Le Son et la Thermodynamique

Le Son et la Thermodynamique
Qu’est-ce-qu’une onde sonore ?
Une onde sonore correspond à une déformation du milieu matériel, c’est une succession
de zones de compression et de raréfaction. On supposera par la suite que le milieu de
propagation est un fluide parfait compressible.
Propagation d’une onde sonore
On utilise l’équation de conservation de la masse ainsi que l’équation d’Euler dans
l’approximation de perturbations de faible amplitude (on néglige les termes non-linéaires) :
∂ρ
+ divρv = 0 ,
(1)
∂t
→
∂−
v
→
ρ
= −−
OP .
(2)
∂t
On introduit une notation où les quantités sont notées sous la forme X = X0 + X 0 , les
quantités primées représantant les variations par rapport aux valeurs de référence indexées
0. En introduisant cette notation dans l’équation [2] et en négligeant tous les termes d’ordre
supérieur à 2 on obtient :
→
−
∂ v0
→
ρ0
= −−
OP0 .
(3)
∂t
→
−
−−→
On pose v 0 = gradφ que l’on injecte dans la relation précédente et on intégre par
rapport à la position pour arriver à la relation :
P 0 = −ρ0
∂φ
.
∂t
(4)
Dans l’hypothèse où la transformation est isentropique on a la relation suivante entre
la variation de pression et la variation de densité :
∂P
0
ρ0 .
(5)
P =
∂ρ0 S
En utilisant [4] et [5] dans l’équation [1], on aboutit à une relation de propagation
d’onde sous la forme :
∂2Φ
1 ∂2Φ
−
=0,
(6)
∂x2
c2 ∂t2
en posant pour c qui représente la vitesse du son :
s
∂P
c=
.
(7)
∂ρ S
Cette équation admet comme solution des ondes dites longitudinales de la forme
φ ∝ ei(ωt±kx) , c’est-à-dire pour lesquelles le vecteur d’onde et colinéaire à la vitesse des
particules. Cette solution satisfait à la relation de dispersion suivante : ω 2 = c2 k 2 .
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Propagation dans un gaz parfait - Cas adiabatique
Dans le cas adiabatique, l’équation d’état est donnée par : P V γ = cte, et en utilisant
l’équation des gaz parfaits cela implique que la vitesse du son prend la forme :
s
RT
,
(8)
c= γ
µ
avec R, T , µ respectivement la constante des gaz parfaits, la température et le poids
moléculaire moyen.
Application numérique : avec γ = 1, 4 ; µ = 0, 29 kg, T0 = 300 K alors c = 347 m/s .
On peut remarquer que cette vitesse correspond à la vitesse quadratique moyenne
donnée par la théorie cinétique des gaz. Cela parait cohérent puisque ce sont les particules
du milieu qui sont le vecteur de l’information sur la perturbation.
Propagation dans un gaz parfait - Cas isotherme
Dans le cas isotherme, l’équation d’état est donnée par : P V = cte, de même en
utilisant l’équation des gaz parfaits, on obtient comme expression de la vitesse du son :
s
RT
c=
.
(9)
µ
√
On remarquera que l’expression de la vitesse diffère du cas adiabatique par un facteur
γ.
Distinction des cas isotherme - adiabatique
Lorsque le gaz se comprime on intuite qu’il va s’échauffer, alors que lorsqu’il se raréfit
il va refroidir. L’hypothèse d’adiabadicité est justifiée si la transformation est assez rapide pour qu’il n’y ait pas d’échange de chaleur ; au contraire si la transformation se fait
sur des temps relativement longs, le système a le temps de se thermaliser et l’hypothèse
isotherme est dans ce cas validée. Pour discriminer ces deux cas on introduit la longueur
caractéristique de la perturbation λ = 2πvs /ω, ainsi que la longueur caractéristique sur
laquelle la chaleur pénétre pendant un temps T : δ 2 ∝ T ∝ 1/ω. Le graph ci-dessous
représente le logarithme de ces grandeurs en fonction du logarithme de ω. Lorsque λ < δ,
le système a le temps de se thermaliser donc on se trouve dans le cas isotherme, dans le
cas contraire le système est considéré comme adiabatique.
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