25 Barycentre. Applications

25
Barycentre. Applications
On rappelle tout d'abord quelques notions basiques.
Étant donné un espace vectoriel réel E de dimension n et un ensemble non vide E, on dit
qu'on a déni une structure d'espace ane sur E de direction E si on dispose d'une application :
+ E ×E →
E
−
→
−
(A, v ) 7→ A + →
v
telle que :
−
→
→
−
→
→
A + (→
u +−
v ) = (A + −
u)+→
v pour tous vecteurs −
u ,−
v dans E et tout point A dans E ;
−
→
→
−
−
→
pour tout A ∈ E, l'égalité A + u = A équivaut à u = 0 ;
−
→
pour tout couple (A, B) de points de E, il existe un vecteur →
v ∈ E tel que B = A + −
v.
−
→
On note E = E .
−→
→
→
→
Pour (A, B) ∈ E, le vecteur −
v tel que B = A + −
v est unique et noté −
v = AB : on a donc :
−→
B = A + AB
On dispose aussi de la relation de Chasles :
−→ −−→ −→
∀ (A, B, C) ∈ E 3 , AB + BC = AC
et de la propriété du parallélogramme :
(−→ −−→)
(−→ −−→)
∀ (A, B, C, D) ∈ E , AB = CD ⇔ AC = BD
4
→
−
Pour tout point Ω ∈ E, l'application −
v 7→ Ω + →
v réalise une bijection de E sur E.
La dimension de l'espace ane E est la dimension de l'espace vectoriel associé E.
→
Si Ω est un point de E et B = (−
ej )1≤j≤n une base de E, on dit que R = (Ω, B) est un
repère cartésien de E d'origine Ω. Pour tout point M ∈ E, il existe donc un unique n-uplet
(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn tel que :
−−→ ∑ −
ej
ΩM =
xj →
n
j=1
et :
∑
−−→
−
ej
M = Ω + ΩM = Ω +
xj →
n
j=1
On dit alors que (x1 , · · · , xn ) sont les coordonnées du point M dans le repère cartésien R.
647
Barycentre. Applications
648
Dénition 25.1 On dit qu'une partie non vide
existe un point A de F tel que l'ensemble :
F de E est un sous-espace ane de E, s'il
{−−→
}
F = AM | M ∈ F
−
→
est un sous-espace vectoriel de E = E .
−
→
Un sous espace ane F de E est un espace ane de direction F = F et sa dimension est
celle de F.
Deux sous-espaces anes sont dit parallèles s'ils ont même direction.
25.1 Fonction vectorielle de Leibniz et barycentre
E est un espace ane euclidien de dimension n et E l'espace vectoriel associé, le corps de
base étant R.
Dénition 25.2 On appelle point pondéré de E, tout couple (M, α) ∈ E × R.
À tout suite nie ((Mk , αk ))1≤k≤p de p ≥ 1 points pondérés dans E, on associe la fonction
vectorielle de Leibniz :
−
→
φ :
E
→
M 7→
p
∑
E
−−−→
αk M A k
k=1
Théorème 25.1 Avec les notations qui précèdent, on a :
→
→
∀ (Ω, M ) ∈ E 2 , −
φ (M ) − −
φ (Ω) =
( p
∑
)
αk
−−→
MΩ
k=1
Dans le cas où
p
∑
→
αk = 0, l'application −
φ est constante et dans le cas où
p
∑
αk ̸= 0, elle est
k=1
k=1
bijective de E sur E.
Démonstration. En utilisant la relation de Chasles, on a pour tout Ω ∈ E :
p
(−−→ −−→)
∑
−
→
∀M ∈ E, φ (M ) =
αk M Ω + ΩAk =
k=1
Dans où
p
∑
(
p
∑
k=1
αk = 0, on en déduit que :
k=1
→
→
∀M ∈ E, −
φ (M ) = −
φ (Ω)
→
ce qui signie que −
φ est constante.
Supposons que
p
∑
k=1
αk ̸= 0 et xons Ω ∈ E.
)
αk
−−→ →
MΩ + −
φ (Ω)
Fonction vectorielle de Leibniz et barycentre
649
−
→
→
→
→
→
→
→
Pour tout vecteur
v ∈ E l'égalité −
v =−
φ (M ) équivaut à −
v −−
φ (Ω) = −
φ (M )− −
φ (Ω) , soit
)
(
)
(
→
→
à−
v −−
φ (Ω) =
p
∑
αk
−−→
−−→
M Ω, qui est encore équivalent à ΩM =
k=1
( p
∑
−1
αk
−
−
(→
φ (Ω) − →
v ),
k=1
ce qui prouve l'unicité de M ∈ E s'il existe avec :
−−→
M = Ω + ΩM = Ω +
p
∑
)−1
αk
→
→
(−
φ (Ω) − −
v)
k=1
→
Il nous sut donc de vérier que ce point M est bien l'antécédent de −
v , ce qui résulte de :
−
→
φ (M ) =
(
p
∑
)
αk
−−→
→
→
→
→
M Ω + φ (Ω) = −
v −−
φ (Ω) + −
φ (Ω) = −
v
k=1
On peut donc donner la dénition suivante.
Dénition 25.3 Soit
((Mk , αk ))1≤k≤p une suite de p ≥ 1 points pondérés dans E, où les αk
p
(−
∑
→)
→
αk ̸= 0. Le barycentre de cette suite est G = −
φ −1 0 .
sont des réels tels que
k=1
On notera :
G = Bary ((Mk , αk ))1≤k≤p
Ce barycentre est donc l'unique point G de E tel que :
p
∑
−−−→ −
→
αk GMk = 0
k=1
C'est aussi l'unique point G de E tel que :
∀Ω ∈ E,
( p
∑
αk
)
−→ ∑ −−→
αk ΩMk
ΩG =
k=1
p
k=1
Pour p = 1, α1 ̸= 0, le barycentre de (M1 , α1 ) est M1 .
Dans le cas où tous les αk sont égaux, on dit que G est l'isobarycentre de la suite de points
(Mk )1≤k≤p , il est déni par :
p
∑
−−−→ −
→
GMk = 0
k=1
ou de manière équivalente par :
p
−→ 1 ∑−−→
∀Ω ∈ E, ΩG =
ΩMk
p k=1
Exemple 25.1 Le milieu
I du segment [A, B] est par dénition l'isobarycentre de (A, B) , il
−
→ 1 −→
−
→ −→
est caractérisé par AI = AB ou par AI = IB.
2
Barycentre. Applications
650
Si R = (Ω, B) est un repère cartésien de E et (xk,1 , · · · , xk,n ) les coordonnées de chaque point
Mk dans ce repère, alors celles du barycentre G sont les :
p
1 ∑
αk xk,j (1 ≤ j ≤ n)
gj = p
∑
αk k=1
k=1
En eet, on a :
(
p
∑
αk
)
( p
)
p
p
n
n
∑
∑
−→ ∑ −−→ ∑ ∑
→
→
ΩG =
xk,j −
ej =
αk ΩMk =
αk
αk xk,j −
ej
k=1
k=1
k=1
j=1
j=1
k=1
Pour l'isobarycentre ces coordonnées sont les :
1∑
xk,j (1 ≤ j ≤ n)
p k=1
p
gj =
25.2 Propriétés du barycentre
Théorème 25.2 Soient ((Mk , αk ))1≤k≤p une suite de points pondérés dans E avec
p
∑
αk ̸= 0
k=1
et G le barycentre de ((Mk , αk ))1≤k≤p .
1. Pour tout réel non nul λ, on a :
Bary ((Mk , λαk ))1≤k≤p = Bary ((Mk , αk ))1≤k≤p
(homogénéité du barycentre).
((
))
2. Pour toute permutation σ ∈ Sp , G est aussi le barycentre de Mσ(k) , ασ(k) 1≤k≤p (commutativité du barycentre).
3. Soit :
r
{1, · · · , p} =
une partition de {1, · · · , p} telle que σj =
∑
∪
Ij
j=1
αk ̸= 0 pour tout j compris entre 1 et r
k∈Ij
(en supposant que 2 ≤ r ≤ p). En désignant, pour tout j compris entre 1 et r, par Gj le
barycentre de ((Mk , αk ))k∈Ij , on a :
Bary ((Mk , αk ))1≤k≤p = Bary ((Gj , σj ))1≤j≤r
(associativité du barycentre).
Démonstration.
1. La relation
p
∑
k=1
p
∑
p
∑
−−−→
−−−→
−
→
−
→
αk GMk = 0 est équivalente à
λαk GMk = 0 pour tout λ ∈ R∗ et
k=1
αk ̸= 0 équivaut à
p
∑
k=1
k=1
λαk ̸= 0.
Propriétés du barycentre
651
2. Résulte immédiatement de la commutativité de l'addition dans R.
3. En notant σ =
p
∑
αk , on a, pour Ω ∈ E :
k=1
−→ ∑ αk −−→
ΩG =
ΩMk
σ
k=1
p
−−→ ∑ αk −−→
∀j ∈ {1, · · · , r} , ΩGj =
ΩMk
σ
j
k∈I
j
Il en résulte que :
r
r
r
∑
σj −−→ ∑ σj ∑ αk −−→ ∑∑ αk −−→
ΩGj =
ΩMk =
ΩMk
σ
σ
σ
σ
j
j=1
j=1
j=1 k∈I
k∈I
j
j
∑ αk −−→ −→
ΩMk = ΩG
σ
k=1
p
=
et le résultat annoncé.
Remarque 25.1
p
∑
αk = 1, et
L'homogénéité du barycentre permet de se ramener aux cas où
k=1
dans ce cas, on a :
−→ ∑ −−→
αk ΩMk
∀Ω ∈ E, ΩG =
p
k=1
ce que l'on peut noter G =
p
∑
αk Mk . On dit qu'on a vectorialisé E en se xant une origine
k=1
Ω.
Exemple 25.2 Si A, B sont deux points distincts de E, la droite passant par A et B est alors
l'ensemble des barycentres de ((A, 1 − β) , (B, β)) où β décrit R, ce qui signie que :
(AB) = {M ∈ E | ∃β ∈ R ; M = (1 − β) A + βB}
En eet, on a :
−−→
−−→ →
−
(M = Bary ((A, 1 − β) , (B, β))) ⇔ (1 − β) M A + β M B = 0
−−→
−→
⇔ AM = β AB ⇔ M ∈ (AB)
Exemple 25.3 Le segment d'extrémités A, B est l'ensemble des barycentres de ((A, 1 − α) , (B, α))
où α décrit [0, 1] , soit :
[AB] = {M ∈ E | ∃α ∈ [0, 1] ; M = (1 − α) A + αB}
Barycentre. Applications
652
Exemple 25.4 Si A, B, C sont trois points non alignés de E (supposé de dimension ≥ 2), le
plan (ABC) passant par A, B, C est alors l'ensemble des barycentres de ((A, 1 − (β + γ)) , (B, β) , (C, γ))
où (β, γ) décrit R2 , ce qui signie que :
{
}
(ABC) = M ∈ E | ∃ (β, γ) ∈ R2 ; M = (1 − (β + γ)) A + βB + γC
En eet, on a :
−−→
−−→
−−→ →
−
(M = Bary ((A, 1 − (β + γ)) , (B, β) , (C, γ))) ⇔ (1 − (β + γ)) M A + β M B + γ M C = 0
−−→
−→
−→
⇔ AM = β AB + γ AC ⇔ M ∈ (ABC)
Remarque 25.2 La commutativité du barycentre permet de dénir le barycentre d'une famille
nie de points pondérés ((Ai , αi ))ι∈I .
Si P est un plan ane, on rappelle qu'un triangle dans P, est un ensemble de trois points
non alignés {A, B, C} . On le note ABC et on dit que A, B, C en sont les sommets.
Dénition 25.4 Soit T = ABC un triangle. On appelle médiane de ce triangle toute droite
joignant l'un des sommets au milieu des deux autres (le milieu du coté opposé). Le centre de
gravité de T , est l'isobarycentre G des sommets.
En notant respectivement A′ , B ′ , C ′ , les milieux de [B, C] , [A, C] , [A, B] et en utilisant
l'associativité du barycentre, on voit que :
G = Bary ((A, 1) , (B, 1) , (C, 1))
= Bary ((C ′ , 2) , (C, 1)) = Bary ((A, 1) , (A′ , 2)) = Bary ((B, 1) , (B ′ , 2))
L'égalité G = Bary ((C ′ , 2) , (C, 1)) nous dit que G est sur la médiane (CC ′ ) . De manière
analogue, on voit que G est sur les deux autres médianes.
On peut donc déduire que le barycentre d'un triangle T est le point d'intersection des trois
médianes.
−−→ −→ −
−→
2 −−→
→
De plus de G = Bary ((C ′ , 2) , (C, 1)) , on déduit que 2GC ′ + GC = 0 , soit CG = CC ′ ,
3
c'est-à-dire que G est au deux tiers de chaque médiane, en partant d'un sommet.
Si E est un espace ane de dimension 3, on rappelle qu'un tétraèdre dans E, est un ensemble de quatre points non coplanaires {A1 , A2 , A3 , A4 } . On le note A1 A2 A3 A4 et on dit que
A1 , A2 , A3 , A4 en sont les sommets.
Dénition 25.5 Soit T
= A1 A2 A3 A4 un tétraèdre dans E de dimension 3. Le centre de gravité
de T , est l'isobarycentre G des sommets.
On désigne respectivement par G1 , G2 , G3 , G4 , le centre de gravité du triangle A2 A3 A4 ,
A1 A3 A4 , A1 A2 A4 , A1 A2 A3 .
Les Gk , pour k = 1, · · · , 4 sont les médianes du tétraèdre.
En utilisant l'associativité du barycentre, on voit que :
G = Bary ((A1 , 1) , (A2 , 1) , (A3 , 1) , (A4 , 1))
= Bary ((A1 , 1) , (G1 , 3)) = Bary ((A2 , 1) , (G2 , 3)) = Bary ((A3 , 1) , (G3 , 3))
= Bary ((A4 , 1) , (G4 , 3))
L'égalité G = Bary ((A1 , 1) , (G1 , 3)) nous dit que G est sur la médiane (A1 G1 ) . De manière
analogue, on voit que G est sur les trois autres médianes.
Caractérisation des sous-espaces et applications anes
653
On peut donc déduire que le barycentre d'un tétraèdre T est le point d'intersection des
quatre médianes.
En notant Ijk le milieu de [Aj , Ak ] , pour 1 ≤ i < j ≤ k, on a aussi :
G = Bary ((I12 , 2) , (I34 , 2)) = Bary ((I13 , 2) , (I24 , 2)) = Bary ((I14 , 2) , (I23 , 2))
donc G est à l'intersection des droites (I12 I34 ) , (I13 I24 ) , (I14 I23 ) .
25.3 Caractérisation des sous-espaces et applications afnes
Les barycentres peuvent être utilisés pour caractériser les sous-espaces anes de E ou les
applications anes de E dans un autre espace ane.
Théorème 25.3 Une partie non vide F de E est un sous-espace ane si, et seulement si :
∀ (A, B) ∈ F 2 , ∀α ∈ R, Bary ((A, 1 − α) , (B, α)) ∈ F
ce qui revient à dire que pour tout couple (A, B) de points distincts de F, la droite (AB) est
contenue dans F.
Démonstration. Pour (A, B) ∈ E 2 et α ∈ R, on a :
−→
Bary ((A, 1 − α) , (B, α)) = (1 − α) A + αB = A + αAB
−→ −
→
Si F est un sous-espace ane de E, on a alors AB ∈ F pour tout (A, B) ∈ F 2 et pour tout
−→
réel α, le point A + αAB est dans F.
Réciproquement supposons que (AB) ⊂ F pour tout (A,
B) ∈ F 2 avec}A ̸= B.
{−
−→
Il s'agit de montrer que pour Ω ∈ F , l'ensemble F = ΩM | M ∈ F est un sous-espace
−
→
vectoriel de E .
−
→ −→
Le vecteur nul
0 = ΩΩ est dans F.
−
−
→
−−→
→
→
Soient −
u = ΩM , −
v = ΩN dans F avec M, N dans F et λ, µ dans R.
On a :
−−→
P = Ω + λΩM = Bary ((Ω, 1 − λ) , (M, λ)) ∈ F
−−→
Q = Ω + µΩN = Bary ((Ω, 1 − µ) , (N, µ)) ∈ F
((
) (
))
1
1
1 (−→ −→)
ΩP + ΩQ = Bary
P,
, Q,
∈F
R=Ω+
2
2
2
−→ −→ −
−→ 1 (−→ −→)
→
ΩP + ΩQ ⇔ RP + RQ = 0 ) et :
(on a ΩR =
2
−−→
−−→
−→ −→
S = Ω + λΩM + µΩN = Ω + ΩP + ΩQ = Bary ((Ω, −1) , (R, 2)) ∈ F
−→
−−→ −→
−−→
−→ −→ −→
−→
−→
−→ −
→
(on a ΩP = λΩM , ΩQ = µΩN , donc ΩS = ΩP + ΩQ = 2ΩR, donc −SΩ + 2SR = 0 ), ce qui
−−→
−−→ −→
signie que λΩM + µΩN = ΩS ∈ F.
Théorème 25.4 Les sous-espaces anes de
E sont les parties stables par barycentrisation
. Précisément une partie non vide F de E est un sous-espace ane si, et seulement si, pour
toute famille ((Mk , αk ))1≤k≤p de points pondérés de F avec
Bary ((Mk , αk ))1≤k≤p est dans F.
p
∑
k=1
αk ̸= 0, le barycentre G =
Barycentre. Applications
654
Démonstration. Supposons que F soit un sous-espace ane de E et soit ((Mk , αk ))1≤k≤p
p
∑
αk ̸= 0 avec p ≥ 2 (pour p = 1, c'est trivial). En
une famille de points pondérés de F avec
k=1
notant G le barycentre de cette famille, l'égalité :
−−−→
M1 G =
1 ∑ −−−−→
αk M1 Mk
p
∑
αk k=2
p
k=1
−−−→
−
→
−−−→
nous dit que M1 G ∈ F et donc G = M1 + M1 G ∈ F.
Réciproquement, soit F une partie non vide de E stable{par barycentrisation
.
}
−−→
Il s'agit de montrer que pour Ω ∈ F , l'ensemble F = ΩM | M ∈ F est un sous-espace
−
→
vectoriel de E .
−
→ −→
Le vecteur nul 0 = ΩΩ est dans F.
Pour M, N dans F et λ, µ dans R, le point P déni par :
−→
−−→
−−→
ΩP = λΩM + µΩN
est aussi déni par :
−→
−−→
−−→ →
−
P Ω + λΩM + µΩN = 0
ce qui revient à dire que :
P = Bary ((Ω, 1 − (λ + µ)) , (M, λ) , (N, µ)) ∈ F
−−→
−−→
−→
On a donc λΩM + µΩN = ΩP ∈ F.
Théorème 25.5 Soit X une partie non vide de E. L'espace ane F engendré par X est
l'ensemble de tous les barycentres de G = Bary ((Ak , αk ))1≤k≤p où p ≥ 1, les Ak sont des points
de X et les αk sont des réels tels que
p
∑
αk ̸= 0.
k=1
Théorème 25.6 Soient
E ′ un espace ane de dimension nie et φ une application de E
dans E . L'application φ est ane si, et seulement si, pour toute famille ((Mk , αk ))1≤k≤p de
points pondérés de E, le barycentre de ((φ (Mk ) , αk ))1≤k≤p est φ (G) , où G est le barycentre de
((Mk , αk ))1≤k≤p .
′
25.4 Coordonnées barycentriques
(−−−→)
On se donne un repère ane R = (Ak )0≤k≤n de E (i. e. A0 Ak
Théorème 25.7 Pour tout point M
Rn+1 tel que :
1≤k≤n
est une base de E.
∈ E, il existe un unique (n + 1)-uplet (λ0 , · · · , λn ) dans
n
∑
{
}
M = Bary {(Ak , λk )}0≤k≤n et
λk = 1
k=0
Dénition 25.6 Avec les hypothèses et notations du théorème précédent, on appelle coordonnées barycentriques de M dans le repère R, tout n-uplet (γλ1 , · · · , γλn ) , où γ est un réel non
nul.
Ensembles convexes
655
L'application M 7→ (λ0 , · · · , λn ) est une bijection de E sur Rn+1 .
Exemple 25.5 Soient
A, B, C trois points non alignés du plan ane euclidien tels que le
[
triangle T = ABC soit non rectangle. En notant a = BC, b = AC, c = AB, Ab = BAC,
b = ABC
b = ACB,
[ et C
[ les coordonnées barycentriques dans le repère ane R = (A, B, C)
B
du centre de gravité G, de l'orthocentre H, du centre I du cercle inscrit, du centre O du cercle
circonscrit et des centres IA , IB , IC des cercles exinscrits sont respectivement :
G (1,
du triangle ABC est l'isobarycentre de {A, B, C} ;
( 1, 1)
( (le
) centre
( de
) gravité
( ))
b
b
b
H tan A , tan B , tan C ;
I (a,
( b, c)
(; )
( )
( )
( )
( )
( ))
O tan Bb + tan Cb , tan Ab + tan Cb , tan Ab + tan Bb ;
IA (−a, b, c) , IB (a, −b, c) , IC (a, b, −c) .
Exercice 25.1 Soit (Mj )0≤j≤n une famille de n + 1 points de E. Pour j compris entre 0 et n,
on note (xij )0≤i≤n les coordonnées barycentriques de Mj dans R et P = ((xij ))0≤i,j≤n .
1. Montrer que la famille (Mk )0≤k≤n est anement liée si, et seulement si, det (P ) = 0.
2. On suppose que n = 2 et A, A′ sont deux points distincts de E de coordonnées barycentriques dans R : A (a, b, c) et A′ (a′ , b′ , c′ ) . Montrer qu'un point M ∈ E de coordonnées
barycentriques (x, y, z) dans R est sur la droite (AB) si, et seulement si :
a a′ x b b′ y = 0
c c′ z 3. Montrer le théorème de Ménélaüss : si ABC est un vrai triangle, A′ , B ′ , C ′ des points de
(BC) , (AC) et (AB) respectivement, distincts des sommets, alors les points A′ B ′ , C ′ sont
aligné si, et seulement si,
A′ B B ′ C C ′ A
= 1.
A′ C B ′ A C ′ B
25.5 Ensembles convexes
Dénition 25.7 On dit qu'une partie non vide C de E est convexe, si pour tout couple (A, B)
de points de E, le segment [A, B] est contenu dans E.
Théorème 25.8 Soit C une partie non vide de E. Cet ensemble C est convexe si, et seulement
si, pour toute famille {(Mk , αk )}1≤k≤p de points pondérés de E, où les αk sont des réels positifs
ou nuls tels que
p
∑
{
}
αk = 1, le barycentre Bary {(Ak , αk )}0≤k≤n est dans C.
k=1
Remarque 25.3 On vérie facilement qu'une intersection de parties convexes de E est convexe.
Remarque 25.4 L'adhérence et l'intérieur d'un convexe sont convexe.
De la conservation des barycentres par les applications anes, on déduit le résultat suivant.
Théorème 25.9 Soient E ′ un espace ane de dimension nie et φ une application de E dans
E ′.
Pour tout convexe C dans E [resp. C ′ dans E ′ ] l'image directe [resp. l'image réciproque] de C
[resp. de C ′ ] par φ est un convexe de E ′ [resp. de E ].
Barycentre. Applications
656
25.6 Polyèdres convexes
Si φ est une forme ane non nulle sur E, alors l'hyperplan ane :
H = φ−1 {0} = {M ∈ E | φ (M ) = 0}
est convexe dans E comme image réciproque du convexe {0} de R par l'application ane φ.
Les ensembles H + = φ−1 (R+ ) et H − = φ−1 (R− ) [resp. H +,∗ = φ−1 (R∗,+ ) et H −,∗ =
φ−1 (R∗,− )] sont également convexes et on dit que ce sont les demi espaces fermés [resp. ouverts]
limités par H.
Remarque 25.5 Comme on est en dimension nie, l'application ane φ est continue et les
demi-espaces H + et H − [resp. H +,∗ et H −,∗ ] sont biens bien des fermés [resp. ouverts] de E.
Dénition 25.8 On appelle polyèdre dans E, une partie bornée de E qui peut s'écrire comme
intersection d'un nombre ni de demi-espaces fermés de E.
Dans le cas où E est un plan ane, on retrouve la notion de polygone.
Un polyèdre est fermé et convexe comme intersection d'ensembles fermés et convexes. Étant
fermé et borné, il est compact dans E qui est de dimension nie.
Exemple 25.6 Dans Rn l'ensemble :
{
P =
(
x∈ R
)
+ n
| ∥x∥1 =
n
∑
}
xi = 1
i=1
est un polyèdre convexe.
25.7 Enveloppe convexe, théorème de Carathéodory
Dénition 25.9 Si X est une partie de E, on appelle enveloppe convexe de X, l'intersection
de tous les convexes de E qui contiennent X.
On note Cv (X) l'enveloppe convexe de X. C'est le plus petit convexe de E qui contient X.
Une dénition équivalente de la notion d'enveloppe convexe est donnée par le résultat suivant.
Théorème 25.10 Si X est une partie non vide de E, alors l'enveloppe convexe de X est l'en-
semble des barycentres de points de X aectés de coecients positifs, soit :
{
Cv (X) =
}
p
{
}
∑
Bary {(Ak , αk )}0≤k≤p | Ak ∈ X, αk ≥ 0,
αk = 1
k=1
De manière plus précise, en dimension nie, on a le résultat suivant.
Théorème 25.11 (Carathéodory) Si X est une partie non vide de E (de dimension n ≥ 1),
alors tout élément de l'enveloppe convexe de X est barycentre à coecients positifs d'au plus
n + 1 points de X.
Corollaire 25.1 L'enveloppe convexe d'un compact de E est compacte.
Corollaire 25.2 L'enveloppe convexe d'une partie bornée de E est bornée.
Le théorème de Krein-Milman
657
Exercice 25.2 L'enveloppe convexe d'un fermé de E est-elle fermée ?
Exercice 25.3 Soient P un polynôme complexe non constant de degré n et P ′ son polynôme
dérivé.
1. Montrer que l'ensemble des racines de P ′ est contenu dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines de P (théorème de Gauss-Lucas).
2. Montrer que si les racines de P sont toutes contenues dans un disque centré en 0 et de
rayon R > 0, alors il en est de même des racines de P ′ .
25.8 Le théorème de Krein-Milman
◦
Si X est une partie non vide de E, on dénit sa frontière par Fr (X) = X \ X. Dans le cas
◦
où X est fermé, cette frontière est Fr (X) = X \ X.
Dénition 25.10 Soit C un convexe dans E non vide et distinct de E. On dit qu'un hyperplan
ane H est un hyperplan d'appui de C si H ∩ C est non vide et C est contenu dans l'un des
demi-espaces fermés limités par H.
Lemme 25.1 Soit C un convexe dans E non vide et distinct de E. Si H est un hyperplan
d'appui de C, alors tout point de H ∩ C est un point frontière de C.
Exemple 25.7 Soit C =
p
∩
Hi+ un polyèdre convexe dans E, avec :
i=1
Hi+ = {M ∈ E | φi (M ) ≥ 0} (1 ≤ i ≤ p) ,
où les φi sont des formes anes non nulles sur E et les αi des réels.
Si M ∈ C est tel que φi (M ) > 0 pour tout i compris entre 1 et p, avec la continuité des
applications φi , on déduit alors qu'il existe un réel ε > 0 tel que la boule ouverte B (M, ε) de
centre M et de rayon ε soit contenue dans C =
p
∩
Hi+ et en conséquence M est dans l'intérieur
i=1
de C, donc M ∈
/ Fr (C) .
On a donc ainsi montré que pour tout M ∈ Fr (C) , il existe un indice i compris entre 1 et p
tel que φi (M ) = 0 et Hi est un hyperplan d'appui de C qui contient M. C'est-à-dire que tout
point de la frontière de C est contenu dans un hyperplan d'appui.
En fait ce résultat est valable pour tout convexe fermé dans E.
Lemme 25.2 Si C est un convexe fermé dans E non vide et distinct de E, alors tout point de
la frontière de C est contenu dans un hyperplan d'appui de C.
Par analogie à la notion de sommet d'un polygone dans R2 , on dénit de manière plus
générale les sommets, ou points extrémaux, d'un convexe de la manière suivante.
Dénition 25.11 Soit C un convexe non vide de E. On dit qu'un point M de C est un point
extrémal si tout segment dans C qui contient M admet ce point pour extrémité.
Dire que M dans le convexe C est extrémal équivaut à dire que si M ∈ [A, B] avec A, B
dans C, alors M = A ou M = B, encore équivalent à dire que si M = (1 − λ) A + λB avec
A, B dans C et 0 < λ < 1, alors M = A = B.
Une dénition équivalente de point extrémal d'un convexe est donnée par le résultat suivant.
Barycentre. Applications
658
Lemme 25.3 Soit C un convexe non vide de E. Un point M de C est extrémal si et seulement
si C \ {M } est convexe.
Exercice 25.4 Montrer que les points extrémaux du convexe de Rn :
{
P =
(
x∈ R
)
+ n
| ∥x∥1 =
n
∑
}
xi = 1
i=1
sont les vecteurs e1 , · · · , en de la base canonique.
De manière plus générale, on a le résultat suivant.
Lemme 25.4 Un convexe compact non vide de E a des points extrémaux.
Théorème 25.12 (Krein-Milman) Tout compact convexe dans E est l'enveloppe convexe de
ses points extrémaux.