Cours 8 - Université Saad Dahlab de Blida

Cours de Programmation Linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
Cours 08 :
Premier théorème de la Dualité
5. Caractérisation de la dualité
ID
E
max w = y.d


(IIs ) 
y.A ≤ c
 y quelconque noté ∀

BL
 min z = cx

(I s )  Ax = d
 x≥0

A
Considérons un couple de problèmes duaux sous la forme standard
D
Théorème 1 :
B
1. Si la solution du problème du primal (I) existe et est finie alors celle du problème
LA
dual (II) existe aussi, est finie et les valeurs optimales des fonctions objectifs sont
égales, minZ = max W.
A
H
2. Si la solution optimale du problème primal est infinie alors le système des
D
contraintes du problème dual est contradictoire.
La réciproque n'est pas vraie. Les problèmes primal et dual peuvent être
A
D
simultanément contradictoires.
SA
Preuve : soit x une solution optimale du primal (I) avec AB la base optimale.
A = (AB, AHB) , C = (CB, CHB) et x = (xB, xHB)
ER
SI
TE
Le problème linéaire peut s'écrire :
 min z = c B x B + c HB x HB

(I)  A B x B + A HB x HB = d

x B ≥ 0, x HB ≥ 0

AB est une base si et seulement si A-1B existe.
IV
Multiplions par A-1B l'équation (1) : AB.xB + AHB.xHB = d. On obtiendra que :
U
N
A-1B AB.xB + A-1B AHB.xHB = A-1B d ⇔
xB + A-1B AHB.xHB = A-1B d
(1)
⇔ xB = A-1B d -A-1B AHB.xHB
Le système (I) devient : Z = CB ( A-1B d -A-1B AHB.xHB ) + CHB . xHB
Z = (CHB - CB A-1B AHB) xHB + CB . A-1B d
-1
xB + A
B
-1
AHB.xHB = A
B
(2)
d
xB ≥ 0, xHB ≥ 0.
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
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Ce problème est mis sous forme diagonale . Par hypothèse AB est une base
optimale alors les coefficients de (2) sont positifs.
( xB , xHB ) = (A-1B d, 0) est optimale. Tous les coefficients sont positifs.
D'où le vecteur représentant les coefficients de (2),
( 0,…,0, CHB - CB A-1B AHB)
(3)
est à composantes positives.
Considérons la relation :
ID
C - Π. A = (CB , CHB) - CB A-1B (AB, AHB) = (CB - CB A-1B AB, CHB - CB A-1B AHB)
BL
= (0, CHB - Π. AHB) qqui a des coefficients positifs. D'où Π. A ≤ C.
D
B
Calculons y . d = CB A-1B .d = CB - CB xB = c. x avec xHB = 0.
E
Cela signifie que Π satisfait à la contrainte du problème dual. Posons y = Π.
alors y est une solution du problème (II) ( non forcément optimale)
LA
D'où y . d = c. x . D'après le lemme 2, y est une solution optimale du problème
dual.
H
2. min Z = - ∞. Nous montrons que le dual n'a pas de solutions ( ou le systèmes
D
A
des contraintes est contradictoire). Raisonnons par absurde. Supposons que le
D
problème dual possède une solution y ⇒ c. x ≥ y . d.
SA
A
x optimale implique que y . d ≤ - ∞. D'où la contradiction.
Corollaire 1 : Etant donné un couple de problème duaux (I) et (II), une et une seule
SI
TE
des trois assertions suivantes est vraie.
-
Les problèmes (I) et (II) tous les deux possèdent des solutions optimales et
ER
min z = max w.
-
Un problème (I ou II) possède des solutions mais pas de solution optimale finie,
IV
l'autre problème (II ou I) n'a pas de solutions.
Ni (I), ni (II) ,'a de solutions.
U
N
-
On récapitule ces résultats sous forme de tableau :
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
A
Posons CB A-1B = Π, le vecteur multiplicatif relatif à la base B.
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(I) a des solutions réalisables
(II) a des
(II) a une
solutions
solution finie
(II) n'a pas de
(I) n'a pas de
(I) a une
(I) n'a pas de
solutions
solution
solutions optimale
réalisables
optimale finie
finie
Minz = max w
Impossible
Impossible
Impossible
Impossible
Max w → + ∞
Impossible
Minz → - ∞
Possible
A
solution
BL
(II) n'a pas de solutions
ID
optimale
E
Exemple 3.
Le dual qui lui est associé sera :
Max w = 5y1+ y2
B
Minz = 4x1 + 3x2
y1 ≥ 0,
LA
x1 + 2x2 ≥ 5
2x1 + 3 x2 ≥ 1
y2 ≥ 0,
y1 + 2 y2 ≤ 4
A
H
x1 ≥ 0,
2 y1 + 3 y2 ≤ 3
D
x2 ≥ 0.
D
Qu'on peut écrire sous la forme :
2x1 + 3 x2 ≥ 1
SI
TE
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Max w = 5y1+ y2
SA
A
Minz = 4x1 + 3x2
x1 + 2x2 ≥ 5
D
Soit le problème primal (I) donné par :
y1 + 2 y2 ≤ 4
2 y1 + 3 y2 ≤ 3
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
Résoudre chacun de ces deux problèmes et montrer que :
ER
x* = ( 0, 5/2) et y* = ( 3/2, 0) et que minz = max w = 15/2.
IV
Exemple 4. Montrer que ce problème n'a pas de solution optimale.
U
N
Minz = 2x1 + 3x2
x1 + x2 ≥ 5
Max w = 5y1+ y2
y1 - 2 y2 ≤ 2
- 2x1 - 3 x2 ≥ 1
y1 - 3 y2 ≤ 3
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
Résoudre le problème dual et montrer que max w = + ∞. D'où le problème primal n'a
pas de solutions optimales.
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
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Exemple 5. Montrer que ce problème est impossible à réaliser
Minz = x1 - 2x2
Max w = 5y1+ y2
x1 - x 2 ≥ 5
y1 - y2 ≤ 1
- x1 + x2 ≥ 1
y1 + y2 ≤ - 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0.
Ces problèmes sont impossibles car si on additionne les contraintes dans chacun des
ID
A
problèmes primal et dual, on obtient respectivement que : que 0 ≥ 6 et 0 ≤ -1.
BL
6. Théorème faible des écarts complémentaires
 min z = cx

(I c )  Ax ≥ d
 x≥0

H
LA
avec x et y des solutions respectivement de (Ic) et (IIc).
B
D
 max w = y.d

(II c )  y.A ≤ c
 y≥0

E
Soient un couple de problèmes duaux sous forme canonique
A
Proposition 1: Une condition nécessaire et suffisante pour que x et y des solutions
y ( A x - d) = 0
et (c - y A) x = 0
(2)
D
(1)
D
optimales respectivement de (Ic) et (IIc) est que :
A
Preuve: ⇐ La condition suffisante. Supposons que x et y satisfassent les conditions
SA
(1) et (2).
En développant le produit on aura que :
(1)
et c. x - y .A. x = 0
TE
y .A. x - y d = 0
(2)
SI
D'où c. x = y .d. D'après le lemme 2, x et y sont des solutions optimales
ER
respectivement de (Ic) et (IIc).
IV
⇒ La condition nécessaire. Si x et y des solutions optimales respectivement de (Ic)
et (IIc), montrons que les égalités (1) et (2) sont vérifiées.
N
De la condition de réalisabilité A. x -d ≥ 0, multiplions à gauche cette inéquation
U
par y , y ≥ 0 et c- y .A ≥ 0, multiplions à droite par x , x ≥ 0.
On obtient les expressions α = y .A. x - y .d ≥ 0 et β = c. x - y .A. x ≥ 0
α + β = α = c. x - y .d ≥ 0. D'après le lemme 2, c. x = y .d. D'où α = β = 0.
α = y .A. x - y .d = 0 et β = c. x - y .A. x = 0. ⇒ y i.( αi. x - di ) = 0, i = 1,…,m (3)
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
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(cj - y aj). x j = 0, j = 1,…, n (4).
Si un terme du produit de (3) ou (4) est strictement positif l'autre terme est nul.
Si αi. x - di > 0 alors y i= 0 ( et vice versa. Si y i > 0 alors αi. x - di = 0 ) (5)
Si x j > 0 alors cj - y aj = 0 (respectivement si cj - y aj > 0, x j = 0)
(6).
Théorème 2 : Considérons un couple de problèmes duaux sous forme canonique
 min z = cx

(I c )  Ax ≥ d
 x≥0

D
A
 max w = y.d

(II c )  y.A ≤ c
 y≥0

E
 max w = y.d

(IIs )  y.A + s = c
 y ≥ 0,s ≥ 0

D
min z = cx


(I s )  Ax − t = d
 x ≥ 0, t ≥ 0.

BL
I
Sous la forme standard :
B
t = ( t1, …, tm)T et s = ( s1, …, sn)
LA
Soient ( x , t ) et ( y , s ) des solutions de (Is) et (IIs).
H
Le théorème des écarts complémentaires peut être énoncé sous la forme :
y.t = 0
(4).
D
s . x = 0 (3) et
A
( x , t ) et ( y , s ) soient optimales de (Is) et (IIs) si et seulement si
D
Preuve: Des équations(1) de (Is) on tire que t = A.x -d, d'où t = A. x -d.
A
Des équations de(IIs) on a : s = c - y.A, d'où s = c - y .A.
SA
Multiplions à gauche par y l'équation t = A. x -d.
TE
y . t = y (A. x -d) = y .A. x - y .d = 0.
De même, multiplions à droite par x l'équation s = c - y .A.
SI
D'où s . x = (c - y .A) x = c. x - y .A. x = 0 d'après la proposition citée ci dessus.
ER
Dire que : s . x = 0 ⇒ s j. x j = 0, j = 1,…, n
N
IV
y . t = 0 ⇒ y i. t i = 0, i = 1,…, m.
U
Définition 1: Soit x une solution du primal (I).
Pour cette solution la "ième" contrainte sera dite " serrée " si αi. x = di,
soit : a1i. x 1+ a2i. x 2 + …+ ani. x n = di
et elle sera dite "lâche" si αi. x > di.
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
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Soit y une solution du dual (II). Pour cette solution la jième contrainte sera dite
"serrée" si y aj = cj et elle sera dite " lâche " si y aj < cj.
Alors le théorème 3 peut être énoncé sous la forme :
Théorème 3 : Une condition nécessaire et suffisante pour que x et y soient des
solutions optimales de (I) et (II) est que :
-
si une contrainte de l'un des problèmes duaux est " lâche " (n'est pas serrée) alors
la variable duale de l'autre problème est nulle.
Si une variable de l'un des problèmes duaux est positive alors la contrainte
BL
I
D
correspondante de l'autre problème est " serrée ".
Considérons un couple de problèmes duaux sous forme canonique
 max w = y.d

(II c )  y.A ≤ c
 y≥0

LA
B
D
E
7. Notion du Lagrangien et point de selle
 min z = cx

(I c )  Ax ≥ d
 x≥0

A
-
Définition 2:
A
H
- On appelle " Lagrangien " associé à ces problèmes, la fonction des variables x et y
(5)
D
définie par (x, y) = c.x + y.d - y.A.x
A
D
- On dit qu'un couple de vecteurs x ≥ 0 et y ≥ 0 constitue un "col " (ou point selle)
du Lagrangien (x, y) si pour tout x ≥ 0 et y ≥ 0, on a :
SA
( x , y) ≤ ( x , y ) ≤ (x, y )
(6).
TE
Théorème 4 : Une condition nécessaire et suffisante pour que x et y soient des
SI
solutions optimales du problème primal (Ic) et du dual (IIc) est que le couple ( x , y )
ER
constitue le " col " du Lagrangien (x, y).
N
IV
La valeur commune des fonctions objectives de (Ic) et (IIc) est égale à ( x , y ).
Preuve : ⇒ soient x et y soient des solutions optimales du problème primal (Ic) et
U
du dual (IIc). On a : y (A x - d) = 0 et (c - y A) x = 0, d'où c. x = y .d = y .A. x (7)
y (d - A x ) = 0 et (c - y A) x = 0 conduit à ce que
c. x + y .d - y A. x = y .A. x = c. x .
D'où
( x , y ) = c. x = y A. x = y .d.
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
(8)
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(x, y ) = c.x + y .d - y A.x = y .d + (c - y A) x ≥ y .d (sachant que c - y .A ≥ 0).
(x, y ) ≥ ( x , y ).
( x , y) = c. x + y.d -y.A. x = c. x - y(d -A. x ) ≤ c. x ( car d - A. x ≤ 0)
( x , y) ≤ c. x = ( x , y ).
D'où la double inégalité, ( x , y) ≤ ( x , y ) ≤ (x, y ).
⇐ Supposant que ( x , y ) satisfasse à ( x , y) ≤ ( x , y ) ≤ (x, y ).
A
Prenons l'inégalité ( x , y ) ≤ (x, y ) ⇔ c. x + y .d - y A. x ≤ c.x + y .d - y .A.x
⇔ ∀ x, ( c - y A) .( x - x ) ≥ 0.
Cette inégalité est encore vraie pour : x = x + ej où ej est le vecteur unité
E
ej = (0,…,0, 1, …0). D'où (c - y A) .ej ≥ 0.
BL
I
D
⇔( c - y A) . x ≤ ( c - y .A).x
D
Pour j = 1, on obtiendra que c1 - y . a1 ≥ 0 ; Pour j = 2, on obtiendra que c2 - y . a2 ≥ 0 ;
LA
B
……; Pour j = m, on obtiendra que cm - y . am ≥ 0.
cj - y . aj ≥ 0 , j = 1,…,m. ⇔ y . A ≤ c ⇒ y est une solution du dual.
H
De l'inégalité ( x , y) ≤ ( x , y ) on aura : c. x + y.d -y.A. x ≤ c. x + y .d - y .A. x
D
A
⇔ ( c - y.A). x + y.d ≤ ( c - y .A). x + y .d ⇔ y.( d -A. x ) ≤ y .( d - A. x )
A
D
⇔ ∀ y, (y - y ) (A. x -d) ≥ 0.
Cette inégalité est encore vraie pour :
SA
y = y + ei où ei est le vecteur unité ( ei = (0,…, 0, 1, 0, …,0), i = 1,…,m.
Pour i = 1, on obtient α1. x - d1 ≥ 0 ; pour i = 2, on obtient α2. x - d2 ≥ 0 ;
x est une solution du primal (Ic).
SI
D'où A. x ≥ d.
TE
…..; pour i = m, on obtient αm. x - dm ≥ 0.
ER
Montrons que ces solutions sont optimales.
Il suffit de poser x = 0 et y = 0 dans l'inéquation (6). On obtient que :
N
IV
( x , 0) ≤ ( x , y ) ≤ (0, y ) ⇔ c. x ≤ ( c - y .A). x + y .d ≤ y .d
U
⇔ ( c - y .A). x ≤ 0 ⇔ c. x ≤ y .d (et comme c. x ≥ y .d, voir lemme 1)
⇔ c. x = y .d.
x et y sont des solutions optimales du problème primal (Ic) et du dual (IIc).
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
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Exemple 6:
Soit le problème primal (I) donné par :
Le dual qui lui est associé sera :
Minz = 2x1 + 3 x2 + x3
Max w = 1/2y1+ y2
x1 + x2 - x3 ≥ 1/2
≤2
y1
x2 + x3 ≥ 1
y1 + y2 ≤ 3,
x1 ≥ 0,
y1 - 2 y2 ≤ 1
x2 ≥ 0,
y1 ≥ 0,
x3 ≥ 0,
y2 ≥ 0.
D
A
Le dual peut être résolu facilement en appliquant la méthode géométrique. Le faire!
optimale du primal en utilisant le théorème 3 des écarts complémentaires.
E
Des équation (3) et (4) on a : y i.( αi. x - di ) = 0, i = 1,…,m (3)
BL
I
Montrer que y*1 = 1 et que y*2 = 2 et maxw* = 5/2. Déterminons une solution
D
(cj - y aj). x j = 0, j = 1,…, n (4).
B
Comme y *1 = 1 > 0 alors α1. x - d1 = 0 ; et comme y *2 = 2 > 0 alors α2. x - d2 = 0.
LA
(c1 - y a1). x 1 = 0 ⇔ (2 - (1,2).(1, 0)T) . x 1 = (2 - 1). x 1 = 0 ⇔ x 1 = 0.
H
α1. x - d1 = 0 ⇔ x 1 + x 2 - x 3 = 1/2.
A
α2. x - d2 = 0 ⇔ x 2 + x 3 = 1.
x 2 - x 3 = 1/2.
D
On obtient le système :
A
D
x 2 + x 3 = 1.
La solution de ce système est x 2 = 3/4 et x 3 = 1/4.
U
N
IV
ER
SI
TE
SA
D'où x * = ( 0, 3/4, 1/4) et Z( x ) = 5/2.
Cours 08 : Premier théorème de la dualité.
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