Une preuve du passage Primal ↔ Dual

Une preuve du passage Primal ↔ Dual
Les liens entre le programme primal P et son dual D sont les suivants :
P[D]
Maximisation
s variables
r contraintes
A
c
b
contraintes ≤
variables ≥
contraintes =
variables libres
D[P]
Minimisation
s contraintes
r variables
AT
b
c
variables ≥
contraintes ≥
variables libres
contraintes =
de sorte que pour un programme linéaire mis sous sa forme standard :

M ax z = cT x



s.c.
(P)
Ax
≤
b



x
≥ 0
le dual s’écrit

M in w = bT y



s.c.
(D)
Ty
A
≥ c



y
≥ 0
Plus généralement, soit le programme linéaire suivant :

M ax z = cT x + dT y




s.c.



Ax + By ≤
a
(P)
Cx + Dy =
b





x
≥
0


y
∈
Rn−s
Fixons les dimensions :
1
– c, x ∈ Rs , d, y ∈ Rn−s ,a ∈ Rr ,b ∈ Rm−r
– A ∈ Mr,s (R),B ∈ Mr,n−s (R),C ∈ Mm−r,s (R),D ∈ Mm−r,n−s (R)
On démontre alors que D est donné par :

M in w
= aT u + bT v




s.c.


 T
A u + CT v ≥
c
(D)
T u + DT v =
B
d





u
≥
0


v
∈
Rm−r
En effet :

M ax z




s.c.



Ax + By
Cx + Dy





x


y
=
≤
=
≥
∈
cT x
+
dT y
a
b
0
Rn−s

M ax z




s.c.




Ax
+
By

1 − By2
Cx + Dy1 − Dy2
⇔


−Cx
− Dy1 + Dy2





x


y1 , y 2

M ax z




s.c.




 Ax + By
Cx + Dy
⇔


Cx + Dy





x


y
= cT x + dT y
≤
≤
≥
≥
∈
a
b
b
0
Rn−s
= cT x + dT y1 − dT y2
≤
≤
≤
≥
≥
a
b
−b
0
0





M ax z








s.c.   
 
A
B −B
x
⇔


C
 y 1 
D
−D





−C −D D
y2




x


y1 , y 2
En passant au dual

M in w
=




s.c.

  T


A
CT
−C T
 BT
DT −DT  y 0 ≥




 −B T −DT DT


y0 ≥
0
2
 
x
= (cT , dT , −dT ) y1 
y2


a
b
−b
0
0
≤
≥
≥
aT
bT

−bT y 0

c
d
−d
Si y 0 = (u, v1 , v2 ) :

M in w




s.c.



T
A u + C T v1 − C T v2
⇔
B T u + DT v1 − DT v2



 −B T u − DT v1 + DT v2



u, v1 , v2 ≥
et si v = v1 − v2 :

M in w




s.c.



T u + CT v

A

B T u + DT v
⇔


−B T u − DT v





u≥


v ∈ Rm−r
= aT u + bT v1 − bT v2
≥
≥
≥
0
c
d
−d
= aT u + bT v
≥
≥
≥
0
c
d
−d
d’où















M in w
= aT u + bT v
s.c.
AT u + C T v ≥
c
B T u + DT v =
d
u≥
0
v ∈ Rm−r
L’interprétation est alors la suivante : la contrainte égalité de P est Cx + Dy =
b, et b est lié à v dans D, qui est une variable sans contrainte de signe. La variable
y sans contrainte de signe dans P est facteur de B et D qui forment la contrainte
égalité dans D.
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