Espaces de Sobolev avec poids et problèmes elliptiques

Espaces de Sobolev avec poids et problèmes
elliptiques non homogènes dans le demi-espace
Résumé
L'objet de cet exposé est la résolution de problèmes elliptiques classiques
dans le demi-espace RN
+ , avec N ≥ 2. En partant des problèmes déjà traités
de Dirichlet et de Neumann pour l'opérateur de Laplace, nous avons exploré
diérents aspects du problème biharmonique et de celui de Stokes dans cette
géométrie. Nous donnons des résultats fondamentaux d'existence et de régularité en théorie Lp , avec 1 < p < ∞. Le cadre fonctionnel dans lequel
nous nous plaçons est celui des espaces de Sobolev avec poids. Ce sont des
structures appropriées pour décrire les comportements à l'inni en domaines
non bornés dans les problèmes elliptiques. La principale diérence avec les
problèmes en domaine extérieur est due à la nature de la frontière qui est
non compacte et une des dicultés est d'obtenir les espaces de traces ad
hoc. Nous considérons ici des conditions aux limites non homogènes qu'on
suppose également dans des espaces de Sobolev avec poids. Un aspect non
négligeable de cette étude a trait aux conditions aux limites singulières et
aux solutions très faibles qui en découlent. Il y est aussi abordé la question
des conditions aux limites non standard, en particulier de type Navier pour
le problème de Stokes . . .