Fonctions / 1ère année / version 2014-2015

Transcription

FONCTIONS
1ère année
3.1 Généralités sur les fonctions
1
3.1.1 Ensembles numériques et intervalles
1
3.1.2 Définition d'une fonction f
3
3.1.3 Ce qu’il faut absolument savoir
11
3.1.4 Questionnaire à choix multiples
11
3.2 Fonctions particulières
12
3.2.1 Fonctions polynomiales de degré 0
12
13
21
3.2.4 Fonction inverse
35
3.2.5 Fonction racine carrée
39
42
42
3.3 Solutions des exercices
Picchione Serge
43
2014-2015
AVANT-PROPOS
• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de
Genève en première année ; le sujet central est le concept de fonction.
Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement.
• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.)
et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les
diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des
exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations.
• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de
développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).
• Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré
blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.
• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez
vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix
multiples ».
• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :
http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione
• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé
leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio
Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.
BON TRAVAIL !
Picchione Serge
2014-2015
3.1 Généralités sur les fonctions
3.1.1 Ensembles numériques et intervalles
Définitions
` = {0;1;2;3;4;......} = ensemble des entiers naturels.
] = {.......; −5; −4; −3; −2; −1;0;1;2;3;4;......} = ensemble des entiers relatifs.
⎧a
⎫
_ = ⎨ tel que a,b ∈ ] avec b ≠ 0 ⎬ = ensemble des nombres rationnels.
⎩b
⎭
\ = ensemble des nombres réels.
\* = \ \ {0}
\ − = { x tel que x ∈ \ et x ≤ 0 }
\ + = { x tel que x ∈ \ et x ≥ 0 }
2
1
; = 0,3 ; π ;
1
3
Exemples
−2 = −
Inclusions
`⊂]⊂_⊂\
3
2 ;
3 ∈\
`
Représentation graphique de R
-1
Définition
Exemples
0
1
2
]
_
\
R
Un intervalle de \ est une partie de \ qui n'a pas de « trou ».
[0;1] , ]−2; 5] , [−1; +∞[ sont des intervalles.
On distingue 8 types d'intervalles. Dans la représentation graphique, l'intervalle est représenté
par la partie hachurée de la droite réelle. Le sens d'un crochet indique si a ou b appartient
à l'intervalle, ou non. Soit a, b ∈ R et a < b.
Intervalle :
nom et notation
Représentation
graphique
Description : ensemble
des nombres x tels que :
Intervalle fermé
(borné) [a;b]
[
a
]
b
a≤x≤b
Intervalle ouvert
(borné) ]a;b[
]
a
[
b
a<x<b
Intervalle semi-ouvert
à droite (borné) [a;b[
[
a
[
b
a≤x<b
Intervalle semi-ouvert
à gauche (borné) ]a;b]
]
a
]
b
a<x≤ b
Intervalle non borné
(demi-droite) ]a;+∞[
]
a
x>a
(demi-droite) [a;+∞[
[
a
x≥ a
(demi-droite) ]−∞;a[
[
a
x<a
(demi-droite) ]−∞;a]
]
a
x≤a
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1
Fonctions / Généralités sur les fonctions / 1 N-A
Remarque
On peut décrire les ensembles suivant à l'aide d'intervalles :
\ = ensemble des nombres réels = ]−∞;+ ∞[
\* = \ \ {0} = ]−∞ ;0[ ∪ ]0 ; +∞[
\ − = { x tel que x ∈ \ et x ≤ 0 } = ]−∞;0 ]
\ + = { x tel que x ∈ \ et x ≥ 0 } = [0; +∞[
\* − = { x tel que x ∈ \ et x < 0 } = ]−∞;0[
\* + = { x tel que x ∈ \ et x > 0 } = ]0; +∞[
\ \ {a} = ]−∞ ; a[ ∪ ]a ; +∞[ (tous les nombres réels sauf le nombre a)
Exercice 1
Recopier puis compléter les lignes du tableau suivant :
Intervalle :
nom et notation
1)
x ∈ ]−3;4[
2)
⎤2
⎤
x ∈ ⎥ ; 1.5 ⎥
⎦3
⎦
Représentation
graphique
x ≥ -3
3)
4)
x ∈ ]−∞ ;4 ]
5)
x ∈ ]−3; + ∞[
]
6)
7)
-4
x ∈ [ −2 ;2]
]
8)
0
-3 < x < 3
9)
10)
x ∈ ]−4;+∞[
11)
x ∈ ]3;4[ ∪ [ 5 ;6 ]
12)
13)
Description : ensemble
des nombres x tels que
[
[
0
1
0≤x<1
x ∈ ]−∞ ;4[ ∪ ]4 ; + ∞[
Exercice 2
Justifier vos réponses
a) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle [0;1] ?
b) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle ]0;1[ ?
c) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle [-1;1] ?
d) Combien y a-t-il de nombres entiers relatifs, rationnels et réels dans l'intervalle ]-1;1[ ?
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P.S. / 2014-2015
2
3.1.2 Définition d'une fonction f
Définition
Une fonction f est définie par :
A
1) Un ensemble A appelé ensemble de départ.
x1
2) Un ensemble B appelé ensemble d'arrivée.
x2
3) Une règle de correspondance, qui à chaque élément de
l'ensemble de départ x ∈A fait correspondre
zéro (aucun) ou un élément de l'ensemble d'arrivée y ∈ B.
x3
x4
f
•
B
• y1
• y2
• y3
• y4
Remarques
a) On désigne souvent une fonction par les lettres f, g ou h.
b) Nous étudierons surtout les fonctions réelles, c'est-à-dire les fonctions dont l'ensemble
de départ et l'ensemble d'arrivée sont des sous-ensembles des nombres réels \ .
Exemple
f :\ → \
x → x 2 + 5x + 6 = f (x)
f est une fonction de \ dans \ . C'est une fonction réelle.
• L'image de -4 est f ( −4 ) = ( −4 ) + 5 ⋅ ( −4 ) + 6 = 2
2
• L'ensemble des préimages de 2 est f −1 ( 2 ) = {−4; − 1} , car f ( −4 ) = 2 et f ( −1) = 2
Ce sont les solutions de l'équation : f(x)= x 2 + 5x + 6 = 2
• Le domaine de définition de f est D f = \
• L'ordonnée à l'origine de f est f ( 0 ) = 6
• Les zéros de f est l'ensemble f −1 ( 0 ) = {−3; −2} car f ( −2 ) = 0 et f ( −3 ) = 0
Ce sont les solutions de l'équation : f(x)= x 2 + 5x + 6 = 0
• Le graphique de f sur l'intervalle [−7;5] est :
y
8
Tableau
des valeurs :
f
7
6•
x
f(x)
-5
6
-4
2
-3
0
3
-2
0
2
-1
2
1
0
6
1
12
5
4
-7
-6
-5
-4
•
-3
•
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
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Définitions
• Si un nombre x ∈ A est en correspondance avec un nombre y ∈ B, alors :
- y est appelé image de x par f et on note y = f(x)
(x possède au plus une image)
- x est appelé préimage de y par f et on note f -1(y)={x,…} (y peut posséder zéro,
une ou plusieurs préimages)
f :A → B
x → f (x)= y
préimage
On parle d'une fonction f de A dans B.
image
• Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction f est l'ensemble
des nombres appartenant à \ qui ont une image par f. Cet ensemble est noté Df .
• L'ordonnée à l'origine d'une fonction réelle f est l'image de 0. Elle se note : f (0)
• Les zéros d'une fonction réelle f est l'ensemble des préimages de 0. Elle se note : f -1(0)
Autrement dit, c'est l'ensemble des nombres x ayant 0 (= y) comme image.
• Le graphique de f est la représentation géométrique des couples de coordonnées ( x; f ( x ) )
où x ∈ D f .
Remarque
La notion de fonction est fondamentale en mathématiques. La compréhension de cette notion et
des concepts qui s’y rattachent permet de décrire les relations entre grandeurs et prend de ce fait
une place centrale lors de l’étude de la physique, de l’économie, de la médecine, etc.
Un peu d’histoire
La notion de fonction est très récente dans l’histoire des mathématiques. Le Discours de la méthode
de Descartes (1596-1650), paru en 1637, est l’un des premiers ouvrages à développer l’idée des
coordonnées d’un point du plan, et établit ainsi pour la première fois le lien entre géométrie et
algèbre. La notion d’équation de courbe apparaît plus ou moins au même moment : Fermat
(1601-1665) interprète une équation à deux inconnues x et y comme l’expression algébrique d’une
courbe du plan. Il exprime ainsi l’idée novatrice qu’une courbe est le « résultat » d’une équation.
La notation f n’apparaît qu’au 18ème siècle, introduite par Lagrange (1736-1813).
René Descartes
(1596-1650)
Pierre de Fermat
(1601-1665)
Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813)
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4
Exercice 3
Soit f et g deux fonctions de A dans B. Recopier puis compléter avec des flèches :
A
-2
2
f : A→ B
a)
3
x → x3 = y
5
B
f
•
•
•
•
A
•125
•8
• -8
• 27
B
g
•
4 •
2 •
16 •
• 2
•4
•2
•5
-2
b)
g : A→ B
x → x=y
Exercice 4
Voici quatre fonctions
g( x ) = x 2 -1
f(x)= x + 5
h( x ) = −2,5x
i( x ) =
12 − x
2
et voici quatre tableaux de valeurs, chacun associé à l'une d'entre elles :
x
-3
7,5
x
x
x
-3
-3
-3
-2
-2
-2
-2
-1
-1
0
0
1
2
3
5
3
-1
5
2,5
-1
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
0
a) Recopier puis compléter les tableaux de valeurs (trouver les images !).
b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement ces
fonctions sur l'intervalle [ −10;10 ] dans le même repère orthonormé.
Rappel : Un repère orthonormé est constitué de deux axes, gradués avec la même unité,
perpendiculaires et ayant la même origine O.
Remarques: Lorsque l'on représente le graphique d'une fonction :
• on utilise une feuille A4 quadrillée.
• on choisit une graduation et une échelle adaptée à la représentation de la fonction.
• on indique le nom de la fonction, son expression et plusieurs couples ( x; f ( x ) ) .
c) Déterminer graphiquement les zéros et l'ordonnée à l'origine de chaque fonction.
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5
Exercice 5
Le tableau suivant présente deux façons d'écrire ou d'exprimer des fonctions.
Recopiez puis complétez-le.
Fonction donnée par :
un lien verbal
une expression algébrique
« doubler puis ajouter 5 »
(1)
z → f ( z ) = 2 ⋅ ( z - 5)
(2)
(3)
« élever au carré » , puis « ajouter un »
y → f ( y ) = ( y +1)
(4)
(5)
2
« prendre le triple », puis « ajouter 10 »,
puis « multiplier par −3 »
x → f(x)=
(6)
−3 ( x − 4 )
7
Exercice 6
Compléter les phrases suivantes avec les mots suivants :
un zéro, coordonnée, l’ordonnée à l’origine, abscisse, ordonnée, l’image, une préimage.
y
a) 3 est la première ............................ du point A.
b) 4 est la deuxième .......................... du point A.
c) 2 est l’................................du point B.
B
•
d) −4 est l’............................ du point B.
e) 5 est ............................... de -4 par f.
f) −4 est ............................ de 5 par f.
g) −2 est .....................................de f.
A
•
4
•
-7
-4
2
0
•-2
-4
x
5
3
•
f
h) −7 est .................................... de f.
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Exercice 7
a) Sur un repère orthonormé, placer les ensembles de points suivants :
1) L'ensemble A de tous les points dont l'ordonnée vaut -5.
2) L'ensemble B de tous les points dont l'abscisse vaut 3.
3) L'ensemble C de tous les points dont les deux coordonnées sont égales.
4) L'ensemble D de tous les points dont les deux coordonnées sont égales au signe près
(c’est-à-dire : si l'une est positive, l'autre est négative, mais avec la même valeur).
5) L'ensemble E de tous les points dont la première coordonnée est le double de la deuxième.
6) L'ensemble F de tous les points dont la deuxième coordonnée vaut 3 de plus que la première.
7) L'ensemble G de tous les points dont la deuxième coordonnée vaut le cube de la première.
b) Traduire les énoncés ci-dessus par une expression algébrique.
(exemple : " L'ensemble de tous les points dont la première coordonnée est le triple de la deuxième " s'écrira x = 3y)
c) Lesquelles de ces expressions définissent une fonction ? Justifier.
Exercice 8
Justifiez vos réponses !
1) Les "écritures" suivantes : f ( x ) = 2x + 1 et f ( u ) = 2u + 1 désignent-elles les mêmes fonctions ?
2) Soit g( x ) = {− x ; x} . g est-elle une fonction ?
y
⎧ 1 si x ≥ 0
3) Soit h( x ) = ⎨
. h est-elle une fonction ?
⎩ − 1 si x < 0
x
4) Une ellipse est-elle le graphique d’une fonction ?
5) Les écritures suivantes désignent-elles des fonctions ?
6) Soit k( x ) =
1
. k est-elle une fonction ?
x
x + 1 ; x + 1 = 0 ; j( x ) = x + 1
A
m
x1
7) m est-elle une fonction ?
x2
•
B
• y1
• y2
• y3
• y4
x3
x4
Exercice 9
Soit f ( x ) = x 2 − 5x + 4 et g ( x ) = 3x + 1 deux fonctions réelles.
Calculer et simplifier :
1) f ( a )
2) f ( − x )
3) − f ( x )
4) − f ( − x )
5) f ( x + 3 )
6) f ( x ) + 3
7) 3 ⋅ f ( x )
8) f ( 3x )
9) 4 ⋅ f ( x + 3 ) + 5
10) f(♥)
11) f ( x ) + g ( x )
12) f ( g ( x ) )
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7
Exercice 10
Soient f et g deux fonctions définies par leurs graphiques.
y
7
f
6
g
5
4
3
2
1
-2 -1
1
2
3
4
5
6
7
x
8
-1
-2
Lire sur le graphique de f et de g, les images et les ensembles des préimages suivants :
a)
f(1) =
f(3) =
f(4) =
g(2) =
g(10) =
b)
f -1(−1) =
f -1(2) =
f -1(5) =
g -1(0) =
g -1(8) =
Exercice 11
Considérons la fonction f définie par l'expression : f ( x ) = 5x − 2
1) Calculer l'image de 1 par f.
4) Y a-t-il des préimages de −2 par f ?
2) Y a-t-il une préimage de 2 par f ?
5) Calculer f(3) et f -1(3).
3) Quelle est la valeur de f en 1 ?
6) Calculer f -1(-2).
7) Lequel de ces graphiques, correspond à la fonction f ? Justifier.
a)
b)
y
y
-2
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-1
1
2
3
4
5
6
x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
2
3
4
x
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8
Exercice 12
Le tableau ci-dessous représente la température T (en degré Celcius) sur la plage de Farniente,
mesurée toutes les heures t de 8 h du matin à 18 h l’après-midi.
temps t
(en heures)
Température T
(en degré Celsius)
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
−5
0
3
12
18
20
15
13
15
17
14
a) Représenter graphiquement la fonction f qui à chaque heure t fait correspondre la
température T c'est-à-dire T = f(t).
b) Donner les valeurs f ( 11) et f (12 ) .
Donner une estimation de f (11.5 ) .
c) À quelle heure la température est-elle maximale ? Quelle est la température maximale ?
d) Donner toutes les valeurs de t telle que f ( t ) = 15 .
Exercice 13
Voici le graphique d’une fonction f décrivant les températures en Celsius de 0 h du matin
à 24 h dans la ville du père Noël :
T
15
10
5
5
10
15
20
25
t
-5
- 10
- 15
a) A quels moments la température a-t-elle été nulle ?
b) Donner les périodes (intervalles) où la température a été positive, négative.
c) Donner les périodes (intervalles) où la température a été croissante, décroissante.
d) A quelle heure la température est-elle maximale ? Quelle est la température maximale ?
e) A quelle heure la température est-elle minimale ? Quelle est la température minimale ?
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P.S. / 2014-2015
9
Exercice 14
a) Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes ?
f(x)=
1
x−2
g( x ) =
3
x+3
h( x ) =
3
x +3
j( x ) =
2
3
x −3
2
b) Que peut-on remarquer ?
c) Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes ?
f(x)= x
g( x ) = − x
h( x ) = − x
j( x ) = x 2 + 1
d) Que peut-on remarquer ?
e) ] est-il le domaine de définition de la fonction k( x ) = 3x + 2 ? Justifier.
Exercice 15
Soient f et g deux fonctions définies par les expressions : f (x)= − 3x − 3
et g( x ) = − x 2 + 3x
a) Déterminer le domaine de définition de ces fonctions.
b) Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine de ces fonctions.
c) Lequel de ces graphiques, correspond à la fonction f ? et à la fonction g ? Justifier votre réponse.
d) Lequel de ces graphiques, ne décrit pas une fonction ? Justifier votre réponse.
2)
1)
y
y
15
4
3
2
1
10
5
- 15 - 10 - 5
5
10
15
x
-2 -1
-1
-5
5 6
x
4)
y
3
3
2
2
1
1
-1
4
-4
y
-2
3
-3
- 15
-3
2
-2
- 10
3)
1
1
2
3
x
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
2
3
x
Vrai ou faux ? Justifier par des calculs.
e) A ( 10; −33 ) est un point du graphique de f.
f) B ( 5; −20 ) est un point du graphique de g.
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10
1♥ Connaître les ensembles numériques et la notation avec les intervalles
ok
2♥ Connaître la définition rigoureuse d’une fonction f
ok
3♥ Connaître la définition rigoureuse d’une image et d’une préimage de f
ok
4♥ Connaître la définition rigoureuse du domaine de définition de f
ok
5♥ Connaître la définition rigoureuse de l’ordonnée à l’origine et des zéros de f
ok
6♥ Connaître la définition rigoureuse du graphique de f
ok
7♥ Lire une image et une préimage à partir du graphique d’une fonction
ok
8♥ Dessiner le graphique d’une fonction d’après un tableau de valeurs
ok
9♥ Trouver le domaine de définition d’une fonction
ok
Soit f une fonction réelle.
Vrai Faux
1♣ Une préimage possède au moins une image par f.
2♣ Une image possède exactement une préimage par f.
3♣ Si f(x) = f(y) alors x = y.
4♣ Une préimage possède au plus une image par f.
5♣ Si f(5) = 2 alors 2 est l'image et f(5) est la préimage.
6♣ Si f -1(-2) = {3} alors -2 est l'image et 3 est la préimage.
7♣ Le domaine de définition de la fonction f(x) = 1/x est \ .
8♣ Le domaine de définition de la fonction f(x) = x2 est \ .
9♣ Le synonyme du mot « fonction » est : « graphique »
10♣ Le graphique d'une fonction f c'est la représentation géométrique de tous les
couple de la forme (x;y) avec x, y ∈ \ .
couple de la forme (x;f(x)) avec x ∈ Df .
Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 3.3 avec les solutions des exercices.
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P.S. / 2014-2015
11
3.2 Fonctions particulières
Définition
Une fonction polynomiale de degré 0 est une fonction du type :
f:
→
x → a = f(x)
où a est une constante réelle quelconque ( a ∈
)
Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 0 : f ( x ) = a = a ⋅ 1 = a ⋅ x 0
Une telle fonction est dite aussi fonction constante. L'image ne dépend pas de la préimage.
Exemples
La fonction f définie par f ( x ) = 2 est une fonction de degré 0. ( a = 2 )
La fonction g définie par g ( x ) = −3 est une fonction de degré 0. ( a = −3 )
y
4
3
f
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
-2
5
6
x
g
-3
-4
Étude d'une fonction constante
1) Le domaine de définition d’une fonction constante est
.
2) Le graphique d'une fonction constante est une droite horizontale.
3) Une fonction constante ne possède pas de zéros sauf si a = 0 (il y en a alors une infinité !)
4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction constante est a . En effet : f(0) = a.
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P.S. / 2014-2015
12
Fonctions / Fonctions particulières / 1 N-A
Définition
f:
→
x → ax + b = f ( x )
où a ≠ 0 et b sont deux constantes réelles quelconques ( a,b ∈
)
Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 1.
Exemple La fonction f définie par f ( x ) = 2x + 1 est une fonction de degré 1. ( a = 2 ; b = 1 )
Étude d'une fonction de degré 1
1) Le domaine de définition d’une fonction de degré 1 est
.
2) Le graphique d'une fonction de degré 1 est une droite oblique (ni horizontale, ni verticale).
b
3) Le zéro d'une fonction de degré 1 existe, il est unique et vaut − .
a
b
⎧ b⎫
donc f −1 ( 0 ) = ⎨ − ⎬
En effet : f ( x ) = ax + b = 0 ⇔ x = −
a
⎩ a⎭
4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction de degré 1 est b . En effet : f (0 ) = a ⋅ 0 + b = b .
5) On parle également de fonction affine si b ≠ 0 et de fonction linéaire si b = 0.
6) La pente d'une droite est par définition le rapport :
différence verticale notation Δy
=
Δx
différence horizontale
entre deux points quelconques de la droite.
Ce rapport est invariant c'est-à-dire il ne dépend pas des points pris sur la droite.
y
f
•
f(x2)
Δy
f(x1)
•
Δx
0
x1
Si une droite est le graphique d'une fonction de degré 1 ( f ( x ) = ax + b
est le nombre a. En effet : pente =
x
x2
)
alors la pente de la droite
Δy f ( x2 ) − f ( x1 ) ( ax2 + b ) − ( ax1 + b ) a ⋅ ( x2 − x1 )
=
=
=
=a
Δx
x2 − x1
x2 − x1
x2 − x1
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13
7) pente = a > 0 ⇔ la fonction de degré 1 est croissante sur .
pente = a < 0 ⇔ la fonction de degré 1 est décroissante sur .
f
y
En effet :
•
f(x2)
a=
Δy
f ( x2 ) − f ( x1 )
=
>0
Δx
x2 − x1
•
f(x1)
⇔
f(x2) - f(x1)>0
x2 - x1>0
x1
0
x
x2
y
f(x1)
Δy
f ( x2 ) − f ( x1 )
a=
=
<0
Δx
x2 − x1
⇔
•
f(x2 ) - f(x1) < 0
•
f(x2)
f
x2 - x1>0
0
x1
x
x2
Le tableau suivant résume les diverses situations pour les fonctions de degré 1 :
b>0
b=0
b<0
a>0
0
0
0
a<0
0
Étude de la fonction de degré 1
1) D f =
0
0
f ( x) = 2x + 1
y
4
.
2
2) Le graphique de la fonction f est une droite
ni horizontale, ni verticale.
3) L'unique zéro de f est :
1
-4
-3
-2
-1
1
1
⎧ 1⎫
donc f −1 ( 0 ) = ⎨ − ⎬ .
2
⎩ 2⎭
4) L'ordonnée à l'origine est : f (0 ) = 1 .
-1
5) La fonction est affine car b = 1 ≠ 0
-4
f ( x ) = 2x + 1 = 0 ⇔ x = −
6) Avec x1 = 0 et x2 = 3 on a la pente :
7) La fonction f est croissante sur
f
3
2
3
4
-2
-3
Δy f ( 3 ) − f ( 0 ) ( 2 ⋅ 3 + 1) − ( 2 ⋅ 0 + 1) 6 2
=
=
= = =a
Δx
3−0
3
3 1
car a = 2>0
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14
x
Exercice 16
a) Recopier et compléter le tableau suivant pour les 6 fonctions polynomiales suivantes :
Expression
algébrique de
la fonction
Df
Zéro
Degré de f
et
affine/linéaire
Ordonnée
à l’origine
Pente
de la
droite
Variations
(croissance ou
décroissance)
1
f(x)= − x+4
4
2
g ( x) = x + 2
5
h ( x) = x − 1
i ( x) = 6
2
j ( x) = − x − 3
7
2
k ( x) = − x
5
b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement ces
fonctions sur l'intervalle [ −10;10 ] dans le même repère orthonormé.
c) Calculer : f(−4) =
g(20) =
k -1(−5) =
f -1(2) =
i(2) =
j -1(−10) =
Exercice 17
a) Déterminer graphiquement la pente, l'ordonnée à l'origine et donner l'expression algébrique
des droites suivantes.
y
6
5
4
3
f
j
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
-1
i
2
3
4
5
6
7
x
0
-2
-3
k
-4
g
-5
h
-6
b) Calculer : k(5) =
8
g(20) =
i(−5) =
f -1(4) =
g -1 (16) =
j -1 (0) =
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15
Exercice 18
3
1
On considère la fonction de degré 1 définie par f ( x ) =− x + .
4
2
a) Calculer la coordonnée manquante pour que les points suivants appartiennent au graphique de f.
⎛1
⎞
E ⎜ ;....⎟
⎝4
⎠
F ( 15 ;....)
G ( ....; −3 )
H ( .....; 20 )
b) Déterminer, par un calcul, si les points ci-dessous appartiennent au graphique de f.
⎛ 1⎞
A⎜ 0 ; ⎟
⎝ 4⎠
⎛ 7 9⎞
B⎜− ; ⎟
⎝ 3 4⎠
⎛4 1⎞
C ⎜ ;− ⎟
⎝3 2⎠
⎛ 25
⎞
D ⎜ − ;1000 ⎟
⎝ 29
⎠
Exercice 19
On sait que, pour obtenir 1 Euro, il faut 1,60 FS.
1) Recopier et compléter le tableau ci-dessous, f est la fonction : x [ Euro ] → f ( x ) [ FS ]
Euros
0
1
2
Francs suisses
8
8
x
24
f(x) =..........
2) Calculer f ( 14 ) , f ( 2,5 ) et f ( 6,2 ) .
3) Représenter graphiquement le nombre de francs suisses en fonction du nombre d’Euros.
Remarque : Adapter l'échelle aux valeurs calculées.
4) Le nombre de Francs est-il proportionnel au nombre d’Euros ? Justifier
y
= k k∈
Rappel : Deux grandeurs x et y sont proportionnelles si
x
5) La fonction f est-elle linéaire ou affine ? Justifier
6) Quel est le lien entre proportionnalité et linéarité ?
7) Compléter la phrase : Si x double alors f(x)..........................
Exercice 20
Voici la représentation graphique de la fonction f : prix p en francs d’une course de taxi en fonction
du nombre de kilomètres x parcourus (taxi très bon marché !).
p
f
10
1) D'après le graphique, déterminer le prix d’une course
9
8
de 1 km, 2 km, 3 km, 5 km, 10 km.
2) Le prix est-il proportionnel à la distance ?
3) Déterminer f(0) que représente cette valeur ?
4) Quelle est la distance qui correspond à un prix
de 6,50 F ?
5) Quelle est la pente de la droite f ?
7
6
5
4
3
2
1
--11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6) Combien coûte 1 km de trajet supplémentaire ? Quel rapport y a-t-il avec la pente de f ?
7) Déterminer par calcul le prix d’une course de 60 km, puis d’une course de 95 km.
8) Compléter : pour x km, il faut payer p francs , avec p = f(x) = .............................
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16
x
Exercice 21
Un opérateur propose différents contrats pour la téléphonie mobile :
Type de
contrat
Taxe mensuelle
en francs
Minutes de
conversation
gratuite
Prix par minute de
communication
supplémentaire
en centimes
Carte à
prépaiement
0 Fr
0 min.
80 ct.
Abonnement A
40 Fr
25 min.
45 ct.
Abonnement B
110 Fr
90 min.
20 ct.
1) Un client a, en moyenne, 90 minutes de communication par mois.
Calculer, pour chacun des contrats, la somme qu'il doit payer.
2) Dessiner, dans le repère ci-dessous, les graphiques des fonctions qui représentent le prix mensuel
en francs en fonction du temps de communication en minutes pour chacun des trois contrats.
P
200
150
100
50
50
100
150
200
250
300
t
3) Donner les expressions algébriques de ces trois fonctions.
4) Pour chacun des contrats, donner l'intervalle de temps de communication, où il est le meilleur
marché.
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17
Exercice 22
On constate que la température au niveau de la mer est en moyenne de 15,6 °C et elle baisse
d’environ 10 °C lorsque l’on monte de 1500 m.
1) Exprimer la température de l’air T (en °C) en fonction de l’altitude h (en m au-dessus du niveau
de la mer) par une expression du type : T = g( h ) = ah + b pour 0 ≤ h ≤ 6000.
2) Calculer la température de l’air à l’altitude de 4500 m.
3) Calculer l’altitude à laquelle il fait –17,8 °C.
4) La fonction T=g(h) de degré 1 est-elle affine ou linéaire ? Justifier.
5) La température T de l'air est-elle proportionnelle à l'altitude h ?
6) Que signifie physiquement la pente de cette droite ?
7) De combien diminue la température T pour une augmentation d’altitude h de 1000 m ?
8) La fonction g est-elle croissante ou décroissante sur 0 ≤ h ≤ 6000 ? Justifier.
9) En vous aidant des informations obtenues précédemment, tracer le graphique de g
pour 0 ≤ h ≤ 6'000.
Remarque : Adapter l'échelle aux valeurs calculées.
Exercice 23
a) Représenter dans un même repère :
- la droite d 1 qui passe par les points A ( 0 ; − 3 ) et B ( 3 ; 1) ,
5
- la droite d 2 qui passe par le point C (0 ; 6 ) et dont la pente est − .
3
b) Donner la pente, l’ordonnée à l’origine et l'expression algébrique de d 1 et de d 2 .
c) Calculer l’aire du triangle ABC.
Exercice 24 (Introduction aux problèmes d’interpolation)
Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré un passant par les points A et B
en résolvant un système de deux équations à deux inconnues.
a) A(3;1)
B(1;4)
b) A(0;7)
B(7;0)
c) A(4;1)
B(−2;1)
d) A(1000;200)
B(2000;500)
Indications : poser f ( x ) = ax + b
y
f(1)=4
•
A
•
f(3)=1
0
B
1
3
f
x
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18
Exercice 25
Déterminer l’expression algébrique des droites d 1 , d 2 et d 3 , en résolvant un système
de 2 équations à 2 inconnues, sachant que :
d 1 et d 2 passent par le point (10; 10 ) , d 1 et d 3 passent par le point ( −30 ; 150 ) ,
d 2 et d 3 passent par le point ( 30 ; 40 ) .
Exercice 26
Le Sunshine Skyway, qui enjambe de ses 529 m la baie de Tampa, en Floride, est un bel exemple
de pont haubané. Le tablier est supporté par des câbles porteurs en éventail issu du sommet de
deux pylônes.
Déterminer :
a) l'expression algébrique de la fonction de degré 1 f ( x ) = ax + b
qui représente respectivement le câble porteur supérieur et inférieur ;
ce sont des droites.
b) la longueur de ces deux câbles porteurs.
Les informations disponibles sont les suivantes :
1) Le câble porteur supérieur a un ancrage situé à 40 m au-dessus
du tablier et a 80 m du pylône.
2) Le câble porteur inférieur a un ancrage situé à 10 m au-dessus
du tablier et 8 m du pylône.
y
Câble porteur supérieur
Pylône
Câble porteur inférieur
x
0
Tablier
Exercice 27
1) Représenter sur un repère orthonormé la droite d 1 ( x ) =
3
x.
4
2) Donner la pente de d1.
3) Dessiner deux droites d2 et d3 parallèles à d1 et donner leurs expressions algébriques.
4) Quelles sont leurs pentes ?
5) Dessiner deux droites d4 et d5 perpendiculaires à d1 et donner leurs expressions algébriques.
6) Quelles sont leurs pentes ?
7) Établir une règle de calcul permettant de calculer la pente d'une droite :
- parallèle à une droite donnée.
- perpendiculaire à une droite donnée.
Rappels :
• Deux droites sont parallèles si elles n’ont aucun point en commun.
• Deux droites sont confondues si elles ont tous leurs points en commun.
• Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.
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19
Exercice 28
a) Déterminer par le calcul les expressions algébriques de ces 7 droites.
1) Une droite d1 passant par les points (−2;1) et (2;3).
2) Une droite d2 parallèle à d1 et passant par le point (0;−3).
3) Une droite d3 perpendiculaire à d2 de même ordonnée à l’origine que d1.
4) Une droite d4 constante de même ordonnée à l’origine que d2.
5) Une droite d5 linéaire parallèle à d3.
6) Une droite d6 de même pente que d4 passant par le point (0;6).
7) Une droite d7 perpendiculaire à d1 dont le zéro vaut -1.
b) En vous aidant des informations obtenues précédemment, représenter graphiquement
les 7 droites sur l'intervalle [−10;10] dans le même repère orthonormé.
Exercice 29
a) Placer les points A ( −1 ; 6 ) et B ( 8 ; 3 ) dans le même repère orthonormé.
b) Dessiner le rectangle ABCD , sachant que le point C est sur l’axe des abscisses.
c) Donner l'expression algébrique des droites dAB, dBC, dCD et dDA.
d) Que constate-t-on au niveau des pentes de ces droites ?
Exercice 30
(Problèmes d’intersections de courbes)
a) Représenter graphiquement ces 3 fonctions dans le même repère orthonormé.
1
g( x ) = − x + 7
h( x ) = 2x − 11
f(x)= x+4
2
b) Déterminer graphiquement les coordonnées des sommets du triangle formé par ces trois droites.
c) Établir une règle de calcul, permettant de calculer le point d'intersection de deux droites.
Exercice 31
1
1
x+2
h( x ) = −3x +
3
2
a) Représenter graphiquement ces 3 fonctions dans le même repère orthonormé.
Soient les 3 fonctions : f ( x ) = 2x − 3
g( x ) =
b) Trouver par le calcul les points d’intersections A, B et C de ces trois droites.
c) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier par un calcul votre réponse.
Exercice 32
a) Calculer l'aire du triangle délimité par : l'axe horizontal, l'axe vertical et la droite définie par
f ( x ) = −4x + 500 .
b) Calculer l'aire du triangle délimité par : l'axe horizontal et les droites définies par
f ( x ) = x + 1000 , g ( x ) = −4x + 500 .
Indication : faire un croquis pour chaque situation.
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20
Définition
f:
→
x → ax 2 + bx + c = f ( x )
où a ≠ 0, b et c sont trois constantes réelles quelconques ( a,b ,c ∈
)
Autrement dit, l’image est un polynôme de degré 2.
Exemple
La fonction définie par f ( x ) = − x 2 + 2x + 3 est une fonction de degré 2. ( a = −1 ; b = 2 ; c = 3 )
Étude d'une fonction de degré 2
1) Le domaine de définition d’une fonction de degré 2 est
.
2) Le graphique d'une fonction de degré 2 est une parabole symétrique.
3) Pour déterminer les zéros, il faut résoudre l’équation : f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0
Une fonction de degré 2 peut, selon le signe de Δ = b 2 − 4ac , avoir respectivement :
−b − Δ
−b + Δ
et x2 =
lorsque Δ > 0
2a
2a
Le graphique de f coupe l’axe horizontal en deux points : ( x1 ;0 ) et ( x2 ;0 )
• Deux zéros : x1 =
et f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 )
• Un zéros :
−b
lorsque Δ = 0
2a
Le graphique de f coupe l’axe horizontal en un point : ( x0 ;0 )
x0 =
et f ( x ) = a ( x − x0 )( x − x0 )
• Aucun zéro : lorsque Δ < 0
Le graphique de f ne coupe pas l’axe horizontal et f ( x ) = ax 2 + bx + c .
4) L'ordonnée à l'origine d'une fonction de degré 2 est c.
En effet : f ( 0 ) = a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c = c
Le graphique de f coupe l’axe vertical en un point : (0;c )
5) Théorème
Toute fonction polynomiale de degré 2 admet un axe de symétrie.
b
Cet axe est la droite verticale d'équation x = −
2a
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21
Démonstration
S’il existe une symétrie par rapport à une droite verticale, cela veut dire qu’il existe un nombre α
tel que, quel que soit h ∈ *+ , α + h et α − h donnent la même image ; c.à.d. f (α + h ) = f (α − h ) .
y
•
f(α−h)= f(α+h)
α−h
0
Les images de α + h et α − h sont :
•
α
f
x
α+h
f ( α + h ) = a( α + h )2 + b( α + h ) + c
f ( α − h ) = a( α − h )2 + b( α − h ) + c
Si les deux images sont égales, on doit avoir :
f (α + h ) = f (α − h )
⇔ a( α 2 + 2α h + h 2 ) + bα + bh + c = a( α 2 − 2α h + h 2 ) + bα − bh + c
⇔ 2α ah + bh = −2α ah − bh
⇔ 4α ah = −2bh
−b
⇔α=
2a
La valeur de α existe et est unique.
6)
Si a > 0 la fonction de degré 2 est d’abord
décroissante et ensuite croissante,
l’axe de symétrie séparant les deux parties.
f
•
S
Le graphique est une parabole
symétrique convexe.
Si a < 0 la fonction de degré 2 est d’abord
croissante et ensuite décroissante,
l’axe de symétrie séparant les deux parties.
S
•
f
Le graphique est une parabole
symétrique concave.
7) Le point du graphique de f qui sépare la partie croissante de la partie décroissante, s'appelle le
sommet S de la parabole.
⎛ b
⎛ b ⎞⎞
Le sommet de la parabole a donc comme coordonnées : S ⎜ − ; f ⎜ − ⎟ ⎟ .
⎝ 2a ⎝ 2a ⎠ ⎠
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22
b
sur
2a
⎛ b ⎞
et f ⎜ − ⎟ est la valeur maximale de f.
⎝ 2a ⎠
b
sur
2a
⎛ b ⎞
et f ⎜ − ⎟ est la valeur minimale de f.
⎝ 2a ⎠
8) Si a < 0 alors f admet un maximum en x = −
Si a > 0 alors f admet un minimum en x = −
Le tableau suivant résume les diverses situations pour les fonctions de degré 2 :
Δ>0
a>0
•
S•
a<0
Δ=0
•
S
S
•
Δ<0
S
S
•
S•
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23
Étude de la fonction de degré 2
f ( x ) = − x2 + 2 x + 3
( a = −1 ; b = 2 ; c = 3 )
1) Df =
2) Le graphique de f est une parabole (symétrique).
3) Zéro(s) de f : f ( x ) = 0 ⇔ − x 2 + 2x + 3 = 0
Δ = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 3 = 16 > 0 ⇒ 2 solutions .
x1 =
−b − Δ −2 − 16
=
=3
2a
2 ⋅ ( −1)
x2 =
et
−b + Δ −2 + 16
=
= −1
2a
2 ⋅ ( −1)
donc f −1 ( 0 ) = {−1;3}
Le graphique de f coupe l’axe horizontal en deux points : ( −1;0 ) et ( 3;0 )
et f ( x ) = ( −1)( x + 1)( x − 3 )
4) Ordonnée à l’origine de f : f ( 0 ) = c = 3
Le graphique de f coupe l’axe vertical en un point : (0;3 )
5) La parabole possède un axe de symétrie en : x= −
b
2
=−
=1
2a
2 ⋅ (-1)
6) a = − 1<0 ; la parabole est concave. ∩
⎛ b
7) Le sommet de la parabole a pour coordonnées : S ⎜ − ; f
⎝ 2a
8) f admet un maximum en x = 1 sur
⎛ b ⎞⎞
⎜ − ⎟ ⎟ = S ( 1; f ( 1)) = S ( 1;4 )
⎝ 2a ⎠ ⎠
et 4 est la valeur maximale de f.
9) On utilise les résultats obtenus aux points 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7) et 8)
pour tracer le graphique de f.
y
6
5
S
4
3
2
Calculs supplémentaires :
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
5
6
x
f ( −2 ) = f ( 4 ) = −5
-2
-3
f
-4
-5
-6
Axe de symétrie
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P.S. / 2014-2015
24
Exercice 33
a) Classer les fonctions déterminées par les expressions ci-dessous, dans les catégories suivantes
en indiquant la forme générale du graphique (droite, parabole, etc.).
- Fonctions de degré 0 ; f ( x ) = a
- Fonctions de degré 1 ; f ( x ) = ax+b
- Fonctions de degré 2
- Autres
f1( x ) = x 2
100
f4 ( x ) =
x
f7 ( z ) = 5z 2 + 6 z + 5
f 10 ( t ) =
1 2
gt + v0 t + x0
2
;
f ( x ) = ax 2 +bx+c
f2( x ) = 2x
f 3 ( x ) = 0,0012x
f5 ( x ) = 0
f 6 ( x ) = 2 ⋅ 10 2 + 4 ⋅ 101 + 9
f 8 ( x ) = 3 ( x − 5 )( x + 1)
f 9 ( z ) = −8z 3
f 11 ( x ) = 5x − 9
f 12 ( t ) = −t
b) x 2 − 2x + 3 , x 2 − 2x + 3 = 0 et f ( x ) = x 2 − 2x + 3 sont-ils les mêmes « objets »
mathématiques ? Justifier.
Que représente la lettre x dans chaque cas ?
Exercice 34
Considérons les fonctions de degré 2 définies par :
f(x)=
1 2
x + x+3
4
g( x ) = x 2 − 8x + 12
1
9
h( x ) = − x 2 − 3x −
2
2
Déterminer pour chacune de ces fonctions :
a) Le(s) zéro(s).
b) L’ordonnée à l’origine.
c) L’axe de symétrie de la parabole.
d) Les coordonnées du sommet S de la parabole.
e) Le signe du coefficient a (parabole concave ou convexe).
f) Le graphique de la fonction, l'axe de symétrie et le sommet S. Les 3 fonctions seront dessinées
dans le même repère orthonormé.
Indications : • On utilise les résultats obtenus aux points a), b), c), d) et e) pour tracer les graphiques.
• On prend un feuille A4 et on choisit l’échelle selon les zéros et le sommet.
g) Calculer g( 8 ) et g −1( −3 ) .
Exercice 35
Considérons les fonctions de degré 2 définies par :
f(x)=
1 2
x − x−4
2
g( x ) = − ( x + 2 )( x − 4 )
h( x ) =
3 2 3
x − x−6
4
2
Mêmes questions qu'à l'exercice précédent.
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P.S. / 2014-2015
25
Exercice 36
1) En se référant aux quatre graphiques ci-dessous, déterminer le coefficient a pour chacune de ces
paraboles qui sont de la forme f ( x ) = a x 2 .
y
y
5
6
5
4
4
3
3
2
2
1
-4
-3
-2
1
-1
1
2
3
x
4
-1
-2
-1
1
a)
-2
-2
x
b)
-1
y
-3
2
y
2
2
1
1
-1
1
2
x
3
-3
-2
-1
1
2
x
3
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
c)
-5
d)
-6
2) En se référant aux quatre graphiques ci-dessous, déterminer le coefficient a et c pour chacune de
ces paraboles qui sont de la forme f ( x ) = a x 2 + c .
y
y
4
3
2
3
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
2
x
-1
1
-2
-2
-3
-1
1
a)
-5
y
4
6
3
5
2
4
1
-2
-1
3
1
2
3
4
x
2
-1
1
-2
-3
-4
b)
-2
y
-3
x
-1
-4
-4
2
-3
c)
-2
-1
1
-1
2
3
x
d)
________________________________________________________________________________
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26
Exercice 37
1) Considérons les fonctions de degré 2 définies par :
f(x)=
1
( x − 2 )( x − 4 )
2
g( x ) = −
1
( x + 4 )( x − 2 )
4
h( x ) =
5
( x − 3)( x − 3)
9
j( x ) = −
1
( x + 4 )( x + 4 )
2
Parmi les graphiques ci-dessous, trouver ceux qui correspondent à la représentation graphique
de f, g, h et j. (Donner à chaque fois deux arguments justifiant la réponse)
y
y
2
6
1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1
2
5
x
4
-2
-3
3
-4
2
-5
-6
1
-7
-8
-1
-9
a)
- 10
1
-4
-3
-2
6
3
5
2
4
-1
5
6
x
b)
3
1
2
3
4
x
2
-1
1
-2
-3
-4
4
y
4
1
-5
3
-1
y
-6
2
-1
c)
1
2
-1
3
4
5
6
x
d)
2) Considérons les fonctions de degré 2 définies par :
1
( x − 2 )( x − 2 )
4
f ( x ) = 2 ( x + 4 )( x + 5 )
g( x ) =
3⎞
⎛
h( x ) = 3 ⎜ x − ⎟ ( x + 1)
2⎠
⎝
j( x ) = −
1
( x + 4 )( x − 7 )
7
Sans calculs inutiles, déterminer le(s) zéro(s) et l’ordonnée à l’origine de chaque fonction.
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27
Exercice 38 (Introduction aux problèmes d’interpolation)
y
a) Déterminer l’expression algébrique de
la fonction f de degré 2 passant par les
points A(−4;3), B(−2;2) et C(2;6) en
résolvant un système de 3 équations à
3 inconnues.
8
7
f
6
5
Indication : f ( x ) = ax + bx + c
2
4
3
b) Vérifier les résultats obtenus en a)
en calculant f(−4), f(−2) et f(2).
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
x
-2
Exercice 39
a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points
A(−4;1), B(−2;2) et C(2;−2) en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.
b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 1 passant par les points
A(−4;1) et C(2;−2) en résolvant un système de 2 équations à 2 inconnues.
c) La droite h dont l’expression algébrique est h( x ) = 2x + 1 est-elle perpendiculaire à la droite g ?
Justifier avec un calcul.
Exercice 40
y
a) Déterminer l’expression algébrique de
la fonction f de degré 2 passant par les
points S(2 ;1) et A(4;5) dont S est le
sommet, en résolvant un système de 3
équations à 3 inconnues.
8
b) Vérifier les résultats obtenus en a)
en calculant f(2), f(4) et f(0).
3
7
f
6
5
4
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-2
Exercice 41
a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 passant par les points S(2;5)
et A(0;1) dont S est le sommet, en résolvant un système de 3 équations à 3 inconnues.
b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction g de degré 1 passant par les points
S(2;5) et A(0;1) en résolvant un système de 2 équations à 2 inconnues.
c) La droite h dont l’expression algébrique est h( x ) =
1
x + 1 est-elle perpendiculaire à la droite g ?
2
Justifier avec un calcul.
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P.S. / 2014-2015
28
Exercice 42
Déterminer par calcul, l’expression algébrique de la fonction f de degré 2 qui :
a) coupe l’axe des y en –15 et une seule fois l’axe des x et dont l’axe de symétrie est la droite x = 1.
b) passe par le point A(2;3), qui coupe une seule fois l’axe des x et qui est symétrique par rapport
à l’axe des y .
c) coupe l'axe des x en 1 et en 5 et ayant comme ordonnée à l'origine la valeur 1000.
Exercice 43
Combien y a-t-il de paraboles coupant l'axe horizontal en 1 et en 5 et ayant : (Justifier vos réponses)
a) comme axe de symétrie la droite x = 3 ?
b) comme axe de symétrie la droite x = 2 ?
c) comme sommet S le point S(3;3) ?
d) comme sommet S le point S(3;0) ?
Exercice 44
Après 25 années de projet et 9 ans de construction, le pont suspendu de Seto-Ô hashi, reliant les
villes japonaises de Kojima et Sakaide, a été ouvert au trafic en 1988.
Déterminer :
a) l’expression algébrique de la fonction
de degré 2 f ( x ) = ax 2 + bx + c qui
représente approximativement le câble
porteur.
b) Calculer la longueur de la suspente se
trouvant à 20 m d’un pylône.
Les informations disponibles sont les suivantes :
1) Le câble porteur fixé entre les deux sommets des pylônes a la forme d'une parabole.
2) Le « sommet » de la parabole est à 10 m au-dessus du tablier.
3) La hauteur des pylônes par rapport au tablier est de 90 m et leur écart de 400 m.
Câble porteur
y
Pylône
x
0
Tablier
Suspentes
________________________________________________________________________________
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29
Exercice 45
(Problèmes d’intersections de courbes)
Considérons les trois fonctions :
f(x)=
1 2
x − x −1
4
1
5
g( x ) = − x 2 + x − 1
8
4
;
h( x ) = 2x − 6
;
y
6
5
f
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
8
-1
-2
-3
-4
g
-5
-6
h
a) Déterminer, à l’aide des graphiques ci-dessus, les points d’intersections entre ces fonctions.
b) Déterminer algébriquement les points d’intersections entre ces fonctions.
(réponse en valeur exacte)
Indication : Résoudre une équation de degré 2 à 1 inconnue.
c) Déterminer algébriquement l’ensemble des x tel que : i) f ( x ) ≥ 2
ii) f ( x ) ≤ g ( x )
Exercice 46
Considérons les trois fonctions :
f ( x ) = x 2 − 8x + 19 ; g( x ) = − x 2 + 8x − 13 ; h( x ) = x − 3
a) Déterminer algébriquement les points d’intersections entre les fonctions.
(réponse en valeur exacte)
b) Tracer le graphique des fonctions f, g et h dans le même repère orthonormé et déterminer
graphiquement les points d’intersections entre ces fonctions.
c) Déterminer algébriquement l’ensemble des x tel que : i) g ( x ) > −1
ii) g ( x ) ≤ h ( x )
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30
Exercice 47
Considérons les fonctions f et g définies par f ( x ) = x 2 − 2x − 3
et
1
g ( x) = − x + 4
2
a) Déterminer de manière algébrique :
1) le(s) zéro(s) et l’ordonnée à l’origine de f et g.
2) l'image de 25 par f.
3) f −1 ( −5 ) noté également r f ( −5 ) .
4) l’axe de symétrie de la parabole f.
5) les coordonnées du sommet S de la parabole f.
6) la représentation graphique des deux fonctions f et g sur un même repère et pour x ∈ [ −8;8 ] .
(1 feuille A4 et on choisira l’échelle selon les zéros, les ordonnées et le sommet).
7) la ou les intersection(s) entre f et g.
8) l’ensemble des x tel que f ( x ) ≥ g ( x ) .
9)* la distance verticale d maximale entre la parabole f et la droite g pour x ∈ [ −3;5 ] .
b)* Pour quelle(s) valeur(s) de c, c ∈
l’axe des x ?
, la fonction h( x ) = x 2 − 2x + c coupe-t-elle qu’une fois
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P.S. / 2014-2015
31
Exercice 48 (Introduction aux problèmes d’optimisations)
a) Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de
2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n’utilise
pas de clôture le long de la rivière.
420 m
1320 m
1000 m
2400 m
550 m
10 m
Champ A
Champ C
Champ B
Rivière
a.1) Pour chaque champ, calculer le périmètre de la clôture et l’aire du champ. Que constate-t-on ?
Quel est, parmi ces trois formes de champs, celui qui permet aux moutons de brouter le plus
d’herbe ?
a.2) Le dessin ci-dessus propose trois configurations différentes. Combien y a-t-il d’autres
configurations possibles ?
a.3) Parmi toutes les configurations possibles, la forme du champ B donne-t-elle l’aire maximale ?
b) Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de
2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n’utilise
pas de clôture le long de la rivière. Les dimensions x et y de l’enclos sont exprimées en mètres.
y
x
b.1) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ?
b.2) Trouver une relation entre x et y, puis exprimer y en fonction de x.
b.3) Déterminer l’aire A de l’enclos en fonction de la longueur x c'est-à-dire A= f(x).
b.4) Pour quelle valeur de x l’aire A de l’enclos est-elle maximale ?
b.5) Quelles sont alors les dimensions de l'enclos et son aire maximale ?
Exercice 49
Un fermier dispose de 160 mètres de clôture pour entourer
un champ de forme rectangulaire. Une grange de 13 m de long
forme partiellement la clôture le long d’un de ses côtés.
Quelles seront les dimensions du plus grand champ que l’on pourra entourer ?
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
32
Exercice 50
On dispose de 288 m de clôture grillagée pour construire
6 enclos rectangulaires de même aire pour un zoo selon
le plan ci-contre.
Quelles dimensions donner à ces enclos de manière
à maximiser leur surface au sol ?
Exercice 51
On veut construire une gouttière avec une longue
feuille de métal de 12 cm de large en pliant les deux
longs côtés et en les relevant perpendiculairement à
la feuille. La longueur de la feuille est de 10 m.
a) Quelle hauteur doit-on donner aux côtés relevés
pour que la gouttière ait une contenance (volume)
maximale ?
1000 cm
b) Quelle est la contenance (volume) maximale
en litres ?
Exercice 52
Une société de vente de livres par correspondance a actuellement 10'000 abonnés qui paient 50
francs par mois. Une étude a démontré que toute variation de 1 franc du prix de l'abonnement
mensuel ferait varier le nombre d'abonnés d'une centaine. Attention, une augmentation du prix fait
diminuer le nombre d'abonnés et une diminution du prix le fait augmenter.
a) Comment faut-il modifier le prix de l'abonnement mensuel pour obtenir le maximum de revenu ?
b) Quel est le revenu maximum ?
Indication : Déterminer le revenu R en fonction de la variation du prix de l'abonnement de n francs
c.à.d. R= f(n).
n
0
1
2
.....
k
R
10'000 ⋅ 50 = 500’000
.....
Exercice 53
Le propriétaire d’un verger de pommiers estime que si chaque hectare est planté de 48 arbres,
chaque arbre produira 600 pommes chaque année. Chaque fois qu’il y a un arbre de plus par
hectare, la production de chaque arbre en est diminuée de 6 unités.
a) Combien faut-il planter d’arbre par hectare pour obtenir la meilleure récolte ?
b) Quel est le nombre maximum de pommes récoltées par hectare et par an ?
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33
Exercice 54
Dans un rectangle ABCD, dans lequel AB = 8 et AD = 4 , on construit un quadrilatère MNPQ
tel que AM = BN = CP = DQ = x .
A
x
M
B
Q
N
D
P
C
a) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ?
b) Quel nom prend le quadrilatère MNPQ ?
c) Déterminer l’aire A de MNPQ en fonction de x c.à.d. A = f(x).
d) Pour quelle valeur de x l’aire A est-elle minimale ? Quelle est cette valeur minimale ?
e) Pour quelle valeur de x l’aire A est-elle maximale ? Quelle est cette valeur maximale ?
Exercice 55 *
Considérons une fonction polynomiale f de degré 2.
Δ
⎛ b ⎞
Démontrer que f ⎜ − ⎟ = −
4a
⎝ 2a ⎠
( Rappel : Δ=b
2
− 4ac )
Δ⎞
⎛ b
Autrement dit : démontrer que le sommet S de la parabole a pour coordonnées S ⎜ − ; − ⎟ .
⎝ 2a 4a ⎠
Exercice 56 *
Considérons les fonctions f et g suivantes déterminées par :
f ( x ) = x 2 − 4x + 4
et
g( x ) = 2x + k
a) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont qu’un seul point commun ?
b) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f ont deux points communs ?
c) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont aucun point commun ?
Exercice 57 *
Considérons les fonctions f et g suivantes déterminées par :
f ( x ) = x 2 − 4x + 4
et
g( x ) = k x − 2
a) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont qu’un seul point commun ?
b) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f ont deux points communs ?
c) Pour quelles valeurs de k, les graphiques de g et f n’ont aucun point commun ?
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
34
3.2.4 Fonction inverse
Définition
→
*
La fonction inverse est la fonction définie par : f :
x→
1
= f(x)
x
y
Représentation graphique
6
5
4
f
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Remarque
1
= x −1 ; cette expression n'est pas un monôme donc pas un polynôme.
x
Étude de la fonction inverse
1
tend vers ± ∞.
x
1
et
Autrement dit : Si x → 0 + alors → +∞
x
1) Lorsque x tend vers 0, f ( x ) =
si x → 0 − alors
1
→ −∞ .
x
On dit que la fonction inverse possède une asymptote verticale en x = 0.
2) L’image de 0 n’existe pas il n'y a pas d'ordonnée à l'origine. f ( 0 ) =
3) Le domaine de définition de la fonction inverse est D f =
*
1
∉
0
.
4) Le graphique de la fonction inverse s'approche de la droite verticale d'équation x = 0,
sans pour autant la toucher (pas d’intersection avec l’axe vertical).
1
5) Lorsque x tend vers ± ∞, f ( x ) = tend vers 0.
x
1
1
et
si x → −∞ alors → 0 .
Autrement dit : Si x → +∞ alors → 0
x
x
On dit que la fonction inverse possède une asymptote horizontale en y = 0.
6) Comme l’équation f ( x ) =
1
= 0 n’a pas de solution il n'y a pas de zéros.
x
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35
7) Le graphique de la fonction inverse s'approche de la droite horizontale d'équation y = 0,
sans pour autant la toucher (il n’y a pas d’intersection avec l’axe horizontal)
8) Le graphique de la fonction inverse est une hyperbole.
9) La fonction inverse est décroissante sur
*
.
Exercice 58
1
, est appelée fonction inverse.
x
1) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x proche de 0 ?
(à gauche comme à droite de 0) ?
La fonction f ( x ) =
x
− 0,1
− 0,01
− 0,001
...
0
...
0,001
0,01
0,1
f(x)
Réponse : lorsque x se rapproche de ........ , f(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........
2) Pourquoi ne peut-on pas calculer l'image de x = 0 ? (Calculatrice : f (0) = Error)
3) Déterminer l'ordonnée à l'origine et le domaine de définition de f.
4) Comment se comporte la fonction f pour des valeurs de x très grandes positivement ?
x
1
10
100
1000
... +∞
f(x)
Comment se comporte la fonction f pour des valeurs x de très grandes négativement ?
x
−1
−10
−100
−1000
...
−∞
f(x)
5) Donner le(s) zéro(s) de f.
6) Représenter graphiquement f sur l'intervalle [−10; 10].
7) Que peut-on dire de la représentation graphique de f lorsque x est très proche de zéro, mais
positif ? Et très proche de zéro, mais négatif ?
Que peut-on dire de la représentation graphique de f lorsque x est très grand positivement ?
Et très grand négativement ?
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P.S. / 2014-2015
36
Exercice 59
2x + 1
.
x −1
1) Comment se comporte la fonction g pour des valeurs de x proche de 1 ?
(à gauche comme à droite de 1) ?
Considérons la fonction g( x ) =
0,9
x
0,99
0,999
...
1
...
1,001
1,01
1,1
g(x)
Réponse : lorsque x se rapproche de........, g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........
2) Pourquoi ne peut-on pas calculer l'image de x = 1 ? (Calculatrice : g(1) = Error)
3) Déterminer l'ordonnée à l'origine et le domaine de définition de g.
4) Comment se comporte la fonction g pour des valeurs de x très grandes positivement ?
100
10
x
1000
...
+∞
g(x)
Réponse : lorsque x se rapproche de ........ , g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........
Comment se comporte la fonction g pour des valeurs x de très grandes négativement ?
−10
x
−100
−1000
...
−∞
g(x)
Réponse : lorsque x se rapproche de ........ , g(x) se rapproche aussi près qu'on veut de ........
5) Donner le(s) zéro(s) de g.
6) Représenter graphiquement g sur l'intervalle [−10;10].
7) Que peut-on dire de la représentation graphique de g lorsque x est très proche de 1 ?
Que peut-on dire de la représentation graphique de g lorsque x est très grand positivement ?
Et très grand négativement ?
Exercice 60
a) Déterminer le domaine de définition, les zéros et l'ordonnée à l'origine des fonctions suivantes :
f1( x ) =
1
x−3
f2( x ) =
2x + 2
x2 + 7
f4 ( x ) =
15x + 4
x − 2x + 13
f5 ( x ) =
15x
x − 13
2
f3( x ) =
3x + 2
x −1
2
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
37
Exercice 61
Considérons les 4 fonctions :
f(x)=
1
x
g( x ) =
1
x−4
h( x ) =
1
+4
x
i( x ) =
1
+4
x−4
a) Déterminer pour chaque fonction, les asymptotes verticales et horizontales, le domaine de
définition, le(s) zéro(s) ainsi que l'ordonnée à l'origine.
b) Représenter rapidement ces fonctions dans un même repère. (utiliser des couleurs différentes)
c) Déterminer par quelles transformations géométriques les fonctions g, h et i sont obtenues à
partir de la fonction inverse f.
Exercice 62
Considérons les 5 fonctions :
f(x)=
3
x
g( x ) = 3x
h( x ) =
1
+3
x
j( x ) =
4
7x
k( x ) =
1
x−3
a) Parmi les fonctions ci-dessus déterminer celles dont le produit de la préimage avec l'image donne
comme résultat une constante réelle.
Rappel : Deux grandeurs x et y sont inversement proportionnelles si x ⋅ y = k
k∈
b) Compléter la phrase : Si x double alors f(x)..........................
Exercice 63 *
La loi de Mariotte (abbé et physicien français, 1620-1684), s'exprime ainsi : pour une masse donnée
de gaz et à température constante, le produit P⋅V de la pression de ce gaz par son volume est
constant. Les gaz suivent approximativement cette loi : elle n'est exacte que pour les gaz parfaits,
c'est à dire dont les interactions moléculaires sont nulles.
Une étude expérimentale, au moyen d'un gaz enfermé dans un cylindre dont le volume est variable
grâce à un piston, a permis, par le biais d'un manomètre, d'établir la pression en fonction du volume:
V
P
17,5
112,8
18,5
103,1
20
102,6
21,5
89,9
23,5
84,1
26
78,9
27
73,2
28,5
67
31,5
66,2
a) Si la loi de Mariotte s'applique, quelle est la nature de la fonction qui, au volume, associe la
pression ?
b) Représenter le nuage des points (V;P) en prenant l'origine à (15;60).
c) Calculer la moyenne des produits P⋅V expérimentaux. Donner l'équation de la courbe
V → P(V). Représenter cette courbe dans le même repère que le nuage. Conclusion ?
________________________________________________________________________________
P.S. / 2014-2015
38
3.2.5 Fonction racine carrée
Définition
Si a est un nombre réel positif ou nul (∈
la racine carrée de a que l’on note
égal à a, autrement dit :
+
) , alors on définit:
a , comme le nombre réel positif dont le carré est
a = b ⇔ a = b2
(a et b des nombres réels positifs)
Exemples
4 = 2 ⇔ 4 = 22
La racine carrée de 4 vaut 2.
9 = 3 ⇔ 9 = 32
La racine carrée de 9 vaut 3.
−3 = b ⇔ −3 = b 2
<0
La racine carrée de − 3 n'est pas définie dans les réels.
>0
Définition
La fonction racine carrée est la fonction définie par :
f:
+
→
x → x = f(x)
y
Représentation graphique
4
3
f
2
1
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
-1
-2
Remarques
a)
-3
1
2
x = x ; cette expression n'est pas un monôme.
b) Si on admet que
4 = 2 ⇔ 4 = 2 2 et que
4 = − 2 ⇔ 4 = ( −2 )
2
alors f ( x ) = x n’est plus une fonction.
c) Considérons l’équation : x 2 = 4 ⇔ x = ± 4 ⇔ x = ± 2
S = {−2;2}
Étude de la fonction racine carrée
a) Le domaine de définition de la fonction racine carrée est D f =
b) La fonction racine carrée est croissante sur
+
+
car
x = y ⇔ x = y2 > 0 .
.
c) Zéro de f : f ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 donc f −1 ( 0 ) = {0} .
Ordonnée à l’origine de f : f ( 0 ) = 0 .
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39
Exercice 64
On considère la fonction suivante :
h( x ) = x
a) Calculer h(−2) ; h(0) ; h(4).
b) Pourquoi ne peut-on pas calculer la racine d’un nombre négatif ?
c) Le même phénomène se produit-il avec la fonction suivante ? m( x ) = 3 x
d) Donner le domaine de définition des fonctions ci-dessus.
Exercice 65
Soit les fonctions:
f(x)= x
g( x ) = −x
h( x ) = − x
i ( x ) = − −x
a) Tracer les quatre graphiques des fonctions ci-dessus, dans le même repère.
(Tableaux de valeurs exigés)
b) Donner le domaine de définition, le(s) zéro(s) ainsi que l'ordonnée à l'origine des fonctions.
Exercice 66
Soit la fonction f ( x ) = 3x − 3
a) Calculer f (0) ; f(4) ; f -1(−3) ; f -1(3).
b) Donner son domaine de définition.
c) Calculer le(s) zéro(s) ainsi que l'ordonnée à l'origine.
d) Tracer le graphique de f.
Exercice 67
Soit la fonction f ( x ) = x 2 + 4
a) Calculer f (−4) ; f(4) ; f -1(−3) ; f -1(3).
d) Tracer le graphique de f.
Exercice 68
Soit la fonction f ( x ) = 9 − x 2
a) Calculer f (−4) ; f (−3) ; f(0) ; f(3) ; f(4) ; f -1(2) ; f -1(3).
d) Tracer le graphique de f. Quelle est la forme géométrique obtenue avec le graphique de f ?
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40
Exercice 69
a) Déterminer le domaine de définition, les zéros et l'ordonnée à l'origine des fonctions suivantes :
f1( x ) = x − 3
f4 ( x ) =
x
25 − x 2
f2( x ) = x + 7
f5 ( x ) =
f3 ( x ) =
1
3x + 1
2x 3 − 1
49 − x 2
Exercice 70 *
Rappel : Un cercle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné.
Considérons un cercle de rayon r centré en (0;0).
a) Trouver la relation entre les coordonnées x et y
d'un point P appartenant au cercle et le rayon r du cercle.
f+
b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction f+ et fdécrivant respectivement le demi-cercle supérieur et inférieur.
• P(x;y)
y
r
•
(0;0)
c) Quelle est le domaine de définition de f+ et de f- ?
x
d) Tracer le graphique de f+ et de f- sur un même repère avec r = 5.
fExercice 71 *
Le triangle ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre 15.
a) Si x est la longueur du côté AC, exprimer la longueur
du côté BC en fonction de x.
b) Exprimer l’aire A du triangle ABC en fonction de x,
et donner le domaine de définition de cette fonction.
c) Pour quelle valeur de x l’aire A du triangle ABC est-elle maximale ?
d) Quelle est alors son aire maximale ?
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41
10♥ Tracer le graphique d’une fonction de degré 0 (droite horizontale)
ok
11♥ Tracer le graphique d’une fonction de degré 1 (droite oblique)
ok
12♥ Déterminer graphiquement la pente et l'ordonnée à l'origine d’une droite
ok
13♥ Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine d’une fonction de degré 1
ok
14♥ Déterminer l'expression algébrique d’une droite passant par deux points donnés
ok
15♥ Reconnaître et dessiner deux droites parallèles
ok
16♥ Reconnaître et dessiner deux droites perpendiculaires
ok
17♥ Calculer le point d’intersection entre deux droites
ok
18♥ Tracer le graphique d’une fonction de degré 2 (parabole)
ok
19♥ Calculer les zéros et l'ordonnée à l'origine d’une fonction de degré 2
ok
20♥ Calculer l'axe de symétrie d’une parabole
ok
21♥ Pouvoir résoudre des problèmes simples d'optimisation
ok
22♥ Déterminer l'expression algébrique d’une parabole passant par trois points donnés
ok
23♥ Calculer le(s) points d’intersection(s) de deux paraboles
ok
24♥ Reconnaître et tracer le graphique de la fonction inverse
ok
25♥ Reconnaître et tracer le graphique de la fonction racine carrée
ok
Vrai Faux
12♣ f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) est une fonction polynomiale de degré un.
13♣ Les zéros de f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) sont : f −1 ( 0 ) = {−2;4} .
14♣ L’ordonnée à l’origine de f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) f est −16.
15♣ 2 ( x − 4 )( x + 2 ) ; 2 ( x − 4 )( x + 2 ) = 0 et
f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) .
sont les mêmes « objets » mathématiques.
16♣ f ( x ) = 2 x est une fonction polynomiale de degré deux.
17♣ Une droite oblique est le graphique d’une fonction linéaire.
18♣ Une fonction linéaire à comme graphique une droite oblique qui passe
par l’origine du repère.
19♣ Une droite verticale est le graphique d’une fonction constante.
20♣ Une fonction possède toujours une ordonnée à l’origine
Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 3.3 avec les solutions des exercices.
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42
3.3 Solutions des exercices
Ex 2
Intervalles
Nombres relatifs
Nombres rationnels
Nombres réels
a) [0;1] fermé, borné.
Il y en a deux : 0 et 1.
Il y en a une infinité.
b) ]0;1[ ouvert, borné.
Il n’y en a aucun.
c) [ −1;1] fermé, borné.
Il y en a trois : −1 , 0 et 1.
d) ]−1;1[ ouvert, borné.
Il y en a un : 0
Ex 3
A
B
f
-2 •
2 •
3 •
A
•8
• -8
-2 •
4 •
2 •
• 27
16 •
• 125
5 •
B
g
• 2
•4
•2
•5
Ex 4
a)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
i(x)
7,5
7
6,5
6
5,5
5
4,5
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
c) Zéros : f −1 (0) = {−5}
;
f(x)
2
3
4
5
6
7
8
g −1 (0) = {−1;1}
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
;
h −1 (0) = {0}
h(x)
7,5
5
2,5
0
-2,5
-5
-7,5
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
g(x)
8
3
0
-1
0
3
8
; i −1 (0) = {12}
Ordonnée à l'origine : f(0) = 5 ; g( 0 ) = −1 ; h( 0 ) = 0 ; i( 0 ) = 6
Ex 5
un lien verbal
une expression algébrique
(1)
« doubler puis ajouter 5 »
x → f ( x ) = 2x + 5
(2)
« soustraire 5 » puis « multiplier par 2 »
z → f ( z ) = 2 ⋅ ( z - 5)
(3)
« élever au carré » , puis « ajouter un »
x → f ( x ) = x 2 +1
(4)
«ajouter un » puis « prendre le carré »
y → f ( y ) = ( y +1)
(5)
« prendre le triple », puis « ajouter 10 »,
puis « multiplier par −3 »
x → f ( x ) = −3 ( 3x + 10 )
(6)
« soustraire 4 », puis « multiplier par −3 », puis « diviser par 7 »
x→ f(x)=
2
−3 ( x − 4 )
7
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43
Fonctions / Solutions des exercices / 1 N-A
y
Ex 6
a) 3 est la première coordonnée du point A.
A
•
4
b) 4 est la deuxième coordonnée du point A.
B
•
c) 2 est l’ordonnée du point B.
2
d) −4 est l’abscisse du point B.
•
-7
e) 5 est une préimage de -4 par f.
f) −4 est l’image de 5 par f.
0
-4
•-2
-4
g) −2 est l’ordonnée à l’origine de f.
x
5
3
•
h) −7 est un zéro de f.
f
Ex 9
1) f ( a ) = a 2 − 5a + 4
2) f ( − x ) = x 2 + 5x + 4
3) − f ( x ) = − x 2 + 5x − 4
4) − f ( − x ) = − x 2 − 5x − 4
5) f ( x + 3 ) = x 2 + x − 2
6) f ( x ) + 3 = x 2 − 5x + 7
7) 3 ⋅ f ( x ) = 3x 2 − 15x + 12
8) f ( 3x ) = 9x 2 − 15x + 4
9) 4 ⋅ f ( x + 3 ) + 5 = 4x 2 + 4x − 3
10) f(♥) = ♥2 −5♥+4
11) f ( x ) + g( x ) = x 2 − 2x + 5
12) f ( g ( x ) ) = 9 x 2 − 9x
Ex 10
a) f(1) = 2
f(3) = 2
b) f −1 ( −1) = ∅
f(4) = 5
f −1 ( 2 ) = {1;3}
f −1 ( 5 ) = {0;4}
g(2) = −1
g(10) = 7 (on extrapole)
g −1 (0 ) = {3}
g −1 ( 8 ) = {11} (on extrapole)
Ex 11
1) f(1) = 3
4) f −1 ( −2 ) = {0}
⎧4 ⎫
2) f −1 ( 2 ) = ⎨ ⎬
⎩5 ⎭
5) f(3) = 13
f −1 ( 3 ) = {1}
3) f(1) = 3
6) f −1 ( −2 ) = {0}
7) Les points du graphique b) correspondent bien aux couples de la fonction f.
Cela n’est pas vrai pour le graphique a).
Ex 13
a) t = 0 h ; t = 12 h ; t = 24 h
b) T est positive sur l'intervalle de temps : ]12;24[
T est négative sur l'intervalle de temps : ]0;12[
c) T est croissante sur l'intervalle de temps : [5;19 ]
T est décroissante sur l'intervalle de temps : [0;5 ] ∪ [19;24 ]
d) La température est maximale à 19 h et la température maximale est de 10° C.
e) La température est minimale à 5 h et la température minimale est de -10 ° C.
Ex 14
a) D f =
\ {2}
Dg =
\ {−3}
Dh =
Dj =
{
\ − 3; 3
}
b) Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul.
c) D f =
+
Dg =
−
Dh =
+
Dj =
d) Un nombre sous une racine carrée ne peut pas être négatif.
e)
n’est pas le domaine de définition de la fonction k.
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P.S. 2014-2015
44
Ex 15
a) D f =
Dg =
b) f −1 ( 0 ) = {−1} et
f (0 ) = −3
g −1 ( 0 ) = {0 ; 3} et g (0 ) = 0
c) f ( x ) = −3x − 3 correspond au graphique 3). g ( x ) = − x 2 + 3x correspond au graphique 2).
d) Le graphique 1) car à une préimage x correspond plusieurs images y.
e) Vrai, A ( 10 ; −33 ) est un point du graphique de f.
f) Faux, B ( 5; −20 ) n’est pas un point du graphique de g.
Réponses au questionnaire à choix multiples 3.1.4
Soit f une fonction réelle.
Vrai
Faux
1♣ Une préimage possède au moins une image par f.
♦
2♣ Une image possède exactement une préimage par f.
♦
3♣ Si f(x) = f(y) alors x = y.
♦
♦
4♣ Une préimage possède au plus une image par f.
♦
5♣ Si f(5) = 2 alors 2 est l'image et f(5) est la préimage.
-1
♦
6♣ Si f (-2) = {3} alors -2 est l'image et 3 est la préimage.
7♣ Le domaine de définition de la fonction f(x) = 1/x est
8♣ Le domaine de définition de la fonction f(x) = x2 est
♦
.
♦
.
9♣ Le synonyme du mot « fonction » est : « graphique »
♦
couple de la forme (x;y) avec x, y ∈ .
♦
couple de la forme (x;f(x)) avec x ∈ Df .
♦
Ex 16
a)
Expression
algébrique de
la fonction
Degré de f
et
affine/linéaire
Zéro
Ordonnée
à l’origine
16
f(0) = 4
degré 1
affine b ≠ 0
−5
g(0) = 2
degré 1
affine b ≠ 0
h ( x) = x − 1
1
h(0) = −1
degré 1
affine b ≠ 0
i ( x) = 6
∅
i(0) = 6
degré 0
21
2
j(0) = −3
degré 1
affine b ≠ 0
0
k(0) = 0
degré =1
linéaire b= 0
Df
1
x+4
4
2
g ( x) = x + 2
5
f( x)= −
2
x−3
7
2
k ( x) = − x
5
j ( x) = −
c) f(−4) =5
g(20) =10
−
i(2) = 6
f -1(2) ={8}
Pente
de la
droite
1
4
2
5
1
1
−
0
=0
1
2
−
7
2
−
5
k -1 (−5) = {12.5}
Variations
(croissance ou
décroissance)
f est décroissante
sur car a < 0
g est croissante
car a > 0
sur
h est croissante
car a > 0
sur
/
j est décroissante
sur car a < 0
k est décroissante
sur car a < 0
j -1 (−10) = {24.5}
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P.S. 2014-2015
45
Ex 17
a)
Nom de la fonction
Pente
1
5
3
5
−1
1
0
=0
1
4
5
−4
5
f
g
h
i
j
k
b) k(5) = −2
Ordonnée à l’origine
Expression algébrique
1
x+3
5
3
g( x )= x + 1
5
f ( x )=
3
1
0
h( x )= − x
−2
i( x ) = − 2
4
x − 4
5
4
k( x ) = − x + 2
5
j( x ) =
−4
2
g(20) =13
i(−5) =−2
f -1(4) ={5}
43 ⎞
⎛
F ⎜ 15; − ⎟
4 ⎠
⎝
⎛ 14 ⎞
G ⎜ ;-3 ⎟
⎝ 3
⎠
H ( −26;20 )
g -1(16) = {25}
j -1(0) ={5}
Ex 18
⎛1 5 ⎞
a) E ⎜ ; ⎟
⎝ 4 16 ⎠
b) A n'est pas sur la droite (graphique de f).
C est sur la droite (graphique de f).
B est sur la droite (graphique de f).
D n’est pas sur la droite (graphique de f).
Ex 19
On sait que, pour obtenir 1 Euro, il faut 1,60 FS.
1) f est la fonction : x [ Euro ] → f ( x ) [ FS ]
Euros
Francs suisses
0
0
1
1,60
2) f ( 14 ) =1,60 ⋅ 14 = 22,4 FS
;
2
3,20
5
8
8
12,8
f ( 2,5 ) =1,60 ⋅ 2,5 = 4 FS
15
24
;
x
f(x) = 1,6 ⋅ x
f ( 6 ,2 ) =1,60 ⋅ 6 ,2 = 9,92 FS .
Ex 20
1) f(1) = 2,5 F
f(2) = 3 F
f(3) =3,5 F
f(5) = 4,5 F
f(10) = 7 F
2) Si je fais un trajet deux fois plus long, par exemple si je passe de 4 km à 8 km, le prix lui,
ne double pas puisque il passe de 4 F à 6 F. Le prix n'est pas proportionnel à la distance.
3) f(0) = 2 F représente les frais de prise en charge du taxi !!
4) f −1 ( 6 ,50 ) = 9 km
5) pente de la droite :
Δp 1
=
Δx 2
1 0,5
=
2
1
7) Le prix d’une course de 60 km est de 32 F. Le prix d’une course de 95 km est de 49.5 F.
6) Un km de trajet supplémentaire coûte 0,5 F. On a le même rapport (valeur) :
8) Pour x km, il faut payer p Francs , avec p = f ( x ) =
1
x+2
2
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P.S. 2014-2015
46
Ex 21
1) Carte prépaiement : 72 Fr
Abonnement A : 69,25 Fr
Abonnement B : 110 Fr
3) Carte prépaiement : P( t ) = 0,8 ⋅ t
si t ≤ 25
si t > 25
⎧40
Abonnement A : A( t ) = ⎨
⎩0,45 ⋅ t + 28,75
si t ≤ 90
si t > 90
⎧110
Abonnement B : B( t ) = ⎨
⎩0,2 ⋅ t + 92
4) Carte prépaiement : moins de 82 minutes.
Abonnement A : entre 82 et 253 minutes.
Abonnement B : plus de 253 minutes.
Ex 22
1
⋅ h + 15,6
pour h ∈ [0,6000 ]
150
2) g( 4500 ) = −14,4 C
3) h = 5010 m
4) La fonction g est affine car b = 15,6 ≠ 0
5) La température T de l'air n'est pas proportionnelle à l'altitude h.
1) T = g( h ) = −
ΔT
−1 différence de température
=
=
Δh 150
différence de hauteur
7) La température diminue de 6.6 °C pour une augmentationd ' altitude de1000 m.
ΔT
−1
8) g est décroissante sur [0;6000] car la pente
=
<0
Δh 150
6) pente =
Ex 23
4
x −3
3
5
Expression algébrique de d2: d 2 ( x ) = − x + 6
3
c) Aire du triangle ABC = 13,5
b) Expression algébrique de d1: d 1 ( x ) =
4
et ordonnée à l'origine de d1 = -3
3
5
pente de d2 = − et ordonnée à l'origine de d2 = 6
3
pente de d1 =
Ex 24
3
11
a) f ( x ) = − x +
2
2
b) f ( x ) = − x + 7
c) f ( x ) = 1
d) f(x)=
3
x − 100
10
Ex 25
7
d 1 ( x ) = − x + 45
2
d2( x ) =
3
x−5
2
d3( x ) = −
11
x + 95
6
Ex 26
5
x ∈ [0;8 ]
a) Câble porteur inférieur f : f ( x ) = − x + 10
4
1
Câble porteur supérieur g : g( x ) = − x + 40
x ∈ [0;80 ]
2
b) Longueur du câble porteur inférieur ≅ 12,8 m . Longueur du câble porteur supérieur ≅ 89,4 m
Ex 28
a) d 1 ( x ) =
1
x+2
2
2
d5 ( x ) = − x
1
d2( x ) =
1
x−3
2
d6 ( x ) = 6
2
d3( x ) = − x + 2
1
d 4 ( x ) = −3
2
d7 ( x ) = − x − 2
1
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P.S. 2014-2015
47
Ex 29
1
17
c) d AB ( x ) = − x +
3
3
d BC ( x ) = 3x − 21
1
7
d CD ( x ) = − x +
3
3
d DA ( x ) = 3x + 9
Ex 30
b) A(2;5) ; B(10;9) ; C(6;1)
c) Règle de calcul, permettant de calculer le point d'intersection de deux droites.
c1) On cherche x tel que : f(x) = g(x) ; Le point d'intersection est A(2;5).
c2) On cherche x tel que : f(x) = h(x) ; Le point d'intersection est B(10;9).
c3) On cherche x tel que : g(x) = h(x) ; Le point d'intersection est C(6;1).
Ex 31
b) Points d’intersections : A(3;3), B(0,7;-1,6), C(-0,45;1,85).
c) Le triangle ABC est rectangle en C.
Ex 32
a) Aire ombrée = 31' 250 u 2
b) Aire ombrée = 506' 250 u 2
Ex 33
a)
Fonctions de degré 2
de la forme:
de la forme:
de la forme:
f(x)=a
Graphique :
droite horizontale
f ( x ) = ax+b
Graphique :
droite oblique
f ( x ) = ax 2 + bx + c
Graphique :
parabole symétrique
f1 ( x ) = x 2
f 3 ( x ) = 0,0012 x
f5 ( x ) = 0
f 6 ( x ) = 2 ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 + 9
2
1
f11 ( x ) = 5x − 9
f12 ( t ) = −t
f7 ( z ) = 5z + 6 z + 5
2
f 8 ( x ) = 3 ( x − 5 )( x + 1)
f10 ( t ) =
1 2
gt + v0 t + x0
2
Autres
f2( x ) = 2x
f4 ( x ) =
100
x
f 9 ( z ) = −8z 3
b)
Ce ne sont pas les mêmes « objets » mathématiques.
• x 2 − 2x + 3 est un polynôme de degré 2 ; x à le statut de variable.
• x 2 − 2x + 3 = 0 est une équation polynomiale de degré 2 ; x à le statut d’inconnue.
• f ( x ) = x 2 − 2x + 3 est une fonction polynomiale de degré 2 ; x à le statut de préimage (variable).
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P.S. 2014-2015
48
Ex 34
Zéro(s)
Parabole
concave/
convexe
Axe de
symétrie
Sommet S
x = −2
S(-2;2)
La parabole
est convexe
Ordonnée à
l’origine
1
f ( x ) = x2 + x + 3
4
f (0 ) = ∅
g( x ) = x − 8x + 12
g ( 0 ) = {2;6 }
x=4
S(4;-4)
La parabole
est convexe
1
9
h( x ) = − x 2 − 3x −
2
2
h ( 0 ) = {−3}
x = −3
S(-3;0)
La parabole
est concave
Zéro(s)
Axe de
symétrie
Sommet S
Parabole
concave/
convexe
Ordonnée à
l’origine
1 2
x − x −4
2
f −1 ( 0 ) = {−2;4}
x =1
9⎞
⎛
S ⎜ 1; − ⎟
2⎠
⎝
La parabole est
convexe ∪
f ( 0 ) = −4
g( x ) = − x 2 + 2x + 8
g −1 ( 0 ) = {−2;4}
x =1
S(1;9)
La parabole est
concave ∩
g (0 ) = 8
h −1 ( 0 ) = {−2;4}
x =1
27 ⎞
⎛
S ⎜ 1; − ⎟
4 ⎠
⎝
La parabole est
convexe ∪
h( 0 ) = −6
−1
−1
2
−1
∪
∪
∩
f(0) = 3
g(0) = 12
h( 0 ) = −
9
2
Ex 35
f( x) =
h( x ) =
3 2 3
x − x −6
4
2
Ex 36
1
3
1
a) a = et c = −3
3
1) a) a =
b) a = 3
c) a = −2
2)
b) a = 3 et c = −1
c) a = -
d) a = −1
1
et c = 2
2
d) a = 1 et c = 1
Ex 37
1)
a) j( x ) = −
1
( x + 4 )( x + 4 )
2
1
( x − 2 )( x − 4 )
2
1
c) g( x ) = − ( x + 4 )( x − 2 )
4
5
d) h( x ) = ( x − 3 )( x − 3 )
9
b) f ( x ) =
;
j −1 (0 ) = {−4}
;
j ( 0 ) = −8
;
f −1 (0 ) = {2;4}
;
f (0 ) = 4
;
g −1 (0 ) = {−4;2}
;
g (0 ) = 2
;
h −1 (0 ) = {3}
;
h (0 ) = 5
;
f −1 ( 0 ) = {−5; −4}
;
f (0 ) = 40
;
g −1 (0 ) = {2}
;
g (0 ) = 1
;
3⎫
⎧
h −1 ( 0 ) = ⎨ −1; ⎬
2⎭
⎩
;
h (0 ) = −
;
j −1 ( 0 ) = {−4;7}
;
j (0 ) = 4
2)
f ( x ) = 2 ( x + 4 )( x + 5 )
1
( x − 2 )( x − 2 )
4
3⎞
⎛
h( x ) = 3 ⎜ x − ⎟ ( x + 1)
2⎠
⎝
1
j( x ) = − ( x + 4 )( x − 7 )
7
g( x ) =
9
2
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P.S. 2014-2015
49
Ex 38
a) L'expression algébrique de la fonction de degré 2 passant par les points A,B et C est : f ( x ) =
1 2
x + x+3
4
Ex 39
1
a) L'expression algébrique de la fonction de degré 2 passant par les points A,B et C est : f ( x )= − x 2 − x + 1
4
1
b) L'expression algébrique de la fonction de degré 1 passant par les points A et C est : g( x )= − x − 1
2
c) g et h sont perpendiculaires.
Ex 40
L'expression algébrique de la fonction de degré 2 passant par les points Aet S est : f ( x ) = x 2 − 4 x + 5
Ex 41
a) L'expression algébrique de la fonction de degré 2 passant par les points A et S est : f ( x ) = − x 2 + 4x + 1
b) L'expression algébrique de la fonction de degré 1 passant par les points A et S est : g( x )= 2x + 1
c) g et h ne sont pas perpendiculaires.
Ex 42
a) f ( x ) = −15x 2 + 30x − 15
b) f ( x ) =
3 2
x
4
c) f ( x ) = 200x 2 − 1200 x + 1000
Ex 43
a) Il y en a une infinité.
b) Il y en a aucune.
c) Il y en a une seule.
d) Il y en a aucune.
Ex 44
a) L’expression algébrique de la fonction de degré 2 qui représente le câble porteur est : f ( x ) =
1 2 4
x − x + 90 .
500
5
b) Longueur de la suspente se trouvant à 20 m : 74,8 m
Ex 45
a) Graphiquement :
f ∩ h = {I 4 ( 2; −2 )}
f ∩ g = {I 1 ( 0; −1 ) ; I 2 ( 6;2 )}
b) Algébriquement :
f ∩ g = {I 1 ( 0; −1 ) ; I 2 ( 6;2 )}
c) i) S = ]−∞ ; − 2] ∪ [6; +∞[
f ∩ h = {I 4 ( 2; −2 ) ; I 5 ( 10;14 )}
g ∩ h = {I 3 ( 4;2 )}
g ∩ h = {I 3 ( 4;2 ) ; I 6 ( −10; −26 )}
ii) S = [0;6 ]
Ex 46
a) Algébriquement : f ∩ g = {I 1 ( 4;3 ) }
c) i) S = ]2;6 [
f ∩h = ∅
g ∩ h = {I 2 ( 5;2 ) ; I 3 ( 2; −1 )}
ii) S = ]−∞ ; − 2] ∪ [ 5; +∞[
Ex 47
a)
1) f −1 ( 0 ) = {−1;3} ; g −1 ( 0 ) = {8}
f(0) = -3 ; g(0) = 4
2) f(25) = 572
3) f −1 ( −5 ) = ∅
4) Axe de symétrie : x = 1
5) Sommet : S( 1;-4 )
7) Intersections:
I 1 ( −2;5 )
8) S = ]−∞ ; − 2] ∪ [ 3,5; +∞[
I 2 ( 3.5 ;2.25 )
9)* Pour x=0.75 on a d max = 7.5625
b)* c = 1
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P.S. 2014-2015
50
Ex 48
a.1)
Périmètre de la clôture
2420 m
2420 m
2420 m
Champ A
Champ B
Champ C
Aire du champ
24'000 m2
726'000 m2
420'000 m2
On constate que l’aire du champ varie en fonction de sa forme et pas le périmètre de la clôture qui est constante.
C’est le champ B qui permet aux moutons de brouter le plus d’herbe.
a.2) Il y a une infinité de configurations possible.
a.3) Difficile à dire, il faudrait tester toutes les autres possibilités !
Idée traiter le cas général ! voir b)
b.1) x ∈ ]0;1210[
b)
b.2) y = 2420 − 2x .
b.3) A = −2x 2 + 2420 x
b.5) y = 1210 m
(fonction du 2ème degré)
b.4) x = 605 m
Amax = 732' 050 m 2
Ex 49
Pour maximiser l'aire du champ les dimensions doivent être de 43,25 m pour la longueur et de 43,25 m pour la largeur.
On constate que x = y = 43,25 m, donc le champ est de forme carrée.
Ex 50
Pour maximiser l'aire de l'enclos les dimensions doivent être de 48 m pour la longueur et de 36 m pour la largeur.
Ex 51
a) On doit relever les côtés de 3 cm pour avoir une contenance (volume) maximum.
b) La contenance (volume) maximum est de18'000 cm3 = 18 dm3 = 18 litres.
Ex 52
Le revenu R en fonction de la variation du prix de l'abonnement de n francs :
R = f(n) = − 100n 2 + 5' 000n + 500' 000 (fonction du 2ème degré)
a) Pour obtenir un revenu maximal, il faut augmenter le prix de l’abonnement de 25 Francs.
b) Le revenu maximum est de 562'500 Francs.
Ex 53
Le nombre P de pommes produit par hectare et par an est fonction du nombre x de nouveaux arbres par hectare et,
la fonction est : P( x ) = -6 x 2 + 312x + 28' 800 (fonction du 2ème degré)
a) Pour obtenir la meilleur récolte il faut donc planter 48+26 = 74 arbres par hectare.
b) Pmax = P(26) = 32'856 pommes par hectare et par an.
Ex 54
a) x ∈ [ 0;4 ] .
b) Le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme pour tout x ∈ [ 0;4 ] .
c) A = f(x)= 2x 2 -12x + 32 (fonction du 2ème degré)
Sommet : S = (3;14 )
d) L’aire de MNPQ est minimale si x = 3 m; et la valeur minimale de l’aire est A = 14 m2.
e) L’aire de MNPQ est maximale si x = 0 m (évident); et la valeur maximale de l’aire est A = 32 m2.
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P.S. 2014-2015
51
Ex 56 *
a) f ∩ g : un seul point d'intersection ⇔ Δ = 0
⇔ k=− 5
b) f ∩ g : deux points d'intersections ⇔ Δ > 0
⇔
c) f ∩ g : pas d'intersections
⇔Δ<0
k ∈ ]-5 ; ∞ [
⇔ k ∈ ]-∞ ;-5[
Ex 57 * k1 = 24 − 4 ≅ 0,89 et k 2 = − 24 − 4 ≅ −8,89
a) f ∩ g : un seul point d'intersection ⇔ Δ = 0
⇔ k=k1 ou k=k2
b) f ∩ g : deux points d'intersections ⇔ Δ > 0
⇔
c) f ∩ g : pas d'intersections
⇔Δ<0
k ∈ ]-∞ ;k 2 [ ∪ ]k1 ; ∞ [
⇔ k ∈ ]k2 ;k1 [
Ex 60
a)
Domaine de
définition
Fonction
1
x −3
2x + 2
f2 ( x ) = 2
x +7
3x + 2
f3 ( x ) =
x −1
15x + 4
f4 ( x ) = 2
x − 2x + 13
\ {3}
f1 ( x ) =
f5 ( x ) =
Ordonnée
à l'origine
1
−
3
2
7
Zéros
∅
−1
\ {1}
15x
x − 13
{
\ − 13; 13
2
2
3
4
−
15
4
13
0
0
−
}
−2
b) Le dénominateur d'une fraction ne peut pas être nul.
Ex 61
a)
Fonctions
Asymptote
verticale
Asymptote
horizontale
1
x
x=0
y=0
x =4
y=0
\ {4}
x=0
y=4
∗
x=4
y=4
\ {4}
f( x)=
1
x −4
1
h( x ) = + 4
x
1
i( x ) =
+4
x −4
g( x ) =
Domaine de
définition
∗
Ordonnée à
l’origine
Zéros
∅
f(0) ∉
∅
g (0 ) = −
1
4
15
4
h(0) ∉
−
i (0 ) =
1
4
15
4
c) g : translation horizontale de f vers la droite de 4 unités.
h : translation verticale de f vers le haut de 4 unités.
i : translation horizontale de f vers la droite de 4 unités et translation verticale de f vers le haut de 4 unités.
Ex 62
3
⇔ x ⋅ f ( x ) = 3 ( constante )
x
b) Si x double alors f(x) diminue de moitié.
a) f ( x ) =
et
j( x ) =
4
7x
⇔
x ⋅ j( x ) =
4
7
( constante )
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P.S. 2014-2015
52
Ex 63 *
Cte
1
⇔ P = Cte ⋅
V
V
La pression est égale à une constante multipliée par l’inverse du volume.
a) P ⋅V = cte ⇔ P =
Le graphique sera donc une hyperbole.
Ex 64
a) h(-2) = -2 impossible car l'équation y 2 = −2 n'a pas de solutions.
b) Un nombre sous une racine carrée ne peut pas être négatif car
c) m(x) : le phénomène ne se produit pas car
d) Dh =
+
= [0 ; ∞[
3
h(0) = 0
h(4) = 2
x = y ⇔ x = y2 > 0
x existe même si x < 0.
; Dm =
Ex 65
b)
Domaine de
définition
Fonction
Zéros
Ordonnée
à l'origine
f(x)= x
+
0
0
g( x ) = − x
−
0
0
h( x ) = − x
+
0
0
i( x ) = − − x
−
0
0
Ex 66
a) f ( 0 ) = −3 ∉
f(4)= 3
f −1 ( − 3 ) = ∅
f −1 ( 3 ) = {4}
b) D f = [1; ∞[
c) f −1 ( 0 ) = 1
f ( 0 ) = −3 ∉
Ex 67
a) f ( −4 ) = 20
f ( 4 ) = 20
f −1 ( −3 ) = ∅
{
f −1 ( 3 ) = − 5; 5
}
b) D f =
c) f −1 ( 0 ) = ∅
f (0 ) = 2
Ex 68
a)
f ( −4 ) = −7 ∉
{
f −1 ( 2 ) = − 5; 5
}
f ( −3 ) = 0
f (0 ) = 3
f (3) = 0
f ( 4 ) = −7 ∉
f −1 ( 3 ) = {0}
b) D f = [ −3;3]
c) f −1 ( 0 ) = {−3;3}
f (0 ) = 3
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P.S. 2014-2015
53
Ex 69
a)
Domaine de
définition
Zéros
Ordonnée
à l'origine
f1 ( x ) = x − 3
[3; ∞[
3
∅
f2 ( x ) = x + 7
[ − 7 ; ∞[
-7
7
⎤ 1
⎡
⎥⎦ − 3 ; ∞ ⎢⎣
∅
1
]−5;5[
0
0
Fonction
f3 ( x ) =
f4 ( x ) =
f5 ( x ) =
1
3x + 1
x
25 − x 2
2x 3 − 1
49 − x
2
]−7;7[
3
1
2
−
1
7
b) Un nombre sous une racine carrée ne peut pas être négatif.
Réponses au questionnaire à choix multiples 3.2.7
Vrai
12♣ f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) est une fonction polynomiale de degré un.
♦
13♣ Les zéros de f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) sont : f −1 ( 0 ) = {−2;4} .
♦
14♣ L’ordonnée à l’origine de f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) f est −16.
♦
15♣ 2 ( x − 4 )( x + 2 ) ; 2 ( x − 4 )( x + 2 ) = 0
et
Faux
f ( x ) = 2 ( x − 4 )( x + 2 ) .
♦
sont les mêmes « objets » mathématiques.
16♣ f ( x ) = 2 est une fonction polynomiale de degré deux.
♦
17♣ Une droite oblique est le graphique d’une fonction linéaire.
♦
x
18♣ Une fonction linéaire à comme graphique une droite oblique qui passe
par l’origine du repère.
♦
19♣ Une droite verticale est le graphique d’une fonction constante.
♦
20♣ Une fonction possède toujours une ordonnée à l’origine
♦
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P.S. 2014-2015
54
Notes personnelles
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Notes personnelles
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
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Fonctions / 1ère année / version 2014-2015

Transcription

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