FCFn et la valeur de revente à l’horizon
Actualiser les flux au taux risqué K, y compris les apports
Déduire de la valeur actualisée obtenue le valeur de la dette
Il convient de préférer la méthode d‘évaluation si on dispose d’informations sur
le long terme. Le rapport Cours / Free Cash Flow est parfois utilisé directement
pour effectuer des comparaisons sectorielles. Il ne tient pas compte du taux
d’actualisation, fonction du levier financier et de la croissance des bénéfices ou
des Free Cash Flows.
V.
Illustration : Calcul de rentabilité classique et logarithmique
d’une action.
Soit une action A dont les cours et dividende sur un an sont présentés dans le
tableau suivant :
Ca aurait été mieux de prendre une vraie action et de faire une étude
0
1
2
DATE
127 136 135
Cours
Dividende
3
133
4
137
4
5
140
6
142
7
8
150 160
9
10 11 12
150 166 166 180
En prenant les notations suivantes, nous allons illustrer la diversité des résultats
obtenus avec deux méthodes de calcul du rendement : méthode classique et
méthode logarithmique.
Notations :
rt la rentabilité entre les dates 0 et t
Ct le cours à l’instant t
C0 le cours à l’instant 0
Dt le dividende payé entre 0 et t
méthode classique :
•Rentabilité classique :
rt =
Ct + Dt − C0
C0
•Le cumul des rentabilités classiques sur la période T :
T
rT =
∏ (1 + r ) − 1
t
________________________________________________________________________
t =1
11 / 40
___________________________________________________________________________
méthode logarithmique :
•Rentabilité logarithmique :
rT = ln(
Ct + Dt
)
Ct −1
•Le cumul des rentabilités classiques sur la période T :
T
rT = ∑ rt
t =1
De façon usuelle, le gain réel obtenu sur un portefeuille se mesure avec la
formule classique. L’usage de la formule logarithmique est essentiellement
réservé aux études qui reposent sur des modèles supposant que les rentabilités
des titres ont une distribution normale ou log-normale, mais aussi en raison de la
propriété d’additivité qui permet de faire plus simplement certains calculs et
d’utiliser des moyennes arithmétiques et des variances de ces rentabilités.
L’application de ces méthodes aux données de l’énoncé conduit aux résultats
suivant :
Date Cours Dividende
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
127
136
135
133
137
140
142
150
160
150
166
166
180
4
Rentabilité Rentabilité
Rentabilité
classique
logarithmique classique
cumulée
Rentabilité
Logarithmique
cumulée
7,09 %
-0,74 %
-1,48 %
6,02 %
2,19 %
1,43 %
5,63 %
6,67 %
-6,25 %
10,67 %
0%
8,43 %
6,85 %
6,11 %
4,62 %
10,46 %
12,62 %
14,04 %
19,52 %
25,98 %
19,52 %
29,66 %
29,66 %
37,75 %
6,85 %
-0,74 %
-1,49 %
5,84 %
2,17 %
1,41 %
5,48 %
6,45 %
-6,45 %
10,14 %
0,00 %
8,10 %
7,09 %
6,30 %
4,72 %
11,02 %
13,45 %
15,08 %
21,56 %
29,66 %
21,56 %
34,52 %
34,52 %
45,87 %
Les deux méthodes conduisent à des résultats différents :
________________________________________________________________________
12 / 40
___________________________________________________________________________
Lorsque les écarts de cours positif sont élevés, la rentabilité calculée avec la
méthode des logarithmes est inférieure à celle obtenue avec la formule classique
et l’écart entre les deux méthodes est d’autant plus important que l’écart de
cours est élevé. Ainsi la différence entre les rentabilités est au maximum de 0,53
% entre les dates 9 et 10. Cependant entre les écarts de cours négatifs, l’usage de
la méthode logarithmique a tendance à accentuer la baisse de cours, comme
c’est le cas entre les dates 8 et 9. De manière synthétique, on peut dire que la
méthodes logarithmique écrase les écarts positifs par rapport à la méthode
classique et amplifie les écarts négatifs par rapport à la méthode classique.
Remarque : la question du réinvestissement
Indépendamment de la méthode de calcul, le cumul des rentabilités fait
l’hypothèse de réinvestissement du dividende. En cas de non-réinvestissement
de celui-ci, il ne faut pas le prendre en compte au moment du paiement, lors du
calcul des rentabilités, mais le prendre en compte séparément. Ainsi, avec la
méthode classique, la rentabilité hors dividende s’établit à (180-127) ×100/127 =
41,73 % et le rendement à 4/127 x100 = 3,15 %, soit une rentabilité totale avec
dividende non réinvesti sur la période de 44,88 %. La différence avec la
rentabilité de 45,87 % obtenu dans le tableau mesure l’impact du
réinvestissement du dividende 45,87 % - 44,88 % = 0,99 %. L’impact du
réinvestissement n’est plus que de 0,67 % avec le calcul logarithmique.
VI.
Quels sont les différentes mesures du risque d’une action ?
Il faut différencier le risque total d’une action de son risque systématique, même
s’il existe une relation entre ces deux notions. Le risque systématique d’une
action fait référence à l’évolution de sa rentabilité par rapport à celle du marché.
Seul le risque systématique est rémunéré par le marché. Le risque spécifique du
titre peut être éliminé au niveau d’un portefeuille par une bonne diversification
et n’est donc pas rémunéré par le marché.
________________________________________________________________________
13 / 40
___________________________________________________________________________
1. Le risque total
Le risque total d’une action est mesuré par la variance ou l’écart-type des
rentabilités. On parle alors de volatilité du titre pour faire référence à l’ampleur
des variations des rentabilités autour de sa moyenne. Plus cet indicateur est
élevé, plus le titre est considéré comme risqué. Le préambule au calcul de la
variance est le calcul de la moyenne des rendements. Illustrons la définition de
la variance à travers l’exemple suivant :
Soient deux actions A et B dont les rentabilités mensuelles sont présentées dans
le tableau ci-dessous.
Mois 1
2
3
4
5
5% -3% -8% 7% 9%
A
10% 2% -13% 5% 6%
B
6
7
8
9
-4% 8% -5% 1%
2% 10% -2% 0%
10
7%
4%
11
1%
6%
12
-5%
3%
Calculons la moyenne de rendements mensuels avec deux méthodes différentes :
moyenne arithmétique et moyenne géométrique.
Moyenne arithmétique :
rT =
1 12
∑ ri
12 t =1
• La moyenne arithmétique des rentabilités mensuelles de l’action A : 1,08 %
• La moyenne arithmétique des rentabilités mensuelles de l’action B : 2,75 %
Moyenne géométrique :
La rentabilité annuelle obtenue par l’expression :
12
RA = ∏ (1 + rt ) − 1
t =1
• Rentabilité annuelle pour A : 11,62 %
• Rentabilité annuelle pour B : 35,64 %
La rentabilité mensuelle géométrique est obtenue par :
RM = 12 RA
Moyenne géométrique des rentabilités mensuelles de l’action A : 0,92 %
Moyenne géométrique des rentabilités mensuelles de l’action B : 2,57 %
________________________________________________________________________
14 / 40
___________________________________________________________________________
Tout comme le rendement classique et logarithmique donnait des rendements
différents, la moyenne arithmétique et géométrique des rentabilités diffère.
Dans le cadre général, la moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne
géométrique. Dans la suite, nous utiliserons la méthode arithmétique.
La mesure du risque total du titre se fait par le calcul de la racine carré de la
variance, laquelle est donnée par :
Avec
 12

Var ( rt ) =  ∑ pt (rt − E (rt )) 2 
 t =1

où
rt rentabilité du mois t
E(rt) moyenne arithmétique des rentabilités
pt probabilité d’occurrence. Dans notre cas pt = 1/T = 1/12
La variance est dans ce cas de 0,33% pour A et 0,34 % pour B.
Il faut multiplier ces résultats par 12, lorsque le calcul est effectué avec des
rentabilités mensuelles, soit 3,96 % pour A, et 4,08 % pour B.
Lorsque les données sont quotidiennes, il faut multiplier la variance par 365
pour obtenir la variance annualisée.
L’écart-type est défini par :
σ ( rt ) = Var ( rt )
Il correspnd au risque total d’une action.
L’écar-type des rentabilités s’élève à 5,74 % pour A, et 5,83 % pour B.
Conclusion :
Le titre B offre une rentabilité nettement supérieure au titre A, pour un niveau de
risque sensiblement équivalent. C’est à dire que pour un accroissement de risque
de 0,31 % un investisseur aurait bénéficié d’une rentabilité plus élevée de 24,02
% en choisissant le titre B plutôt que le titre A.
2. Le risque systématique
La théorie du MEDAF affirme que le rendement d’un actif comporte deux
parties, une partie systématique qui évolue avec le rendement du marché, et une
________________________________________________________________________
15 / 40
___________________________________________________________________________
partie spécifique au titre. Cette décomposition est exprimée par la relation
suivante dite «équation du modèle de marché » :
rit = αi + βi × rmt +εit
Avec
rit la rentabilité du titre i en t
αi la rentabilité non expliqué par le marché
βi le risque systématique du titre i
rmt la rentabilité du marché en t
εit la rentabilité résiduelle
Le risque systématique est égal au rapport de la covariance des rentabilités du
titre avec celle du marché et de la variance des rentabilités du marché, soit :
βi =
Cov ( rit , rmt )
Var ( rmt )
Cette notion exprime le risque inhérent à chaque titre, qui est expliqué par les
mouvements du marché et qui ne peut pas être réduit par diversification.
Ainsi, lorsque le marché est orienté à la hausse, le cours du titre va évoluer dans
le même sens (β > 0) ou dans le sens inverse à celui du marché (β < 0) , mais
plus ou moins selon leur sensibilité, mesurée par β. Dans un marché en hausse
de 10 % par exemple, un titre avec un bêta de 1 a tendance à suivre la hausse du
marché dans la même proportion, c’est à dire 10 %. Un titre avec un Bêta de 0,5
a, en revanche, tendance à avoir des fluctuations plus faibles de moitié et son
espérance de rentabilité supplémentaire dans notre exemple n ‘est que de 5 %.
Suivant la même logique, un titre avec un bêta 1,5 amplifie les fluctuations du
marché et sa rentabilité espérée augmente alors de 15 %.
Un titre avec un bêta inférieur à 1, apparaît comme moins volatil que le marché
(titre défensif). A l’inverse, un titre, qui a un bêta supérieur à 1, apparaît comme
plus volatil que le marché (titre offensif ).
Les problèmes de mesure du bêta sont de deux ordres. Il présente un caractère
instable d’une part et d’autre part est sensible à la façon de calculer les
rentabilités. Le caractère instable du bêta se justifie en partie par le fait qu’il
mesure le risque systématique de l’action d’une société dont les caractéristiques
évoluent dans le temps. Dès lors, selon sa politique, une société peut devenir
plus ou moins risquée et le bêta de ses titres être modifié. Par ailleurs, le bêta est
aussi sensible au pas de temps utilisé pour le calcul des rentabilités. Sur le
marché Français, Hamon et Jaqillat (1992) montrent notamment que la
sensibilité est fonction décroissant du pas de temps.
________________________________________________________________________
16 / 40
___________________________________________________________________________
La relation exprimée par l’équation du modèle de marché est purement
empirique et les coefficients sont calculés à partir de données passées.
L’hypothèse qui est faite lors de son utilisation est qu’elle reflète une certaine
réalité, c’est à dire que les coefficients sont stables et donc qu’ils peuvent être
utiles pour prédire comment vont se comporter les titres dans diverse situation
de marché.
3. le risque spécifique
La seconde composante du risque total est le risque spécifique qui «capte»
l’influence d’événements propres au titre. Ce dernier n’est pas rémunéré par le
marché du fait qu’il peut être éliminé dans un portefeuille diversifié.
Rappelons l‘équation du modèle de marché :
rit = αi + βi × rmt +εit
Le risque spécifique correspond à αi.
Le facteur résiduel εit est d’espérance nulle, ce qui permet de calculer le facteur
αi par différence des espérences en écrivant :
αi = E(rit)- βi × E(rmt)
La particularité de ce risque spécifique est qu’il peut être diversifié dans un
portefeuille. Il tend vers zéro lorsque le nombre de titre est suffisamment
important dans un portefeuille. C’est la raison pour laquelle il n’est pas
rémunéré.
4. Relation entre le risque total et systématique
Le risque total d’un titre est mesuré par la variance de ses rentabilités ou son
écart-type, tandis que le risque systématique est mesuré par le bêta. Or il existe
une relation entre ces deux notions de risque qui peut être démontrée en partant
de l’équation du modèle de marché : ri = αi + βi × rm +εi.
Compte tenu de l’équation de marché, la variance des rentabilités s’écrit :
σ2(ri)=E[αi + βi × rmt + εi -E(αi + βi × rm +εi )]²
Or par hypothèse E(αi)= αi , E(βi )= βi , et E(εi) = 0.
L’expression de la variance devient alors :
σ2(ri)=E[ βi × (rm -E(rm ) ) + εi ]²
________________________________________________________________________
17 / 40
___________________________________________________________________________
Soit après développement :
σ2(ri)=E[ β²i × (rm -E(rm ) )² + 2 × βi × (rm -E(rm ) ) × εi + ε²i ]
Or, par hypothèse, le terme de covariance entre les rentabilités du marché et la
rentabilité résiduelle est nul.
La relation finale entre le risque total et le risque systématique est alors:
σ2(ri) = β²i × σ2(rm) + σ2(εi)
avec
σ2(ri) la variance des rentnabilités du titre i
βi
le risque systématique du titre i
2
σ (rm) la variance des rentabilités du marché
σ2(εi) la variance résiduelle du titre i
Le risque total se décompose en deux éléments que sont le risque systématique
et le risque spécifique du titre.
C. DEUXIÈME PARTIE : LES PORTEFEUILLES
Chaque titre comporte un risque que l'on peut décomposer en deux
catégories: le risque spécifique de chaque titre, et le risque systématique, lié
aux mouvements du marché.
Lorsque l'on constitue un portefeuille de titres, on achète dans différentes
proportions plusieurs titres. L'un des grands principes de la constitution de
portefeuilles repose sur un adage de pur bon sens : ne pas mettre tous ses
oeufs dans le même panier. Le pionnier de la finance moderne, Markowitz,
inventeur de la théorie moderne du portefeuille, est en fait arrivé à
démontrer en termes mathématiques la réalité de ce proverbe. Il a établi
que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques
de ces titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de
titres (diversifier ses investissements) permet de diminuer le risque sans
perte de rendement.
Cette découverte repose sur le fait que les risques spécifiques de chaque
titre se compensent et finissent par disparaître complètement à partir d'un
certain nombre de titres. Le seul risque qui subsiste pour ce type de
________________________________________________________________________
18 / 40
___________________________________________________________________________
portefeuilles, dits portefeuilles bien diversifiés, est la combinaison des
risques systématiques des différents titres.
VII. rentabilité d’un portefeuille
Dans un souci de simplification de l’exposé, les portefeuilles seront constitués
seulement de deux actifs A et B.
La rentabilité d’un portefeuille est la moyenne pondérée des rentabilités des
titres qui le composent :
rp = a × rA + (1- a) × rB
Avec
a pondération de A
rA la rentabilité de l’action A
rB la rentabilité de l’action B
rp la rentabilité du portefeuille
Cette expression se généralise au cas ou le portefeuille est constitué de n actions.
n
rp = ∑ ai × ri
i =1
Avec
n le nombre de titres du portefeuille
ai la pondération du titre i
ri la rentabilité du titre i
rp la rentabilité du portefeuille
La somme des pondérations doit être égale à 1. Dans le cas plus général, les
pondération peuvent être négative. Le titre correspondant à cette pondération
négative, est alors considéré comme vendu à découvert. C'est à dire que le
gérant vend le titre sans le posséder, ce qui lui permet de spéculer à la baisse. Il
devra alors acheter plus tard le titre pour dénouer sa position.
1. variance d’un portefeuille
Tout comme pour les actions, la variance d’un portefeuille est égale à la
variance du rendement du portefeuille :
Var (rt ) = E (rp − E (rp )) 2
La variance d’un portefeuille peut également être obtenue à partir de la variance
des titres qui le compose. Cependant, la variance du portefeuille dépend à la fois
de la variance de chacun des titres, mais aussi de leurs covariances. Pour s’en
________________________________________________________________________
19 / 40
___________________________________________________________________________
convaincre considérons un portefeuille P composé de deux actions A et B. Dans
ce cas, la rentabilité du portefeuille s’écrit
rp = a × rA + (1- a) × rB
En remplaçant la rentabilité du portefeuille dans l’expression de la variance par
l’expression ci-dessus, on a suivante :
Var (rp ) = E (( a × rA − (1 − a ) × rA ) − E (a × rB − (1 − a ) × rB )) 2
Soit en réarrangeant les termes :
Var (rt ) = E (a × (rA − E (rA )) + (1 − a ) × (rB − E (rB ))) 2
Soit après développement :
Var ( rt ) = a ² × E ( r A − E ( r A ))² + (1 − a )² × E ( rB − E ( rB ))² + 2 a × (1 − a ) × E [( rA − E ( rA )) × E ( rB − E ( rB )) ]
Cette expression comporte à la fois des variances et des covariances et peut
s’écrire plus simplement.
Var (rp ) = a ² × Var ( rA ) + (1 − a )² × Var (rB ) + 2a × (1 − a ) × Cov(rA , rB )
Ainsi, la variance du portefeuille n’est pas simplement une moyenne pondérée
de la variance de chacun des titres, mais une expression plus complexe qui prend
en compte la fluctuation relative des titres des uns par rapport aux autres à
travers le termes de la covariance. Dans le cas de deux actions, il n’existe que
deux termes de covariance identiques. Pour n titres, il existe n termes de
variances, et (n²-n) termes de covariance. Il est alors plus simple d’utiliser le
calcul matriciel. Dans le tableau suivant nous exhibons la rentabilité, la variance
et l’écart-type d’un portefeuille selon différente composition du portefeuille en
titre A et B.
Rentabilité et variance du
et B
Portefeuille Pondération
A
0%
P1
20 %
P2
40 %
P3
60 %
P4
80 %
P5
100 %
P6
portefeuille selon différentes proportions des actifs A
pondération
B
100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0%
Rentabilité Variance
Ecart-type
1,92 %
1,82 %
1,72 %
1,62 %
1,52 %
1,42 %
6,60 %
5,22 %
4,18 %
3,79 %
4,23 %
5,30 %
0,436 %
0,272 %
0,175 %
0,144 %
0,179 %
0,281 %
________________________________________________________________________
20 / 40
___________________________________________________________________________
Alors que la rentabilite décroît de façon linéaire lorsque le gérant substitue le
titre A au titre B, il n’en est pas de même pour le risque. Lorsque le portefeuille
est constitué d’un seul titre, son risque est celui du titre. Mais la composition de
deux titres permet d’obtenir un portefeuille dont le risque est inférieur à chacun
des risques des titres composant le portefeuille. Le gain en terme de risque est
dû à la diversification. Dans notre cas, le portefeuille P4 = 60% × A + 40 % × B
est de risque minimum.
Théoriquement, il est possible de composer un portefeuille d’actions dont le
risque est nul. Il faut pour cela choisir des titres qui fluctuent de façon
totalement opposée. Mais dans la réalité, le marché ne fournit pas un tel panel de
titres : le portefeuille a toujours une exposition irréductible au risque du marché.
La frontière des portefeuilles possible est une courbe regroupant l’ensemble des
portefeuilles dont la rentabilité est maximale ou minimale pour un niveau de
risque donnée. En fait, en termes de théorie micro-économique, il s’agit d’une
courbe enveloppe de l’ensemble des portefeuilles possibles. Les portefeuilles qui
ne sont pas sur la frontière sont intéressant pour le gérant puisque, pour un
niveau de risque donné, il est possible de choisir un portefeuille dont la
rentabilité est supérieure ou, pour un niveau de rentabilité donnée, un
portefeuille de risque moindre. Seul la partie supérieure de la courbe intéresse le
gérant.
Un portefeuille est dit efficient si pour un niveau de risque donné, il n’est pas
possible de composer un autre portefeuille qui procure une rentabilité
supérieure. Ce portefeuille est dont unique pour chaque niveau de risque.
L’ensemble des portefeuilles efficients forme la frontière efficiente, aussi appelé
frontière de Markovitz, du nom de son initiateur.
Il n’existe pas de portefeuille optimal dans l’absolu. En revanche ce portefeuille
existe pour chaque investisseur. En effet, l’ensemble des portefeuilles qui sont
sur la frontière efficiente peut être considéré comme des portefeuilles optimaux,
puisque pour chaque niveau de risque donné, il existe un seul portefeuille qui
fournit la rentabilité la plus élevé. Cependant la théorie du portefeuille ne dit pas
lequel de ces portefeuilles choisir. La réponse à cette question va dépendre de
l’aversion pour le risque des investisseurs. Chaque investisseur a des objectifs
qui lui sont propres et, selon ces objectifs, il peut souhaiter prendre plus ou
moins de risque avec son épargne. Le portefeuille qu’il choisit sur la frontière
efficiente dépend donc du risque qu’il est prêt à accepter. En termes de théorie
micro-économique, on dit que le portefeuille qui est optimal pour un investisseur
donné est le point de tangence entre la frontière et sa courbe d’indifférence entre
le risque et la rentabilité présentant l’utilité la plus élevée.
________________________________________________________________________
21 / 40
___________________________________________________________________________
2. Calcul de la covariance.
La covariance entre le titre A et B est définit comme suit :
Cov( rA , rB ) = E[(rA − E ( rA ) )(rB − E ( rB ) )]
Avec
rA la rentabilité du titre A le mois t
rB la rentabilité du titre B le mois t
E(rA) la moyenne arithmétique des rentabilités du titre A
E(rB) la moyenne arithmétique des rentabilités du titre B
La covariance donne une indication sur la manière dont fluctue les rentabilités
du titre A par rapport aux rentabilités du titre B.
3. Calcul du coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation se définit comme suit :
Corr ( rA , rB ) =
Cov( rA , rB )
σ ( rA ) × σ ( rB )
Cov(ra,,rB) covariance entre les rentabilités A et B
σ(rA) écart-type des rentabilités de A
σ(rB) écart-type des rentabilités de B
Il est dans le cas général toujours compris entre –1 et 1. Un coefficient proche de
0 signifie que les rentabilités sont indépendantes. Plus le coefficient est proche
de 1, et plus la dépendance entre les rentabilités de A et B est forte et positive.
Plus le coefficient de corrélation est proche de –1, plus la dépendance est forte et
négative. Cet indicateur est important car la diversification d’un portefeuille est
d’autant plus importante que les titres sont peu ou négativement corrélés.
4. Contribution d’un titre à la qualité du portefeuille.
La contribution d’un titre à la rentabilité d’un portefeuille est immédiate à
mesuré, puisque la rentabilité du portefeuille est une moyenne pondérée de
celles des titres qui le composent : La contribution d’un titre A est a × rA , avec
« a » sa pondération dans le portefeuille auquel il appartient.
La contribution d’un titre au risque d’un portefeuille est plus compliquée à
évaluer du fait de sa covariance avec les autres actifs. Pour la calculer, il faut
________________________________________________________________________
22 / 40
___________________________________________________________________________
revenir à la définition de la variance du portefeuille que l’on peut réécrire de la
façon suivante :
Var (rp ) = a × ( a × Var ( rA ) + (1 − a ) × Cov(rA , rB )) + (1 − a ) × ((1 − a ) × Var (rB ) + a × Cov(rA , rB ))
Ou encore :
σ ²(rp ) = Var ( rp ) = a × Cov(rA , arA + (1 − a ) × rB ) + (1 − a ) × (Cov( rA , arA + (1 − a ) × rB ))
Si le risque du portefeuille est mesuré par l’écart-type des rentabilités alors,
d’après l’expression précédente, on a :
σ ( rp ) = a ×
Cov( rA , rp )
σ ( rp )
+ (1 − a ) ×
Cov(rB , rp )
σ ( rp )
Les deux termes de droite font apparaître la contribution de chacun des titres au
risque du portefeuille, lequel est fonction des pondérations.
Ainsi le titre A contribue au risque du portefeuille a hauteur de :
a×
Cov(rA , rp )
σ (rp )
et le titre B contribue au risque du portefeuille a hauteur de :
(1 − a ) ×
Cov(rB , rp )
σ (rp )
5. Faisons le calcul pratique
P3 = 40% × A + 60 % × B.
Il faut pour cela calculer, pour les 12 mois, la rentabilité du portefeuille composé
à 40 % du titre A et à 60 % du titre B, puis la covariance entre ces rentabilités et
celles des titres. Les rentabilités du portefeuille sont résumé dans le tableau cidessous:
Mois
A
B
P3 = 40% × A
+ 60% × B
1
5%
-10 %
-4 %
2
-3 %
5%
18 %
3
-4 %
-4 %
4%
4
7%
15 %
11,8 %
5
9%
2%
4,8 %
6
-4%
7%
2,6 %
7
8%
-5 %
0,2 %
8
-5 %
8%
2,8
%
9
1%
-5 %
2,6
%
10
7%
3%
4,6 %
________________________________________________________________________
23 / 40
11
1%
3%
2,2%
12
-5 %
4%
0,4 %
___________________________________________________________________________
A partir des rentabilités de chacun des titres et du portefeuille, on peut calculer
les covariances :
Cov(rA,rp) = 0,0007851
Cov(rB,rp) = 0,0023893
Pour le portefeuille composé de 40 % du titre A et de 60 % du titre B, les
contributions à la rentabilité et au risque du portefeuille sont donc les suivantes :
Portefeuille Titre A
Titre B
Rentabilité 1,72 %
0,40 × 1,42 % = 0,57 %
0,60 × 1,92 % = 1,15 %
Risque
4,18 %
(0,000785/0,0418 ) × 0,4 = 0,75 % (0,002389/0,0418 ) × 0,6 = 3,43 %
Ainsi le titre B est à l’origine des 2/3 de la rentabilité du portefeuille mais aussi
d’une partie importante du risque.
I.
Frontière efficiente et le portefeuille de variance minimale
Les portefeuilles efficients sont ceux qui sont situés sur la partie supérieure de la
courbe enveloppe de l’ensemble des portefeuilles possibles. En effet, pour un
niveau de risque donné et à droite du portefeuille de risque minimum, il est
toujours possible de composer deux portefeuilles. Or la rentabilité de ces
portefeuilles n’est pas la même et le portefeuille le plus intéressant est bien
évidemment celui qui fournit la rentabilité la plus élevée pour ce niveau de
risque, c’est à dire celui qui se situe sur la partie supérieure de la courbe
enveloppe. Le choix d’un des portefeuilles qui se situent sur la partie efficiente
de la frontière dépend ensuite du risque qu’est prêt à accepter l’investisseur.
Pour obtenir les coordonnées du portefeuille, il faut se rappeler que l’expression
de la variance du portefeuille est une fonction du deuxième degré qui dépend de
la pondération des titres. Chercher le portefeuille le moins risqué revient donc à
chercher le sommet de cette fonction. Pour ce faire, dans le cas d’un portefeuille
composé deux titres, il faut dériver l’expression de la variance par le facteur
« a ». La pondération qui permet d’obtenir le portefeuille de risque minimal est
celle qui annule la dérivée.
La variance des rentabilités du portefeuille est :
Var (rp ) = a ² × Var ( rA ) + (1 − a )² × Var (rB ) + 2a × (1 − a ) × Cov(rA , rB )
La dérivée de cette expression par rapport à a est :
________________________________________________________________________
24 / 40
___________________________________________________________________________
∂Var ( rp )
∂a
= 2a × Var ( rA ) − 2 × (1 − a ) × Var (rB ) + (2 − 4a ) × Cov( rA , rB )
Le coefficient a* qui permet d’annuler la dérivée s’établit à :
a∗ =
Var ( rB ) − Cov(rA , rB )
Var ( rA ) + Var ( rB ) − 2 × Cov(rA , rB )
Illustrons le calcul sur le portefeuille composé de deux actions A et B que nous
avons utiliser dans les exemples précédents.
Portefeuille Pondération
A
0%
P1
20 %
P2
40 %
P3
60 %
P4
80 %
P5
100 %
P6
Pondération
B
100 %
80 %
60 %
40 %
20 %
0%
Rentabilité Variance
Ecart-type
1,92 %
1,82 %
1,72 %
1,62 %
1,52 %
1,42 %
6,60 %
5,22 %
4,18 %
3,79 %
4,23 %
5,30 %
0,436 %
0,272 %
0,175 %
0,144 %
0,179 %
0,281 %
Le tableau ci-dessous résume les informations relatives aux indicateurs
statistiques que nous avons définit.
A
B
0,00280764
0,00435764
Variance des rentabilités
0,05298716
0,6601241
Ecart-type des rentabilités
Covariance des rentabilités de A et B
-0,0005632
Corrélation entre les rentabilités de A -0,16
et B
En tenant compte de ce tableau, nous avons :
________________________________________________________________________
25 / 40
___________________________________________________________________________
a∗ =
(0,00435764) − (−0,0005632)
= 0,5935 = 59,35%
(0,00280764) + (0,00435764) − 2 × ( −0,0005632)
Le portefeuille composé de 59,35 % du titre A et 40,6.5 % du titre B est donc le
moins risqué de tous les portefeuilles qu’il est possible d’obtenir, c’est à dire qui
maximise la diversification.
La rentabilité moyenne mensuelle de ce
portefeuille est de 1,62 % tandis que l’écart-type de ses rentabilisés est de 3,79
%. L’absence de restriction sur les ventes à terme signifie qu’il est possible
d’acheter plus de 100% d’un titre en vendant le deuxième sans le posséder. La
frontière des portefeuilles possible se prolonge vers la droite. Cela peut être
intéressant puisque la partie efficiente de la courbe permet d’augmenter la
rentabilité du portefeuille en augmentant son risque au lieu de le limiter le gain
maximum à 1,92 % qui correspond au portefeuille totalement investi dans le
titre B.
D. TROISIEME PARTIE : VAR, méthode et critique
Jusqu’à la fin des années 80, les méthodes utilisées pour analyser les
risques de marché n’étaient adaptées qu’à des produits spécifiques. Il était alors
impossible de comparer les mesures de risques entre les différentes tables d’une
salle de marché. La mesure des risques de marché s’est peu à peu répandue ces
dernières années dans les banques pour deux raisons :
• Leurs résultats étaient de plus en plus influencés par les activités de
marché.
• Les positions des opérateurs sur certains marchés, comme celui des
produits dérivés, s'amplifiaient et allaient jusqu’à mettre en danger
certaines institutions.
L’accroissement de la volatilité des marchés financiers et l’accumulation des
accidents financiers ont poussé les instituts financiers à rechercher un indicateur
global et synthétique des risques financiers.
En juillet 1993, l’utilisation de la VaR fut recommandée par le Groupe des
Trente qui regroupe des institutions financières internationales.
________________________________________________________________________
26 / 40
___________________________________________________________________________
VIII. Définition
De plus en plus, les institutions ont besoin de quantifier le risque que leur
portefeuille pourrait subir au cours d’une période donnée. Grâce à la VAR, ces
institutions peuvent juger de la possibilité et de la magnitude d’une potentielle
perte dans leur portefeuille avec un certain niveau de confiance (probabilité) sur
un horizon donné. Aujourd’hui, la VAR est un cadre d’analyse conceptuel qui
fait incontestablement partie du lexique de la gestion des risques dans les
institutions financières. Elle est même devenue la méthode de mesure de risque
de marché préférée par les agences réglementaires.
Globalement, la VAR est un cadre d’analyse qui permet d’agréger l’exposition du
risque de marché à travers différentes classes de titres. En d’autres termes, la VAR
peut être utilisée pour estimer la perte potentielle dans un portefeuille de titres en
spécifiant n’importe quel horizon et fréquence (niveau de confiance). À travers la
littérature rattachée à notre sujet, la définition de la firme J.P. Morgan est celle qui
résume le mieux le concept de la VAR : « La VAR est un estimé, avec un intervalle
de confiance prédéterminé, de combien peut-on perdre en gardant une position
durant un horizon donné. »
Cependant, la méthode de calcul de la VAR ne dépend pas seulement de l’horizon
et du niveau de confiance choisi, mais aussi de plusieurs hypothèses sous-jacentes
qu’on peut supposer selon le genre de titres composant le portefeuille. Par ailleurs,
il est important de noter que s’il est vrai que la VAR est un mécanisme qui
communique le risque agrégé dans un cadre facile à comprendre, il est aussi vrai
que cette mesure est soumise à interprétation.
En général, quel que soit le niveau de confiance (voir graphique 1) que le
gestionnaire spécifie, la VAR permet d’associer un risque de perte spécifique à
l’horizon choisi. Avec un niveau de confiance de 95% et un horizon d’un mois par
exemple, le gestionnaire est averti que le portefeuille peut encourir une perte égale à
la VAR. Ou bien, les gestionnaires peuvent même se permettre de dire qu’avec un
niveau de confiance de 95%, ils courent le risque de perdre jusqu’à concurrence de
la VAR dans pas plus de cinq mois sur cent. Cependant, cette affirmation n’est
vraie qu’après de sérieuses suppositions sur la stabilité des probabilités des
distributions sous-jacentes.
________________________________________________________________________
27 / 40
___________________________________________________________________________
Graphique 1
cdDd is trib u tio n N o rm a le
É c a rt typ e
La VAR est une approximation de mesure du risque de marché futur qui
diffère des autres façons traditionnelles. Ces dernières, s’intéressent plutôt au passé
en mesurant la performance actuelle ou historique comme c’est le cas avec le ratio
de Sharpe qui évalue la performance ex post des rendements.
IX.
Les étapes du calcul
Créer une distribution de VAR pour un portefeuille particulier et pour un
horizon de risque donné peut être vu comme un processus à deux étapes.
1 - Premièrement, on génère la distribution des prix ou des rendements pour
chaque titre individuel dans le portefeuille.
Ces distributions
représentent les rendements possibles dans toutes les composantes des
actifs sous l’horizon de risque.
2- Par la suite, les distributions individuelles doivent être agrégées dans
une seule distribution en utilisant les mesures appropriées de
covariance telle que la corrélation. La distribution résultante du
portefeuille sert par la suite comme base à la mesure de la VAR
globale.
Les méthodes de génération des distributions de VAR des actifs individuels
ou celle du portefeuille global varient de la plus simple méthode à la plus complexe.
La plus réaliste des approches de mesure de VAR sont issues d’une réévaluation de
tous les actifs dans un portefeuille pour les scénarios de risque de marché les plus
réalistes possibles (Stress Test). Ces méthodes de réévaluation globales peuvent être
par contre très coûteuses à réaliser. D’un autre côté, il existe des méthodes plus
simples qui se basent sur des hypothèses statistiques leur permettant de diminuer la
taille de la base de donnée et les coûts d’utilisation. L’une des hypothèses qu’on
retrouve est celle qui suppose que des petits changements dans la valeur du
________________________________________________________________________
28 / 40
___________________________________________________________________________
portefeuille autour de sa valeur courante sont représentatifs de potentiels
changements futurs.
Une façon de calculer la VAR est tout simplement de supposer que le passé
est garant du futur. Par conséquent, la VAR peut être calculée en utilisant un
échantillon de série temporelle des rendements passés. Nous retrouverons les
rendements sur l’axe horizontal et la probabilité associée à chaque intervalle de
rendement sur l’axe vertical. Supposant que nous voulons calculer la VAR de 1
pour cent pour une période d’un jour. Cette VAR est la plus grande perte à laquelle
nous nous attendrons dans 99 des 100 jours ouvrables. Ainsi, si nous avons accès à
des données historiques des rendements journaliers d’un portefeuille, nous
pouvons simplement calculer la perte qui a été excédé dans moins de 1 pour cent
des jours ouvrables couverts par notre information.
Dans un autre ordre d’idées, si nous savons que les rendements d’un portefeuille
ont un certain comportement au hasard et que nous pouvons les générer selon une
distribution, il serait possible de calculer la VAR plus précisément. Cette seconde
approche de calcul est appelé l’approche paramétrique. Elle suppose connu la
distribution de probabilité des rendements. Le plus souvent, les utilisateurs de cette
approche supposent que les rendements sur les actifs sont distribués selon la loi
normale. Un exemple de cette approche est la méthode RiskMetrics.
X.
Méthodes basées sur la variance
L’approche RiskMetrics pose des hypothèses visant à simplifier les calculs de
la VAR. La plus importante est celle qui suppose que tous les rendements des titres
sont distribués normalement. Ce qui rend cette supposition attrayante est sans
doutes la symétrie de la distribution normale (voir graphique 2). Dans une
distribution normale, la moyenne et la variance sont suffisante pour caractériser les
distributions; et la variance pour elle seule est tout ce qu’il faut pour résumer le
risque d’un actif. Cette méthode connue généralement sous le nom de l’approche
basée sur la variance est celle qui est la plus utilisée aujourd’hui à cause de sa
simplicité.
________________________________________________________________________
29 / 40
___________________________________________________________________________
Graphique 2
Distributions asym étriques
A sym étrie
né gative
A sym étrie positive
Norm ale
Écart type
Puisque la variance trouvée par la moyenne mobile est calculée en utilisants
des poids égaux pour toutes les observations de la série historique, les calculs sont
simples. Ainsi, on retrouve des variantes qui ne prennent en compte que les plus
récentes observations car elles supposent que seules les plus récentes observations
sont pertinentes dans l’estimation des mouvements potentiels de la valeur du
portefeuille.
Dans le but de remédier à ce problème l’approche RiskMetrics utilise une moyenne
mobile exponentielle (exponentially weighted moving average) qui permet aux
récentes observations d’avoir plus d’influence dans le calcul que les observations du
passé. Ceci a comme avantage de capter les chocs dans le marché avec une
moindre volatilité de la variance.
Une autre façon d’estimer la variance dont on a besoin dans le calcul de la
VAR est d’utiliser des méthodes de séries temporelles à variance conditionnelle. Le
modèle le plus connu est le modèle ARCH qui combine un processus auto-régressif
à une moyenne mobile. Les modèles ARCH, quels que soit leur variante, sont
adaptées au calcul de la volatilité changeante dans le temps. Ces modèles ont été
construit pour dégager la persistance de la volatilité dans les séries temporelles. En
réalité, la méthode de la moyenne mobile exponentielle utilisée par J.P. Morgan
n’est qu’une dérivée de la méthode à variance conditionnelle ARCH pour estimer
les variances. Plus précisément, la technique de la moyenne mobile exponentielle
est l’équivalent de la méthode appelée GARCH(1,1).
Une dernière façon de calculer les volatilités pour une approche basée sur la
variance serait d’utiliser la volatilité implicite des options. On définit la volatilité
implicite d’une option comme étant la volatilité future de l’actif sous-jacent à
laquelle on s’attend durant la vie restante de l’option. Cette volatilité est basée sur
________________________________________________________________________
30 / 40
___________________________________________________________________________
les attentes actuelles du marché puisqu’elle est déduite du prix de l’option et peut
être utilisée dans les calculs de la VAR pour l’actif sous-jacent à l’option.
En général, pour calculer la VAR en utilisant l’approche basée sur la
variance, nous prenons pour acquis que les probabilité suivent une distribution est
normale. En effet, la probabilité sous la queue gauche suit une fonction connue de
l’écart-type de la distribution. Par exemple, on retrouve 5% de la distribution à
1,65 écart-type en dessous de la moyenne. Ainsi, il est facile de calculer la VAR
d’un portefeuille une fois que la variance de chaque titre est connue. Cependant, il
reste à estimer la corrélation entre les rendements de ces différents titres
composant le portefeuille. Les VAR calculées pour chaque titre peuvent être
combinées en utilisant les corrélations entre les variables et le résultat est un estimé
de la VAR du portefeuille. De plus, tant que les titres ne sont pas parfaitement
corrélés, la VAR du portefeuille sera moindre que la somme des VAR. La
diversification permet donc de diminuer la VAR.
XI.
Passage d’une Var à 1 jour à une Var à j jours
Pour calculer la VAR pour des horizons de risque plus long que ceux choisi
dans la distribution (un jour), la VAR doit être ajustée. À ce niveau, on a besoin
d’une autre hypothèse simplificatrice. On suppose que les distributions de
rendement sont indépendantes et stables dans le temps, donc stationnaires. Ainsi,
une VAR pour une multitude de périodes peut être extrapolée à l’aide de la VAR à
une seule période générée par nos données. Par exemple, supposons que les
variances et les corrélations sont disponibles pour des rendements mesurés à une
fréquence journalière. Pour passer d’une VAR à un jour à une VAR à j jours, où j
est l’horizon choisi du risque, il suffit de multiplier la VAR à un jour par la racine
carrée de j.
Avec des variances et corrélations mesurées à une fréquence journalières,
l’indépendance sérielle est une supposition irréaliste dans la plus part des marchés
et l’extrapolation pour des petits horizons est moins sévère que celle pour des
horizons plus grands. Ainsi, une VAR un jour peut être utilisé dans la
transformation précédemment décrite pour approximer d’une VAR à dix jours. Par
contre, extrapoler une VAR d’une journée à une VAR d’une année peut être
grandement problématique. Par ailleurs, les institutions ont le choix du nombre de
jours et de l’intervalle de confiance qu’elles veulent utiliser à des fins internes.
Cependant, quand l’objectif derrière ces mesures vise à calculer le capital requis
pour une institution financière, les règlements imposés par la BRI prévoient
l’utilisation d’un horizon de risque de dix jours avec un intervalle de confiance de
1%.
En réalité, l’hypothèse de la normalité des rendements pour chaque variable
de marché n’est pas vraie, et dans bien des cas, les rendements journaliers sont
________________________________________________________________________
31 / 40
___________________________________________________________________________
asymétriques. Ceci veut dire que la distribution des probabilités de changement de
ces rendements a une queue plus grosse. Donc des changements extrêmes arrivent
plus fréquemment que prédit par l’hypothèse de la normalité de la distribution.
Dans le cas du taux de change, les changements démontrent un coefficient de
kurtosis négatif. Cependant, même si la vraie distribution n’est pas normale,
l’approche par la variance donne de bons résultats. En règle générale, l’approche
basée sur la variance arrive à expliquer le risque d’un portefeuille même si les
distributions ne suivent pas une loi normale. Selon Culp, Mensink et Neves (1998),
rares sont les classes d’actifs faisant partie d’un portefeuille qui ne peuvent pas être
assez bien représentées par la loi normale même si ces classes ont un coefficient de
kurtosis centré significativement différent de zéro avec des queues de distribution
plus grosse que celle de la distribution normale (voir graphique 3).
D’autre part, plusieurs gestionnaires de risque ne sont pas satisfaits de
l’approche basée sur la variance et pensent que la variance, à elle seule, n’est pas
une mesure complète du risque pour toutes les classes d’actif. De plus, les
gestionnaires de risque ayant un horizon plus long rejettent aussi l’hypothèse de la
distribution stationnaire. Ainsi, on retrouve des approches qui ne dépendent pas de
l’hypothèse de la normalité et la stationnarité des distributions.
Graphique 3
Distribution leptokurtique
Écart type
En général, les approche non basées sur la variance peuvent être chères à
conceptualiser et à appliquer. De plus ces méthodes qui ne dépendent pas de la
supposition de la normalité des distributions nécessitent significativement plus de
données et dans quelques cas, le coût d’obtention et du maintien de ces données
peut être coûteux.. Il y a un arbitrage entre les coûts d’une part et la précision et le
réalisme de leur estimation de la VAR d’autre part.
Cette catégorie d’approche de la VAR est similaire à celle décrite auparavant
dans le sens qu’elle repose aussi sur une quantité spécifique d’observations
________________________________________________________________________
32 / 40
___________________________________________________________________________
historiques. Cependant, cette approche ne suppose pas la normalité des
distributions. Cette méthode constitue selon Jahel, Perraudin et Sellin (1998) une
approche non paramétrique. La seule supposition faite par rapport à la nature
stochastique des rendements est que ces derniers devraient être indépendants et
identiquement distribués. Selon eux, l’approche non paramétrique est compatible
avec les caractéristiques typiques des rendements sur les actifs financiers, c’est à
dire le grand nombre d’observations extrêmes et la chute des prix qu’on retrouve
plus souvent que l’augmentation des prix sur une même échelle.
Par exemple, pour une période d’observation de 500 jours, le 99ième
percentile que la simulation ait calculé est la sixième plus grosse perte observée
dans l’échantillon des 500 données.
La simulation historique utilise les résultats actuels pour prévoir le futur.
Cependant, plutôt que de calculer des corrélations théoriques, cette approche utilise
les corrélations observées dans le passé. Cette approche reflète donc le fait que les
corrélations puissent changer dans le temps. Selon Culp, Miller et Neves, cette
approche reste l'alternative la plus facile à l’approche basée sur la variance. Elle est
aussi très intuitive et facile à expliquer. Cependant, la simulation historique est
hautement dépendante de la disponibilité des données historiques. Cependant, cette
approche est totalement dépendante de l’échantillonnage qui peut conduire à un
risque de non-représentativité.
D’un autre point de vue, la simulation Monte Carlo fait encore un pas vers
l’avant en faisant jouer un grand nombre de simulation au hasard qui se basent sur
différentes estimations de volatilités et de corrélations. Avec cette approche, on
peut s’attendre à une plus grande exactitude des prédictions, mais à un coût
considérable en terme des données requises et de la puissance technologique qui les
utilise.
Jusqu’ici, nous avons supposé avoir accès aux données historiques de
rendement dans le cas des approches paramétriques ou non paramétriques. Nous
avons donc tout simplement supposé la disponibilité d’une base de données pour
les actifs constituant le portefeuille. Ce qui n’est pas le cas pour un portefeuille
d’options. La raison est que les options, par opposition aux actions, ont un terme
limité dans le temps. Par conséquent, il n’est pas possible d’utiliser les prix
historiques d’une option dans le calcul de la VAR. Comme alternative, il est
nécessaire d’essayer de reconstruire l’historique des prix d’une option ayant
exactement les mêmes caractéristiques que l’option pour laquelle on essaye de
calculer la VAR.
La forme des rendements historiques doit s’appliquer aux options ayant le
même temps d’expiration et le même prix d’exercice que l’option en question. En
pratique, il est difficile de trouver de telles séries temporelles et il se peut que des
________________________________________________________________________
33 / 40
___________________________________________________________________________
options ayant le même prix d’exercice n’aient été cotées que pour une petite
période ou jamais, ce qui est probable durant les périodes de hausse rapide du prix
de l’actif sous-jacent.
Si on peut trouver une relation raisonnablement identifiable et mesurable
entre le prix de l’option et le prix de l’actif sous-jacent, il est possible de calculer la
VAR. La formule de Black-Scholes est un exemple d’une telle relation.
La VAR devrait être utilisée comme un simple outil de communication des
risques encourus par un portefeuille et non comme une mesure fiable du risque de
marché. Ainsi, la VAR devrait être complétée par d’autres techniques de mesure de
risque telles que le « stress testing ».
XII. Stress testing
En général, la VAR est une méthodologie communément acceptée pour
mesurer la magnitude de la perte associée à des événements rares. Cependant, on
ressent de plus en plus un intérêt à quantifier la magnitude des pertes qui pourraient
survenir moins souvent que celles prises en compte par les calculs standards de la
VAR. La procédure utilisée pour quantifier des expositions à de potentielles pertes
sous des circonstances exceptionnelles est appelées «stress test».
Ainsi, en plus de calculer la VAR, plusieurs institutions financières font subir
un « stress test » à leur portefeuille. Le « stress testing » implique l’estimation de la
performance du portefeuille sous des mouvements de marché extrêmes. C’est une
approximation ou une réévaluation des portefeuilles des institutions sous certains
scénarios visant à reproduire des mouvements violents de facteurs de marchés. Ces
scénarios peuvent être soit un « stress test » historique qui reproduit un événement
passé, soit un scénario jugé plausible selon les changements du climat socioéconomique, politique, ou financier.
Par exemple, pour tester l’impact d’un mouvement extrême dans les prix des
actions américaines, un gestionnaire pourrait supposer que toutes les variables du
marché sont égales à celles du 19 octobre 1987. Si l'on considère ce scénario trop
extrême, le gestionnaire pourrait choisir le 8 janvier 1988. Pour tester l’effet d’un
mouvement extrême des taux d’intérêt en Angleterre, le gestionnaire pourrait
supposer que les variables de marché ont subi des changements proportionnels à
ceux vécus le 10 avril 1992.
Le « stress testing » peut être considéré comme une façon de prendre en
compte des événements extrêmes qui restent statistiquement peu probable. Un
mouvement journalier de cinq écart-type pour une variable de marché est un
exemple d’événement extrême. Sous l’hypothèse de la distribution journalière
normale, ceci arrive à peu près une fois tous les 7 000 ans. En pratique, il n’est pas
________________________________________________________________________
34 / 40
___________________________________________________________________________
aussi rare de voir des mouvements journaliers de cinq écart-type une ou deux fois
tous les dix ans.
Pour conclure cette section, la VAR est une précieuse mesure de la
magnitude du risque encouru qui est facile à communiquer, mais il reste qu'elle
n’est pas aussi précise qu’elle paraît l’être à première vue. Ainsi, dans la prochaine
section, nous présenterons les principales critiques que nous avons rencontrées
dans la littérature s’intéressant à la VAR.
XIII. Mesures cohérentes de risque
Afin d'identifier et de quantifier les risques, la comparaison (contrôle expost ou " back-testing ") à intervalles réguliers des estimations journalières
de perte potentielle (" valeur en risque " ou concept similaire) avec les
profits et pertes correspondants apparaît indispensable puisqu'elle permet
une forme de validation de la méthode employée. Aussi, choisit-on des
informations quantitatives en cohérence avec l'organisation des systèmes de
mesure et de contrôle adoptés par l'établissement. A chaque situation
correspond une mesure cohérent de la VAR :
• valeur en risque " courante " pour une durée de détention d'un
jour et de dix jours . Cette information peut être présentée sous la
forme d'une courbe reprenant les valeurs en risque constatées
quotidiennement au cours de l'exercice écoulé ou sous forme
d'éléments chiffrés en indiquant les valeurs en risque moyennes
ainsi que leurs montants maximal et minimal pour l'exercice
écoulé ;
• valeur en risque " extrême " correspondante pour une durée de
détention déterminée. Cette valeur en risque extrême peut se définir
comme l'exposition au risque d'un instrument de marché, calculée
dans des conditions extrêmes de marché. Cette information répond
à la notion de scénario de crise de type " stress-testing " ;
• pertes et profits quotidiens de trading (présentés sous forme de
courbe ou d'histogramme). Cette information répond à la notion de
" back-testing ". Les résultats des deux types de scénarii (" backtesting " et " stress-testing ") permettent d'apprécier la qualité du
modèle utilisé.
________________________________________________________________________
35 / 40
___________________________________________________________________________
XIV. Les critiques
L'objectif premier de la VAR devrait être de permettre de tenir compte
d'événements incertain, voire catastrophiques (à un niveau raisonnable). Chose
certaine, il est avisé de retenir la mise en garde faite par JP Morgan dans son
document d'introduction à RiskMetrics (1995) : «Nous tenons à rappeler au lecteur
qu'aucun outil d'analyse sophistiqué ne remplacera le jugement professionnel dans
la gestion du risque». En effet, plusieurs critiques ont été soulevées, non seulement
à propos de l'estimation de la VAR (méthodes, périodes, niveau de confiance), mais
également à propos de la pertinence de son utilisation (son adaptation pour divers
types d'entreprises).
Jorion (1996) étudie le risque d'estimation lié au calcul de la VAR. Il
considère la VAR obtenue par les méthodes conventionnelles comme étant une
approximation du premier ordre. Il préconise une bonne compréhension des
méthodes statistiques qui sont à la base des calculs car l'utilisation de paramètres
estimés avec biais entraîne un risque d'estimation de la VAR. Par conséquent, ce
risque d'estimation implique que la VAR devrait être accompagnée d'un intervalle
de confiance.
Beder (1995) montre dans une étude comparative de différentes méthodes
que toute VAR n'est pas équivalente.
Pour McKay et Keefer (1996), la VAR est une statistique qui aveugle les
gestionnaires. En effet, selon eux, la VAR ignore les asymétries de marchés, un
portefeuille peut être plus exposé aux profits qu'aux pertes ou l'inverse. Deux
portefeuilles peuvent avoir la même VAR mais présenter une configuration de
risque différente, un dont le risque peut être facilement éliminé alors que ce n'est
pas le cas pour l'autre portefeuille.
E. Conclusion
Nous avons présenté les éléments nécessaires à une quantification de la
rentabilité et du risque financier. Il est important de différencier les risques
diversifiables et ceux qui ne le sont pas. En théorie, seul ces derniers sont
valoriser par le marché.
Le problème clé de l’évaluation est d’identifier ce qui est le plus pertinent dans
le passé pour prédire le futur, et dans quelles conditions ont peut s’attendre a un
changement de tendance.
________________________________________________________________________
36 / 40
___________________________________________________________________________
Une entreprise détient en général tout un portefeuille d’investissement dont les
risques se diversifient partiellement. La corrélation entre deux investissements
est un élément essentiel de cette diversification. Une faible corrélation permet
une meilleur diversification du risque. Le risque d’un portefeuille est
généralement inférieur à la moyenne pondéré des investissements qui le
compose. L’objectif d’une bonne gestion est d’obtenir une bonne rentabilité
avec un niveau de risque minimum.
Quant à la Var, il n'est pas possible d'identifier une méthodologie
universellement acceptée pour estimer la VAR, chacune présentant ses propres
limites. L’une des limites fondamentales de n’importe quelle méthodologie est
le fait qu’elle soit le reflet la subjectivité des hypothèses statistiques sousjacentes. Toutefois, le plus grand risque dans l’utilisation de la VAR découle de
l'incompréhension des limites de la méthodologie utilisée.
La VAR demeure malgré tout un puissant outil de gestion de risque, mais
aussi faut-il l’utiliser avec beaucoup de précaution quant vient le temps
d’interpréter les résultats. La VAR est une valeur qui paraît scientifique et
précise mais en fait, elle repose sur plusieurs affirmations qui ne sont que
jugements significativement subjectifs. Il ne faut cependant pas oublier que les
hypothèses sont inévitables dans la mise en pratique d'une méthode de VAR, à la
fois pour des raisons de coûts et de temps. Par conséquent, les gestionnaires ont
besoin de bien connaître ces hypothèses et leurs implications pour être capable
d’interpréter proprement la VAR. Ceci donne lieu à plusieurs façon de dépasser
les difficultés posées par la VAR. Avec différentes méthodologies combinées
avec autant de jugement dans la mise en pratique, on ne peut être certain que les
résultats d’une institution à l’autre sont comparables. De plus, la VAR seule ne
suffit pas, elle doit faire partie d'une processus de gestions des risques et elle
doit être supportée par des politiques bien définies.
REMARQUES GENERALES
Justifier le texte à droite
Faire une bibliographie
Revoir l’introduction qui doit faire au moins 1 page ½ ou 2 pages (c’est
facile sur un sujet comme ca !)
Sur la VaR : discuter les mesures cohérentes de risque
________________________________________________________________________
37 / 40
___________________________________________________________________________
Bibliographie
Barone E., «A Unified VAR Approach», Istituto Mobiliare Italiano, 13th Annual
meeting of International Swaps and Derivatives Association (ISDA), March
1998
Christoffersen, P. and Francis X. Diebold., «Are volatility dynamics relevant
for risk management», Mimeo, Department of Economics, University of
Pennsylvania, 1997
Culp C., Miller M. and Neves A., «Value At Risk: uses and abuses», Bank of
America - Journal of Applied Corporate Finance, vol 10, number 4, Winter 1998
Culpron C. , Mensink A., M P Neves, « Value at Risk for asset managers »
Derivatives Quaterly; New York; Winter 1998
________________________________________________________________________
38 / 40
___________________________________________________________________________
Danielsson J, de Vries C., «Value-at-Risk and Extreme Returns», September
1997a
Danielsson J, de Vries C., «Beyond the sample: Extreme Quantile and
Probability Estimation», December 1997b
Danielsson J, de Vries C., Hartmann P., «The Cost of Conservatism: extreme
returns, value-at-risk and the Basle "multiplication factor"», January 1998a
Danielsson, D., C. De Vries, B.N. Jorgensen, « The value at risk: Statistical,
financial and regulatory considerations», Economic Policy Review - Federal
Reserve Bank of New York, New York, Oct. 1998b
Fallon W., «Calculating the Value-at-Risk», Financial Institutions Center,
Wharton, 1996, 96-49
Guldimann T., «JP Morgan's RiskMetrics: A new assessment tool», Bank
Management, May/June 1995
Hendricks and Darryll, « Evaluation of value-at-risk models using historical
data :
Economic Policy Review- Federal Reserve Bank of New York, New York; Apr
1996
Hitchins John, « What is Value-at-Risk ? », Accountancy, London, Jan 1997
Ho T., Chen M. and Eng F., «VAR Analytics: Portfolio Structure, Key Rate
Convexities and Var Betas», The Journal of Porfolio Management, Fall 1996
Hull J. and Alan White, « Value at Risk When Daily Changes in Market
Variables Are
Not Normally Distributed »; The Journal of Derivatives, Spring 1998
Jahel L., Perraudin W., Sellin P., «Value at risk», Quaterly Review, Stockholm,
1998
Jorion P., «Risk2: Measuring the risk in the Value at Risk», Financial Analysts
Journal, November/December 1996
Marshall C., Siegel M., «Value-at-Risk: Implementing a Risk Measurement
Standard», Financial Institutions Center, Wharton, 1996,
McGinn C., «The new risk management», Wall Street & Technology, July 1998
________________________________________________________________________
39 / 40
___________________________________________________________________________
McKay R., Keefer T E., «Var is a dangerous technique», Corporate Finance,
London, September 1996
Parsley, Mark, « Risk management's final frontier », Euromoney, London,
September 1996
Roy J. Gestion des Institutions Financières: Notes de cours, École des Hautes
Études commerciales de Montréal, 1999
Roy J. Marchés Financiers: Notes de cours, École des Hautes Études
commerciales de Montréal, 1998 et 1999
Saunders A. and Thomas H., Financial Institutions Management, First canadian
edition, Irwin, 1997
Settelmyer S. and Brian L.May, Arthur Andersen, LLP, « Taking Value at Risk
from Wall Street to Main Street »; TMA Journal, March/April 1998
Singh M., «Value at Risk Using Principal Components Analysis», The journal
of Portfolio Management, Fall 1997
Smithson C. and Minton L., «Value-At-Risk (1):Understanding the various way
to calculate VAR», Risk, January 1996, CIBC School of financial products
Smithson C. and Minton L., «Value-At-Risk (2):The debate on the Use of
VAR», Risk, January 1996, CIBC School of financial products
Supervisory framework for the use of "Backtesting" in Conjonction with
Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirement, Basle Committe
on Banking and Supervision, January 1996
Venkat S. and Satyan Malhotra, « Establishing a Value-at-Risk Framework »,
Mortgage Banking, August 1998
________________________________________________________________________
40 / 40

memoire dess marche de financiers et gestion de capitaux

Transcription

Documents pareils

Provence-emploi.com

Pied de table Paris

(Var) et optimisation stochastique de la gestion de

Saint-Maximin

theme 3 : le client - Site de Mohamed Amine EL AFRIT

Brignoles

Porgramme ADB-1

Plan d`action commercial et outils pour la fonction

DEMANDE DE PERMIS DE CONDUIRE INTERNATIONAL Le

www.var-initiative.fr varinitiative83 info@var