Cours 7 - Université Saad Dahlab de Blida

A
H
LA
B
D
E
BL
ID
A
Cours de Programmation Linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
D
D
Cours 07 :
U
N
IV
ER
SI
TE
SA
A
La Dualité
Cours 07 : La Dualité.
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Cours de Programmation Linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
Définitions des problèmes duaux
Soit un problème général de la programmation linéaire
A
( I)
min Z = c.x

 α x ≥ d i∈ M
i
1
 i
 α x = d i∈ M
i
1
 i
 x j ≥ 0, j ∈ N1

D
On adopte les notations suivantes :
BL
I
M = { 1, 2, …, m} ensembles des indices des contraintes
M1 ⊂ M un sous ensemble de M, M1 ⊂ M et M1 + M1 = M.
LA
B
N1 ⊂ N un sous ensemble de N, N1 ⊂ N et N1 + N1 = N.
D
E
N = { 1, 2, …, n} ensembles des indices des variables
αi = (ai1, ai2, …, ain) la ième ligne de A, un vecteur ligne.
Le problème (I) est appelé " problème primal " à qui nous associons le problème (II)
A
D
D
(II)
m

max w = ∑ d i y i

i =1

≥
∈ M1
y
0
,
i
i

 y i quelconque, i ∈ M1
 m
 ∑ a ij yi ≤ c j , j ∈ N1
 i =1
 m
 ∑ a ij yi = c j , j ∈ N1
 i =1
SI
TE
SA
( I)
A
n

=
min
z
c jx j
∑

=
j
1

 n
 ∑ a ij x j ≥ d i , i ∈ M1
 j =1
 n
 ∑ a ij x j = d i , i ∈ M1
 j =1
 x ≥ 0, j ∈ N
j
1

x j quelconque, j ∈ N1
H
dit " problème dual " de la façon suivante :
ER
La dualité possède les propriétés suivantes :
IV
a. Elle est involutive. Le dual du dual est le primal.
b. Elle est caractérisée de la façon suivante.
U
N
1. une variable duale soumise à une contrainte de non négativité correspond à
toute contrainte représentée par une inéquation et vice-versa.
2. Une variable duale de signe quelconque correspond à chaque contrainte
représentée par une équation et vice-versa.
3. La matrice transposée des coefficients des contraintes de chacun des
problèmes est une matrice des coefficients de l'autre problème et vice-verssa.
4. Les seconds membres du système de contraintes de chacun des problèmes sont
des coefficients de la fonction objectif de l'autre problème et réciproquement.
Cours 07 : La Dualité.
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5. Le problème de maximisation correspond a problème de minimisation et viceversa.
6. Si la fonction objectif est à minimiser, les contraintes qui sont des inéquations
contiennent toutes les signes supérieur ou égal (≥) et les contraintes
Exemple 1.
Le dual qui lui est associé sera :
ID
Soit le problème primal (I) donné par :
Maxw = 30 y1+ 40 y2 + 10 y3 + 18 y4
x1 + 2 x2 + 3 x3 - 2 x4 ≥ 30
BL
Minz = 2x1-3 x2 + 4 x3 - 5 x4
y1 ≥ 0,
y2 est un réel quelconque,
- 3 x1 + 6 x2 + 4 x3 - x4 ≥ 10
y3 ≥ 0,
4 x1 - 5 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 18
y4 est un réel quelconque
LA
B
D
E
2 x1 + 7 x2 -2 x3 + 4 x4 = 40
x1 ≥ 0,
y1 + 2 y2 - 3 y3 + 4 y4 ≤ 2
2 y1 + 7 y2 + 6 y3 - 5 y4 = -3
H
x2 est un réel quelconque,
3 y1 - 2 y2 + 4 y3 + 2 y4 = 4
A
x3 est un réel quelconque,
D
x4 ≥ 0.
- 2 y1 + 4 y2 - y3 - 2 y4 ≤ - 5.
SI
TE
SA
 min z = cx

(I c )  Ax ≥ d
 x≥0

A
D
La définition d'un couple de problèmes duaux contient trois formes particulières.
La forme canonique
 max w = y.d

(II c )  y.A ≤ c
 y≥0

La forme standard
IV
ER
 min z = cx

(I s )  Ax = d
 x≥0

max w = y.d


(IIs ) 
y.A ≤ c
 y quelconque noté ∀

U
N
La forme mixte
(I m )
min Z = c.x

 α x ≥ d i∈ M
i
1
 i
 α x = d i∈ M
i
1
 i
 x j ≥ 0, j ∈ N1

(II m )
 max w = y.d
 y.a ≤ c , j ∈ N

j
j

 y i ≥ 0 i ∈ M1

yi ∀, i ∈ M1
Toutes les trois formes des problèmes duaux sont équivalentes.
Cours 07 : La Dualité.
A
contiennent les signes inférieur ou égal (≤) dans le problème à maximiser.
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Théorèmes fondamentaux de la dualité
On énoncera des théorèmes qui permettent d'établir une correspondance entre les
solutions du primal et ceux du dual. Considérons un couple de problèmes duaux sous
forme standard.
ID
Lemme 1. Si x est une solution réalisable du primal (I) et y est une solution du
x ≥ 0.
D
Multiplions à gauche de l'égalité A. x = d par y , on obtiendra que :
E
Preuve : A. x = d, y .A ≤ c,
BL
c. x ≥ y .d.
dual (II), on a :
B
y . A. x = y .d ≤ c. x .
LA
Multiplions à droite de l'inégalité y .A ≤ c par x , on aura que
A
H
y . A. x ≤ c. x . D'où l'inégalité c. x ≥ y .d.
D
Lemme 2. Si x est une solution réalisable du problème primal (I), y est une solution
D
du dual (II) et si c. x = y .d alors x et y sont des solutions optimales respectivement
SA
A
de (I) et de (II).
Preuve : Soit les deux ensembles P = { x / A. x = d, x ≥ 0 } et D = { y / y.A ≤ c }
TE
D'après le lemme 1, c. x ≥ y .d et on a l'égalité c. x = y .d.
De l'égalité A. x = d, on obtient que : y A. x = y .d = c. x ,
SI
De l'inégalité y .A ≤ c, on obtient que y .A. x ≤ c. x.
ER
D'où ∀ x ∈ P, c. x ≤ c. x. Alors x est une solution minimale du problème primal (I).
IV
∀ y ∈ P, c. x = c. x = y .d ≥ y.d .
U
N
En effet, y.A. x = y. d, y.A. x ≤ c . x .
y. d ≤ c . x = y .d, ∀ y ∈ P ⇒ y est ne solution optimale du dual (II).
Cours 07 : La Dualité.
A
max w = y.d


(IIs ) 
y.A ≤ c
 y quelconque noté ∀

 min z = cx

(I s )  Ax = d
 x≥0

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Exemple 2.
Le dual qui lui est associé sera :
y1 ≥ 0,
x1 - 2 x2 + 4 x3 ≥ 8
y2 ≥ 0,
y1 + y2 ≤ 2
x2 ≥ 0,
y1 - 2 y2 ≤ 0
x3 ≥ 0,
- y1 + 4 y2 ≤ 1.
B
D
x1 ≥ 0,
BL
I
x1 + x2 - x3 ≥ 5
D
Max w = 5y1+ 8 y2
E
Minz = 2x1 + x3
A
Soit le problème primal (I) donné par :
LA
Vérifier que x = ( 10, 1, 0) est une solution réalisable du primal où z( x ) = 20, que
H
y = (1/2, 1/4) est une solution réalisable du dual où w( y ) = 9/2 et que z( x ) ≥ w( y ) .
D
A
Par l'algorithme du simplexe, résoudre ces deux problèmes séparément et montrer que
U
N
IV
ER
SI
TE
SA
A
D
x* = ( 0, 14, 9), y* = ( 1, 1/2) et que Z(x*) = W(y*) = 9.
Cours 07 : La Dualité.
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U
N
IV
ER
SI
TE
SA
A
D
D
A
H
LA
B
D
E
BL
ID
A
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