Délégation de la gestion de portefeuille : choix dlinvestissement et

HEC Montréal
A¢ liée à l’Université de Montréal
Délégation de la gestion de portefeuille : choix
d’investissement et des frais de gestion dans un cadre en
temps continu
par
Tarek Masmoudi
Département de Finance
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de
Philosophiæ Doctor (Ph.D.) en Administration
Mai 2006
Copyright, Tarek Masmoudi, 2006
HEC Montréal
A¢ liée à l’Université de Montréal
Cette thèse intitulée :
Délégation de la gestion de portefeuille : choix
d’investissement et des frais de gestion dans un cadre en
temps continu
présentée par :
Tarek Masmoudi
a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes :
Dr. Pascal François
président-rapporteur
Dr. Michèle Breton
directrice de recherche
Dr. Benjamin Croitoru
membre du jury
Dr. Elyès Jouini
examinateur externe
Abstract
Of all the studies interested in management fees determinants in the delegated portfolio domain, few explicitly analyse the e¤ect of market and risk aversion coe¢ cients.
In addition, no study has treated, to our knowledge, the competition in the industry of
mutual funds in a theoretical framework which incorporates the dynamical feature of
investment problems. This thesis examines these di¤erent aspects of delegated portfolio
management in continuous time models.
In the …rst essay, we study, in an in…nite horizon framework, the choice of investment, consumption and management fee rate in a wealth management model. It is a
model where we consider an investor delegating his wealth, in the initial date, to a
unique manager. In order to consume, the investor is allowed to continuously withdraw
a proportion of the assets under management. We analyze, through the resolution of
the equilibrium of this model, the e¤ects on the management fee rate of the market
coe¢ cients and the risk adverseness of both agents.
In the second essay, we examine, in a …nite horizon economy, the behaviour of an
investor having the possibility to dynamically allocate his wealth between two mutual
funds and a risk-free asset. We analyse the e¤ect of the dispersion in the “services”
(portfolio choice and management fee rate) o¤ered by the mutual funds on the ‡ows
invested in each of them. We show the possibility of positive externalities between
mutual funds.
In the third essay, we extend the preceding model by incorporating strategic competition between the mutual funds. In order to do this, we take into account the objectives
motivating the portfolio choice of the mutual funds’managers. An important consideration of this model is to allow each of these managers to invest for his own account.
The main result of this essay shows that mutual funds cannot di¤erentiate through
iii
investment choice. This corroborates the …ndings of many recent empirical studies on
the importance of media coverage and marketing in the mutual funds industry.
The …nal essay of this thesis studies the multi-period coherent risk adjusted value as
represented by Artzner, Delbaen, Eber, Heath and Ku (2004). We give a more explicit
form of this representation and propose an application to a non perfect hedging problem.
JEL classi…cation : C73, G11, G12, G23, D81 et L13.
Keywords : Wealth management, mutual funds, asset-based fees, dynamic ‡ows,
stochastic di¤erential game, multiperiod coherent risk measures.
iv
Résumé
Parmi les études faites sur la délégation de la gestion de portefeuille, rares sont celles
qui analysent explicitement l’e¤et des conditions du marché et de l’aversion au risque
des agents sur les taux des frais de gestion. D’un autre côté, la présence de la concurrence dans l’industrie des fonds mutuels n’a jamais été traitée dans un cadre théorique
incorporant l’aspect dynamique de l’investissement. Cette thèse a pour objet d’examiner ces di¤érents aspects de la délégation de la gestion de portefeuille en considérant
des modèles en temps continu.
Dans le premier essai, nous étudions dans un cadre à horizon in…ni les choix d’investissement, de consommation et du taux des frais de gestion dans un modèle de
délégation de la richesse. Il s’agit d’un modèle où un investisseur délègue sa richesse, au
début de la période, à un gérant et retire de manière continue une partie des actifs sous
gestion pour des …ns de consommation. Le modèle que nous considérons nous permet
d’analyser les e¤ets des conditions du marché ainsi que des niveaux d’aversion au risque
des deux agents sur le taux de rémunération appliqué à l’équilibre.
Dans le deuxième essai de cette thèse, nous examinons dans un cadre à horizon …ni
le comportement d’un investisseur qui répartit sa richesse de façon dynamique entre
plusieurs fonds mutuels et un actif sans risque. Les fonds mutuels se distinguent par
les "services" qu’ils o¤rent, à savoir les stratégies de placement et les taux des frais
de gestion. Nous explicitons les e¤ets des services o¤erts par chaque fonds mutuel sur
les proportions qui lui sont allouées et sur les proportions allouées aux autres fonds
mutuels.
Dans le troisième essai, nous étendons ce dernier modèle en considérant la concurrence entre les fonds mutuels. Pour ce faire, nous tenons compte des objectifs des gérants
des fonds mutuels dans leurs choix de placement. Nous considérons que chacun de ces
v
gérants a la possibilité d’investir pour son propre compte. Le principal résultat de ce
modèle montre que les fonds mutuels ne peuvent pas se di¤érencier à travers leurs stratégies de placement ce qui corrobore les a¢ rmations de plusieurs des récentes études
empiriques sur l’importance de la médiatisation et de la publicité dans l’industrie des
fonds mutuels.
Le quatrième essai est présenté sous la forme d’un examen de la représentation de
la valeur ajustée à une mesure de risque dynamique cohérente proposée par Artzner,
Delbaen, Eber, Heath et Ku (2004). Nous explicitons cette représentation dans un
cadre de gestion de portefeuille et nous en proposons une application à un problème de
couverture de dette.
Classi…cation JEL : C73, G11, G12, G23, D81 et L13.
Mots clés : Gestion de la richesse, fonds mutuels, frais basés sur les actifs sous
gestion, ‡ux dynamiques, jeu di¤érentiel stochastique, mesures de risque cohérentes
dynamiques.
vi
Table des matières
Dédicace
xi
Remerciements
xii
Liste des symboles
xiii
1 Introduction
1
2 Économie et modèle de marché
4
3 Choix du taux de rémunération dans un problème de délégation de la
richesse
8
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2 Les agents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3 Taux de rémunération exogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3.1
Le problème de l’investisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3.2
L’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4 Taux de rémunération endogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.4.1
Le problème du gérant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.4.2
L’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.5 Statiques comparatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
vii
4 Choix d’investissement en présence de deux fonds mutuels
38
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2 Dynamique des fonds mutuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3 L’investisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.4 Choix d’investissement optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5 Choix de portefeuille des fonds mutuels dans un contexte de concurrence stratégique
57
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
5.2 Les joueurs et la structure d’information . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.3 Stratégie de placement pour le propre compte du gérant . . . . . . . . .
62
5.4 Choix de portefeuille optimal des fonds mutuels . . . . . . . . . . . . .
66
5.4.1
Changement de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.4.2
Caractérisation du choix optimal . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.5 Les stratégies d’investissement à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6 Examen de la valeur ajustée par une mesure de risque dynamique
cohérente
86
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.2 La valeur ajustée comme solution à une équation di¤érentielle stochastique rétrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.2.1
Stabilité et concaténation des mesures de probabilité . . . . . .
91
6.2.2
Simpli…cation de la représentation de la valeur ajustée . . . . .
93
viii
6.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1
101
Comportement de la valeur ajustée dans un cas d’investissement
optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
Cas de couverture non parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
6.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
6.3.2
7 Conclusion
112
Bibliographie
115
ix
Table des …gures
3-1 Aversion au risque agrégée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3-2 Sensibilité au taux de rémunération dans le cas où
>1 . . . . . . . .
25
3-3 Sensibilité au taux de rémunération dans le cas où
<1 . . . . . . . .
26
3-4 Sensibilité de
au taux d’appréciation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3-5 Sensibilité de
à la volatilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3-6 Sensibilité de
au taux d’intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4-1 Stratégie optimale de l’investisseur en présence de deux fonds mutuels .
49
5-1 Structure de l’information entre l’investisseur et les gérants des fonds
mutuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
5-2 E¤et d’un changement du choix de portefeuille des fonds mutuels . . .
74
5-3 Utilité espérée de l’investisseur et valeur marchande de la rémunération
cumulée correspondant à di¤érents équilibres . . . . . . . . . . . . . . .
x
84
À ma Hend
à mes parents,
à mes frères,
à mes belles-soeurs,
à mes nièces, à Bornia.
xi
Remerciements
J’aimerais commencer par remercier Dr. Michèle Breton, ma directrice de recherche,
pour son encadrement exemplaire, pour son soutien permanent, pour tous ses commentaires pertinents et pour tout ce qu’elle m’a apporté tant sur le plan professionnel que
sur le plan humain.
Je suis hautement reconnaissant à toute l’aide apportée par Dr. Julien Hugonnier.
Je le remercie pour m’avoir fait con…ance, pour ses excellents enseignements en …nance
mathématique, pour sa disponibilité, pour les très nombreuses discussions, souvent passionnées et passionnantes, que j’ai eues avec lui et pour toute la motivation qu’il n’a
cessé de m’apporter.
J’aimerais remercier Dr. Benjamin Croitoru pour son soutien, son aide et pour tout
ce que m’apporte son amitié.
Je remercie aussi Dr. Tony Berrada pour tous ses conseils et tous ses commentaires
judicieux.
Un grand merci à Dr. Jean-François L’Her qui m’a initié au travail de recherche et
qui a énormément contribué à ma formation académique.
Merci à Dr. Georges Zaccour pour avoir été disponible et pour avoir trouvé les bons
mots dans les moments les plus di¢ ciles de mon cursus doctoral.
Je tiens également à remercier Lise-Cloutier Delage pour tout ce qu’elle fait pour
faciliter la vie aux étudiants de doctorat. Un grand merci à Renée Bouchard pour sa
disponibilité, son e¢ cacité et son aide permanente.
J’aimerais …nalement remercier le Ministère tunisien de l’enseignement supérieur, le
Centre de recherche en e-…nance (CREF) et l’Institut de …nance mathématique (IFM2)
pour leur soutien …nancier.
xii
Liste des symboles
Constantes :
: coe¢ cient d’aversion au risque "agrégée".
: taux de rémunération des gérants.
: coe¢ cient d’aversion au risque de l’investisseur.
: vecteur colonne, de dimension n, des taux d’appréciation des actifs risqués de
base.
: coe¢ cient d’aversion au risque du gérant.
: coe¢ cient d’actualisation subjectif.
r : taux d’intérêt.
: matrice (n
n) des coe¢ cients de volatilité des actifs risqués de base.
: vecteur colonne, de dimension n, du prix au marché du risque sous la probabilité
physique.
: vecteur colonne, de dimension n, des proportions investies dans chaque actif de
base risqué par l’investisseur.
:=
0
: vecteur colonne, de dimension n, des coe¢ cients de volatilité des actifs
sous gestion.
Processus :
B : mouvement brownien standard, de dimension n, sous la probabilité physique.
C : consommation de l’investisseur.
: vecteur colonne, de dimension 2, des proportions de la richesse de l’investisseur
investies dans chaque fonds mutuel.
i
: vecteur colonne, de dimension n, des proportions investies dans chaque actif de
base risqué par le gérant i.
xiii
:=
i
0
i
: vecteur colonne, de dimension n, des coe¢ cients de volatilité du fonds
mutuel i.
: vecteur colonne, de dimension n, des montants investies dans chaque actif de
i
base risqué par le gérant i pour son propre compte.
i
: rémunération cumulée du gérant i.
F
i
: rendement espéré instantané du fonds mutuel i.
F
i
: coe¢ cient de volatilité du rendement instantané du fonds mutuel i.
ij
: covariance entre les rendements instantanés des deux fonds mutuels.
Ai : rendement espéré instantané o¤ert par le fonds mutuel i ajusté par son risque
relatif.
: déterminant de la matrice de variance-covariance des rendements instantanés
des deux fonds mutuels.
ij
: quantité de risque instantanée du fonds mutuel i par rapport au fonds mutuel
j, i = 1; 2 ; j = 1; 2 et i 6= j.
i
: ratio de Sharpe, après déduction des frais, du fonds mutuel i.
: vecteur colonne, de dimension 2, représentant le ratio de Sharpe, après déduction
des frais, des deux fonds mutuels pris conjointement.
xiv
Chapitre 1
Introduction
Depuis la …n de la deuxième guerre mondiale, le nombre des fonds mutuels n’a cessé
de croître incitant de plus en plus de travaux académiques à étudier cette industrie.
Cela a principalement commencé dans le milieu des années 1960 avec, comme première
référence des études empiriques, le papier de Jensen (1968). L’une des principales préoccupations de ces recherches a été de déterminer la performance enregistrée par les
fonds mutuels et de voir si leur prétendue expertise dans les choix de placement est
véri…ée empiriquement. Cette question a, depuis, fait l’objet de plusieurs études dont
les conclusions sont assez mitigées. Les travaux de Carhart (1997) et Daniel, Titman,
Grinblatt et Wermers (1997) sont un témoignage de la divergence des analyses faites
sur la capacité des gérants des fonds mutuels à apporter une valeur ajoutée dans le
choix des stratégies d’investissement.
L’autre volet des études faites sur la délégation de la gestion de portefeuille concerne
les modèles théoriques. Les premiers de ces travaux, Samuelson (1969) et Merton (1969),
avaient pour objectif la détermination de la sélection du portefeuille optimal d’un agent
agissant seul.
Ces travaux ont été d’un apport considérable à la recherche dans le domaine. Ils
présentent, cependant, l’inconvénient de ne pas tenir compte d’une importante réalité
1
inhérente aux problèmes de délégation de la gestion de portefeuille. En e¤et, la croissance des fonds mutuels a toujours été accompagnée d’une controverse sur le choix des
frais de gestion qui font l’objet d’un con‡it d’intérêt entre les gérants des fonds mutuels et les investisseurs qui détiennent ces fonds. Cette controverse a été à l’origine de
nombreuses publications tant au niveau légal qu’au niveau académique. L’autre inconvénient de ces premiers travaux, ainsi que de l’ensemble des travaux théoriques sur les
fonds mutuels, est d’ignorer le caractère de plus en plus concurrentiel de cette industrie.
L’objectif de cette thèse est d’aborder sur le plan théorique les questions du choix du
taux des frais ainsi que de l’impact de la concurrence dans le domaine de la délégation
de la gestion de portefeuille. Nous utilisons, pour ces …ns, des modèles plus complets
que ceux proposés dans la littérature et, ce, en insistant sur l’aspect dynamique de la
gestion de portefeuille.
Le premier essai de cette thèse étudie les choix d’investissement, de consommation
et du taux des frais de gestion dans un modèle de délégation de la richesse. Pour ce
faire, nous considérons un modèle en temps continu et à horizon in…ni où le gérant est
chargé de répartir la richesse, déléguée au début de la période, d’un investisseur unique
qui peut retirer de manière continue une partie des actifs sous gestion pour des …ns
de consommation. Les frais de gestion, annoncés par le gérant, sont appliqués de façon
continue. L’investisseur et le gérant ont des attitudes di¤érentes par rapport au risque.
Dans un deuxième essai, nous étudions le comportement d’un investisseur ayant la
possibilité de répartir sa richesse entre plusieurs fonds mutuels et un actif sans risque. Il
s’agit d’un modèle en temps continu et à horizon …ni tenant compte de la possibilité qu’a
l’investisseur de modi…er son allocation tout au long de la période d’investissement. Ce
modèle permet d’étudier l’impact sur les choix d’investissement de la dispersion dans
les « services » o¤erts par di¤érents fonds mutuels, à savoir taux de rémunération et
stratégies de placement.
Nous étendons par la suite ce modèle pour considérer la concurrence existant entre
2
des fonds mutuels ayant accès au même marché …nancier. Ainsi, nous tenons compte des
objectifs des gérants des fonds mutuels dans leurs choix de placement. Nous analysons
le comportement de ces gérants et l’impact de leurs actions sur leurs parts de marché
individuelles, sur leur part de marché agrégée relativement à une source d’investissement
alternative, en l’occurrence un actif sans risque, et également sur le comportement de
l’investisseur. À notre connaissance, aucune étude théorique dans un cadre dynamique
n’a analysé l’impact de la concurrence dans l’industrie des fonds mutuels sur les décisions
d’investissement et sur les stratégies de portefeuille.
Pour terminer, cette thèse traite également de la mesure de risque cohérente dans un
cadre dynamique dans le même modèle de marché en temps continu. Nous proposons une
explicitation de la représentation de la valeur ajustée à une mesure de risque cohérente
donnée par Artzner, Delbaen, Eber, Heath et Ku (2004). Il s’agit d’une contribution à
la compréhension de la mesure de risque cohérente dans un cadre dynamique et à son
application à des problèmes d’investissement.
La suite de cette thèse est structurée comme suit. Dans le chapitre 2, nous présentons
l’économie et le modèle de marché qui sont communs à toute la thèse. Dans le chapitre
3, nous déterminons une forme analytique du taux de rémunération dans un problème
de délégation de la richesse. Le chapitre 4 est consacrée à la résolution du problème
de sélection de portefeuille d’un investisseur ayant la possibilité de répartir sa richesse,
de façon dynamique, entre un actif sans risque et deux fonds mutuels. La concurrence
entre ces deux fonds mutuels et son impact sur leurs choix de portefeuille ainsi que sur
la réaction de l’investisseur est analysée dans le chapitre 5. Dans le chapitre 6, nous
examinons la valeur ajustée à une mesure de risque cohérente dans un cadre dynamique.
Le chapitre 7 conclut.
3
Chapitre 2
Économie et modèle de marché
Nous considérons une économie en temps continu. L’incertitude est représentée par
un espace de probabilité ( ; F; P ) sur lequel est dé…ni un mouvement brownien standard, de dimension n, représenté par le vecteur colonne Bt = (Bt1 ; : : : ; Btn )0 , où 0 dénote
la transposition. Nous supposons que B0 = 0 P -presque sûrement. La …ltration générée
par le mouvement brownien est notée FtB .
Dans le cas à horizon …ni [0; T ], tous les processus sont supposés adaptés à la …ltration (Ft )0
t T.
Celle-ci représente l’augmentation (par les ensembles nuls de FTB ) de la
…ltration générée par le mouvement brownien.
Dans le cas où l’horizon est in…ni, nous utilisons la notion d’adaptabilité restrictive
dé…nie par Karatzas et Shreve (1998). Un processus (Yt )0
t<1
est dit restrictivement
adapté si pour tout T 2 [0; 1], il existe Te 2 [T; 1) tel que le processus restreint
(Yt )0
t T
est adapté à la …ltration FtB
0 t T
augmentée par les ensembles nuls de FTB
e.
Toutes les égalités et les inégalités qui mettent en relation des variables aléatoires
sont entendues au sens presque sûrement ou presque partout dépendamment du contexte.
Toutes les quantités sont exprimées en unités du numéraire représentant l’unique
bien périssable de l’économie. Les véhicules d’investissement dans le marché …nancier
sont représentés par n + 1 actifs de base, à savoir des actions et une obligation sans
4
risque. Tous les actifs sont transigés de façon continue.
Le premier de ces actifs est une obligation sans risque dont le prix St0 à l’instant t
évolue selon l’équation :
dSt0 = St0 rdt ; S00 = 1 ;
(2.1)
où r représente le taux d’intérêt.
Les n autres actifs de base sont des actions, donc des actifs risqués. L’évolution du
prix individuel Stj de la j eme action à l’instant t est modélisée par l’équation di¤érentielle
stochastique suivante :
dStj = Stj
j dt
+
j dBt
; S0j 2 (0; 1) ; j = 1; : : : ; n:
(2.2)
Le vecteur ligne, de dimension n, représentant les coe¢ cients de volatilité de l’action j, noté
j
:= (
j1 ; : : : ;
jn ),
est tel que
jk ,
k = 1; : : : ; n, représente l’intensité
instantanée avec laquelle la k eme source d’incertitude in‡uence le prix de la j eme action.
j
représente le taux d’appréciation de la j eme action.
Le taux d’intérêt r, le vecteur colonne des taux d’appréciation, de dimension n,
:= ( 1 ; : : : ;
0
n) ,
et la matrice de volatilité, de dimension (n
n),
:= ( 01 ; : : : ;
0 0
n) ,
représentent ce qui est communément appelé les coe¢ cients du modèle. Nous les supposons constants. De plus, nous supposons que la matrice
est inversible.
Nous sommes, de ce fait, dans un cadre de marché complet nous permettant de
dé…nir l’unique prix au marché du risque, un vecteur de dimension n, noté par :
: = ( 1; : : : ;
: =
1
5
[
0
n)
r1n ]
(2.3)
où 1n := (1; : : : ; 1)0 est un vecteur colonne de dimension n dont chaque élément est égal
à 1.
Ces notations et ces hypothèses seront utilisées dans toute la thèse. À l’exception
du chapitre 3 où l’horizon de temps est supposé in…ni, l’économie que nous considérons
est à horizon borné [0; T ].
Pour les …ns des chapitres 4 et 5, nous dé…nissons l’unique processus de densité de
prix des états, noté Ht :=
Mt0
St0
où M 0 est une P -martingale s’exprimant comme suit :
0
Mt0 := e
Bt
t
k
2
k2
(2.4)
:
La quantité Ht (!) est interprétée comme le prix Arrow-Debreu pour une unité de
probabilité P d’une unité de consommation à l’état ! 2
et à l’instant t.
Les résultats obtenus dans le chapitre 4 peuvent êtres généralisés au cas où les
coe¢ cients du marché sont stochastiques et constituent des processus uniformément
bornés. Les résultats du chapitre 5 sont, quant à eux, généralisables au cas où ces
coe¢ cients sont déterministes.
Dans le chapitre 6, nous utilisons un modèle qui incorpore une certaine incertitude
sur le prix au marché du risque. Pour ce faire, nous introduisons un vecteur de perturbations tychastiques q := (q1 ; : : : ; qn )0 correspondant aux éléments du vecteur . À chaque
vecteur de perturbations q, nous faisons correspondre une mesure de probabilité dé…nie
par P q (A) := E [MTq 1A ], 8A 2 FT , où M q est une P -martingale représentée par :
Mtq := e
( +q)0 Bt
t
k
2
+qk2
:
Sous cette mesure de probabilité P q , et en appliquant le théorème de Girsanov, le
6
processus exprimé par :
Btq = Bt + t ( + q)
est un mouvement brownien standard.
Exprimée en fonction du mouvement brownien B q , la dynamique du vecteur des
0
actifs risqués St := (St1 ; : : : Stn ) satisfait l’équation di¤érentielle stochastique suivante :
dSt = diag [St ] ( dt + dBt )
= diag [St ] ([r1n
q] dt + dBtq ) ; S0 2 (0; 1)n :
Le cas q = 0n correspond à la mesure de probabilité risque neutre sous laquelle le
processus du prix actualisé des actifs risqués est une martingale. Nous notons par P 0
cette probabilité et par B 0 le mouvement brownien standard lui correspondant.
7
Chapitre 3
Choix du taux de rémunération
dans un problème de délégation de
la richesse
3.1
Introduction
La gestion de la richesse est l’une des principales activités des institutions …nancières. Les prestations de ce service sont le plus souvent "taillées sur mesure" pour
chaque client. Ainsi, les décisions de placement et des frais appliqués sont fonction des
préférences propres, à savoir les objectifs et le degré de tolérance au risque, de la personne désirant déléguer la gestion de sa richesse. Par ailleurs, ces décisions dépendent
tout naturellement des conditions du marché.
L’objet de ce chapitre est d’étudier un modèle de délégation de la richesse d’un
investisseur à un gérant a…n de déterminer les choix d’investissement ainsi que les taux
des frais de gestion1 correspondant à une situation d’équilibre. Il s’agit d’un modèle à
1
Nous supposons que les frais de gestion représentent la totalité de la rémunération du gérant. De
ce fait, les termes « rémunération» et « frais de gestion» seront utilisés indi¤éremment dans ce texte.
8
horizon in…ni où le gérant est chargé de répartir la richesse d’un investisseur unique
qui peut retirer de manière continue une partie des actifs sous gestion pour des …ns de
consommation.
Plusieurs études académiques ont considéré le modèle de délégation de la gestion de
portefeuille avec l’objectif de déterminer la structure de compensation des gérants. Nous
commençons par citer Starks (1987) qui étudie l’impact de la structure du contrat de
rémunération des gérants de fonds mutuels sur leurs choix de portefeuille. Deux types de
contrats sont comparés dans ce travail, appelés respectivement "symétriques" et "avec
bonus". Le contrat "symétrique" stipule que le gérant reçoit, comme rémunération,
un pourcentage de la valeur au marché des actifs auquel on ajoute un bonus ou une
pénalité dépendamment du fait que le rendement du portefeuille géré a été supérieur
ou inférieur au rendement d’un portefeuille de référence, généralement un indice de
marché. Dans le contrat "avec bonus", la rémunération est asymétrique dans le sens où,
par rapport au contrat précédent, une mauvaise performance n’est pas sanctionnée. Le
modèle, statique, est de type principal/agent, l’agent étant le gérant du fonds mutuel
et le principal étant un investisseur représentatif. Chacune des deux parties maximise
l’utilité espérée de sa richesse. L’auteur montre que le contrat "symétrique" permet
d’aligner l’intérêt du gérant à celui de l’investisseur. Ce n’est pas le cas du contrat
"asymétrique" qui incite le gérant à s’exposer à davantage de risque.
Grinblatt et Titman (1989) étudient les contrats où la rémunération des gérants est
basée sur la performance relative à un portefeuille de référence, qui est généralement
dans le cas de données américaines l’indice S&P 500. La majorité de ces contrats étant
"asymétriques", au sens mentionné plus haut, les gérants sont incités à augmenter le
risque idiosyncrasique lié au portefeuille géré du fait que ce type de contrat s’apparente à
une option européenne d’échange du portefeuille géré contre le portefeuille de référence.
A…n d’atténuer cette tendance à une exposition au risque non appropriée, les auteurs
suggèrent que ce type de contrat doit contenir un plafond de rémunération ainsi qu’une
9
pénalité pour les performances inférieures à celle de l’indice de référence. De plus, ce
type de contrat doit être accompagné d’une restriction sur l’investissement que peuvent
faire les gérants pour leur propre compte.
Dans un modèle également statique, Admati et P‡eiderer (1997) mettent en question
la pertinence, par rapport aux intérêts de l’investisseur, de la prise en compte d’un
portefeuille de référence dans les contrats de rémunération basés sur la performance. Un
des résultats de leur modèle, particulièrement intéressant ici, est qu’une rémunération
basée sur le seul rendement pris en terme absolu permet d’aligner l’intérêt du gérant à
celui de l’investisseur.
Dans la lignée des travaux qui s’intéressent à la structure optimale d’un contrat de
rémunération, et dans un cadre théorique qui ressemble davantage à celui étudié ici,
Ou-Yang (2003) considère un modèle en temps continu et horizon …ni dans lequel il
analyse la relation entre un investisseur et un gérant de fonds. Le contrat de forme
"symétrique" s’avère être optimal. Par ailleurs, le portefeuille de référence à considérer
doit être un "indice actif" dans lequel les proportions investies dans les actifs risqués
varient avec le temps. L’auteur fait l’hypothèse, très restrictive, que l’investisseur ne
peut modi…er le montant des actifs sous gestion au cours de la période d’investissement.
Le gérant, qui décide uniquement de la répartition de la richesse, est payé à la …n de la
période d’investissement.
Cadenillas, Cvitanic et Zapatero (2005) reprennent le même cadre économique en
permettant cependant à l’investisseur de payer le gérant à un taux continu s’ajoutant
à un paiement à la …n de la période. Le principal résultat de cette étude est que la
structure optimale de rémunération o¤erte par l’investisseur est linéaire dans les cas
suivants : soit les fonctions d’utilité des deux joueurs sont exponentielles, possiblement
avec des aversions au risque di¤érentes, soit les fonctions d’utilité sont de type puissance
mais toutefois avec des aversions au risque identiques.
Sannikov (2004) considère un problème de délégation de la richesse reprenant un
10
cadre en temps continu et horizon in…ni. À la di¤érence, parmi d’autres, de ce qui est
fait ici, l’auteur considère que l’investisseur est neutre au risque.
Les études citées précédemment révèlent l’optimalité des contrats dits "symétriques".
Une large littérature sur les problèmes de principal/agent soutient également l’optimalité de la forme linéaire pour les contrats de rémunération. Le travail de référence dans
ce cadre est celui de Hölmstrom et Milgrom (1987). Les travaux de Schättler et Sung
(1992) et Sung (1995) en sont des extensions et corroborent, globalement, le même
résultat.
En considérant une rémunération e¤ectuée de manière continue sur l’ensemble de
la période, les contrats de forme linéaire tiennent compte aussi bien du montant des
actifs sous gestion que de l’évolution des prix des actifs de base. Ainsi, Golec (1992)
juge qu’une telle compensation est une matérialisation d’un système combinant une
rémunération de base avec une rémunération incitative.
En nous appuyant sur les travaux cités plus haut, nous supposons dans ce chapitre
que la rémunération du gérant prend la forme d’une proportion constante des actifs
sous gestion. Cependant, nous utilisons ici une approche di¤érente. En e¤et, notre
modèle s’appuie sur le fait que les termes du contrat portant sur une délégation de la
gestion de portefeuille ne sont généralement pas déterminés par l’investisseur. À notre
connaissance, l’unique travail qui considère un modèle où le choix de rémunération est
décidé par le gérant et non pas par l’investisseur est celui de Das et Sundaram (2002).
Nous modélisons, donc, le cas réaliste où un investisseur voulant déléguer la gestion
de sa richesse se présente à une institution sans imposer un quelconque contrat. Dépendamment de l’attitude de cet investisseur par rapport au risque et de ses objectifs,
le gestionnaire lui propose un plan d’allocation moyennant des charges. L’investisseur
peut accepter ou non le contrat proposé par le gestionnaire. Nous supposons également
que l’investisseur retire régulièrement des fonds de l’actif sous gestion pour des …ns de
consommation. Les décisions de placement prises par le gestionnaire ont clairement un
11
e¤et sur les modalités de retrait e¤ectué par l’investisseur tout au long de la période
considérée. Nous supposons que les deux agents ont une information parfaite et que
leur engagement est à long terme, d’où le choix d’un horizon in…ni.
Nous étudions la relation entre l’investisseur et le gestionnaire de fonds dans le cadre
d’un jeu dynamique. La structure d’information est asymétrique. En e¤et, l’investisseur
ne tient pas compte du fait que le choix de son plan de consommation a un e¤et sur les
décisions du gérant (ce qui est équivalent à supposer que l’investisseur ne se commet
pas à l’avance quant à son plan de consommation). Par contre, le gérant annonce sa
stratégie de placement et sa structure de rémunération et agit de façon stratégique,
tenant compte de la réaction de l’investisseur. Les stratégies d’équilibre sont telles
qu’aucun des deux agents n’a avantage à en dévier unilatéralement, compte tenu de
cette structure d’information.
Ce chapitre est organisé comme suit. Les agents et la structure d’information sont
présentés à la section 3.2. Dans la section 3.3, nous trouvons les stratégies d’équilibre
dans le cas où la rémunération du gérant est …xée de façon exogène. Dans la section
3.4, nous déterminons le taux de rémunération à l’équilibre dans le cas où le gérant
l’incorpore dans sa décision. La section 3.5 est consacrée à l’interprétation économique
des résultats à l’équilibre. La section 3.6 conclut.
3.2
Les agents
Les agents prenant place dans l’économie sont représentés par un investisseur et un
gestionnaire de portefeuille chargé de répartir la richesse du premier. La délégation se
fait au début de la période d’investissement. Le gérant décide des proportions,
1
n 0
t;:::; t ,
t
:=
de la richesse de l’investisseur à allouer entre les di¤érents actifs risqués.
La proportion investie dans l’actif sans risque est 1
0
t 1n .
Aucune restriction n’est
faite sur les ventes à découvert ou sur les montants à détenir dans les divers actifs. Les
12
frais de gestion, représentant la rémunération du gérant, sont retirés de façon continue
selon un taux
2 R+ . Nous considérons aussi bien le cas où ce taux est donné de façon
exogène, section 3, que le cas où il est incorporé dans les décisions du gérant, section 4.
Par ailleurs, l’investisseur décide de la quantité positive Ct de la richesse à consommer
instantanément tout au long de la période d’investissement.
La dynamique du montant des actifs gérés, équivalent à la richesse de l’investisseur,
satisfait l’équation di¤érentielle stochastique suivante :
dWt = (1
dSt0
0
1
)
W
t
t n
St0
= Wt ([r +
où
t
:=
0
t
0
t
] dt +
+
n
X
j=1
0
t dBt )
dStj
j
W
t
t
Stj
Wt dt
Wt dt
Ct dt
Ct dt ; W0 > 0
(3.1)
est un vecteur colonne, de dimension n, des coe¢ cients de volatilité des
actifs sous gestion et W0 représente la richesse initiale de l’investisseur déléguée au
gérant. Il est apparent dans (3:1) que Wt dépend de W0 , Ct ,
et
t.
L’ensemble des sentiers de vecteurs de proportions admissibles est noté
que pour
et est tel
et Ct donnés, la solution à (3:1) est non négative.
L’ensemble des sentiers de consommation admissibles est noté C et est tel que le proRT
cessus de consommation est non négatif, restrictivement adapté et satisfait 0 Ct dt < 1
pour tout T 2 [0; 1).
Nous supposons que l’utilité retirée par le consommateur et celle retirée par le
gérant à tout instant d’une consommation z prennent la même forme générale, mais
qu’ils ont cependant une attitude di¤érente par rapport au risque. Ainsi, l’utilité pour
l’investisseur d’une consommation z est donnée par uI (z) :=
z1
1
;
2 (0; 1) = f1g,
alors que l’utilité pour le gestionnaire d’une consommation z est donnée par uG (z) :=
z1
1
;
2 (0; 1) = f1g.
Chacun des agents cherche à maximiser l’espérance de la somme actualisée de l’uti13
lité de sa consommation. Ainsi, à travers ses choix de consommation, l’objectif de
l’investisseur est de maximiser :
UI ( ; ; C) = E
Z
1
e
It
(3.2)
uI (Ct ) dt
0
où
I
représente la valeur temps pour l’investisseur.
À travers ses choix de stratégie d’investissement et, s’il y a lieu, de taux de rémunération, le gérant cherche à maximiser :
UG ( ; ; C) = E
Z
1
e
Gt
(3.3)
uG ( Wt ) dt
0
où
G
représente la valeur temps pour l’investisseur.
Dans le but d’alléger l’écriture, nous supposons dorénavant que
I
=
G
= . Cette
hypothèse ne modi…e pas l’essence de nos résultats.
La structure d’information que nous préconisons est basée sur les hypothèses suivantes sur le déroulement du jeu et le comportement des agents. Le gestionnaire annonce sa stratégie de placement et son taux de rémunération. Il tient compte du fait
que l’investisseur ajustera sa consommation à l’évolution de sa richesse, et, partant,
à ses stratégies. Par ailleurs, il est raisonnable de supposer que l’investisseur n’a pas
conscience que ses propres décisions de consommation ont une in‡uence sur les décisions du gérant. De façon équivalente, l’investisseur n’annonce pas à l’avance sa stratégie
de consommation, il l’adapte plutôt à l’évolution de sa richesse. Puisque l’investisseur
peut observer sa richesse à tout instant, et qu’il connaît la stratégie de placement
du gestionnaire ainsi que son taux de rémunération, une stratégie de l’investisseur est
C (Wt ; ; ; t) : R+
R+
[0; 1)
! C. Pour des …ns de simpli…cation, nous
14
utilisons, pour la suite du chapitre, Ct comme notation de la stratégie de l’investisseur.
Un équilibre à ce problème est un triplet de stratégies ( ;
;C ) 2
R+
C
telles que :
– Le plan de consommation Ct est optimal pour l’investisseur pour une stratégie
de placement
et, s’il y a lieu, un taux de rémunération
choisis par le gérant.
Autrement dit :
UI ( ;
;C )
UI ( ;
; C) ; 8C 2 C:
– La combinaison de la stratégie de placement
rémunération
et, le cas échéant, du taux de
est optimale pour le gérant étant donné le processus de la richesse
généré par le plan de consommation C , à savoir :
UG ( ;
;C )
UG ( ; ; C ) ; 8 ( ; ) 2
R+ :
Les étapes à suivre pour résoudre l’équilibre du jeu se présentent comme suit :
1. Déterminer la fonction de réaction de l’investisseur à un processus de placement
et un taux de rémunération
arbitraires, à savoir le processus :
b (Wt ; ; ; t) := argmaxC 2C E
C
t
Z
1
e
t
uI (Ct ) dt
0
où l’évolution de la variable d’état représentant la richesse W est directement
in‡uencée par
et .
2. Incorporer la meilleure réponse de l’investisseur dans le problème d’optimisation
du gérant pour déterminer les valeurs optimales des proportions allouées aux
di¤érents actifs et, le cas échéant, du taux de rémunération. Ainsi, en dénotant
15
c le processus de richesse induit par C
b sous
W
Cas où
Cas où
x
est exogène :
est endogène
( ;
:= argmax
2
et, s’il y a lieu, ,
E
Z
; )2
e
t
ct ( ) dt
W
uG
0
:
) : = argmax(
1
R+
E
Z
1
e
0
t
uG
ct ( ; ) dt :
W
3. En déduire la consommation Ct correspondant à l’équilibre, ainsi que les valeurs
des fonctionnelles d’utilité et la dynamique de la richesse.
Dockner, Jorgensen, Van Long et Sorger (2000) présentent une discussion intéressante sur les jeux di¤érentiels hiérarchiques à horizon in…ni et con…rment le fait que les
hypothèses de stratégie constante ou linéaire par rapport à l’état pour le leader du jeu
(le gérant dans ce modèle) et de stratégie markovienne pour le follower du jeu (l’investisseur dans ce modèle) sont généralement déterminantes pour obtenir des équilibres
dynamiquement cohérents. Dans ce chapitre, nous nous appuyons sur les résultats des
modèles d’optimisation en horizon in…ni, et en présence de coe¢ cients constants, pour
supposer une stratégie de placement
stationnaire. Ceci facilite la résolution de notre
jeu et nous permet de véri…er la cohérence dynamique de l’équilibre que nous obtenons.
3.3
Taux de rémunération exogène
Dans cette section, nous analysons le cas où le taux de rémunération est exogène et
où le gérant décide uniquement de sa stratégie d’investissement.
16
3.3.1
Le problème de l’investisseur
Nous déterminons la meilleure réponse de l’investisseur à toute stratégie de placement constante
2
.
Proposition 3.1 Pour une stratégie
1
+
où
:=
0
(r +
et un taux de rémunération
0
1
)
2
tels que
k k2 > 0;
(3.4)
, le processus de consommation correspondant à la meilleure réponse de
l’investisseur est :
bt = b
ct
C
cW
où
b
c :=
1
+
(r +
0
(3.5)
)
1
2
k k2
ct , le processus de richesse correspondant à b
et W
c, est tel que :
ct = W0 e( 1 (r+
W
Preuve 3.1 Soient et
0
)+
2
2
k k2 )t+ 0 Bt
(3.6)
:
…xés. La fonction valeur VtI (W ) du problème de l’investisseur
résout l’équation de HJB suivante :
sup
Ct 2C
La fonction
@V I
[Wt (r +
@W
n
Ct1
1
@V I
C
@W t
0
o
)
Ct ] +
1 @2V I 2
W k k2
2 @W 2 t
VI +
Ct1
1
= 0:
étant concave, nous pouvons facilement voir que la meilleure
17
1
réponse de l’investisseur s’écrit Cbt =
@V I
@W
. En conjecturant que V I = K I W1
1
où
K I est une constante, nous obtenons
"
@V I
Wt (r +
0 =
@W
0
1
@V I
@W
)
#
1
+
@V I
@W
I
2
1@ V
W 2 k k2
2 @W 2 2 t
= K I Wt1
4r
VI +
1
+
1
1
k k2 +
2
0
1
KI
1
3
5:
Ainsi, K I doit véri…er
KI
1
1
=
(r
1
@V I
@W
Il su¢ t de voir que
= KI
)+
1
1
+
1
0
2
k k2 :
ct pour déduire l’expression de Cbt .
W
Pour que la preuve soit complète, il faut véri…er la condition de transversalité correspondant à
lim E e
T
T !1
Nous avons VTI (W ) = (b
c)
e
T
c1
W
T
1
VTI (W ) = 0.
cT = W0 e[ 1 (r+
et W
VTI (W ) = uI (W0 ) (b
c)
18
e
b
cT (1
e
0
)+
) 0 BT
2
2
k k 2 ]T + 0 B T
)2
(1
2
k k2 T
.
. D’où,
Ainsi,
T
lim E e
T !1
VTI (W )
= uI (W0 ) (b
c)
lim e
T !1
b
cT
= 0
) 0 BT
où la première égalité vient du fait que e(1
)2
(1
2
k k2 T
deuxième vient du fait que la condition (3:4) implique b
c :=
est une P -martingale et la
bt
C
c
Wt
> 0.
Dans le cadre où les coe¢ cients du marché sont constants et où la stratégie d’in-
vestissement ainsi que le taux de rémunération sont constants, la solution unique du
problème de l’investisseur est telle que la proportion de consommation est constante.
En combinant les équations (3:5) et (3:6), nous obtenons l’expression du processus
de consommation en fonction de la richesse initiale, des paramètres du marché et des
décisions du gérant :
bt ( ; ) = W0
C
e(
où
1
+
(r+
0
1
)+
(r +
2
2
k k
2
0
)t+
)
0
Bt
1
2
k k2
(3.7)
apparaît dans l’expression de .
3.3.2
L’équilibre
Nous notons
:=
(1 +
) et nous supposons que les paramètres du modèle
satisfont les conditions suivantes :
C1 :
>0
C2 :
+(
1) r
+
(1+2 2 )
2 2
k k2 > 0
19
C3 : (1 +
) +(
1) r
+
1
2
k k2 > 0:
Proposition 3.2 En supposant que les conditions C1-C3 sont satisfaites, le doublet
( x ; Ctx ) tel que
x
1
=
( 0)
1
(3.8)
et
Ctx = cx Wtx
(3.9)
est un équilibre dynamiquement cohérent où
cx
:
=
1
+(
1) r
+
(1 + 2
2 2
2 )
k k2
(3.10)
et
Wtx = W0 exp
1
r
(2
2
+
)
2
k k2 t +
1
0
Bt :
(3.11)
Les valeurs des objectifs des deux agents à l’équilibre sont alors exprimées par :
UI (0; W0 ; ;
x
; Ctx ) = (cx )
(3.12)
uI (W0 )
et
UG (0; W0 ; ;
x
; Ctx ) = K x uG (W0 )
(3.13)
où
1
K x :=
(1 +
) +(
20
1) r
+
1
2
k k2
:
(3.14)
Preuve 3.2 En tenant compte de la réponse optimale de l’investisseur dans la résolution du problème du gérant, et en utilisant le changement de variable
=
0
, nous
obtenons l’expression suivante de l’équation de HJB :
@V G h
Wt (r +
@W
0 = sup
2Z
@V G Wt
@W
= sup
2Z
0
0
)
@2V G
Wt + (
@W 2
1
+ Wt
2
@V G
@V G Wt
Wt +
(r
@W
@W
où Z est tel que
i 1 @2V G
b
Ct +
d hW it
2 @W 2
Wt1
1
)+
1)
1
@V G
@W
V G + uG ( W t )
k k2
VG
et V G := VtG (W ) représente la fonction valeur du problème du
2
gérant.
Nous conjecturons V G := K x W1
1
. Ainsi, nous pouvons véri…er que, pour K x et
positifs, l’expression suivante :
@V G Wt
@W
= K x Wt1
0
@2V G
1
+ Wt
Wt + (
2
@W 2
1 0
k k2
2
est concave. La solution est b =
1
1)
@V G
@W
k k2
, qui est bien constante. L’équation de HJB nous
donne la valeur de K x .
Supposons que nous permettons au gérant de déterminer un nouveau
à l’instant
ct1 à cet instant est obtenue de l’expression (3:6) appliquée à t = t1
t1 > 0. La richesse W
avec
= b. L’équation de HJB de ce nouveau problème demeure inchangée et le nouveau
optimal est le même que celui choisi à t = 0. Ainsi, l’équilibre que nous obtenons est
dynamiquement cohérent.
Ctx est obtenu en remplaçant
bt .
par sa valeur optimale dans l’expression de C
21
L’équation (3:1) permet d’obtenir l’expression de la richesse à l’équilibre, à savoir :
dWtx = Wtx
1
r
+
(2 + 1
2 2
)
k k2 dt +
1
0
dBt :
A…n de terminer la preuve, il reste à véri…er que les conditions de transversalité sont
bien satisfaites. Ainsi, pour le problème de l’investisseur,
T
lim E e
T !1
= (cx )
VTI (W x )
uI (W0 ) lim e
cx T
T !1
= 0
et, ce, du fait que C2 implique cx > 0.
Pour ce qui est de la condition de transversalité du gérant,
T
lim E e
T !1
VTG (W x )
1
= uG ( W0 ) lim e
Kx
T
T !1
= 0
puisque la condition C3 sur les paramètres implique
1
Kx
> 0.
Nous savons que dans le cas où, sous les mêmes hypothèses quant à la forme des
fonctions d’utilités, un investisseur a accès directement au marché (problème de Merton
(1971)), sa stratégie d’investissement optimale est
=
1
&
( 0)
1
, où & représente son
aversion au risque. Ainsi, si l’investisseur considéré dans ce chapitre ne déléguait pas
le placement de sa richesse, sa stratégie d’investissement serait
22
I
=
1
( 0)
1
. Par
ailleurs, si le gérant travaillait pour son propre compte, il aurait choisi de manière
optimale
G
=
1
( 0)
1
. Il apparaît que le comportement du gérant à l’équilibre dans
ce modèle de délégation de la richesse correspond à la stratégie de placement d’un
investisseur qui aurait pour aversion au risque
nous interprétons
=
(1 +
) et, pour cette raison,
dans notre modèle comme une aversion au risque «agrégée» .
Il est intéressant de comparer la stratégie d’investissement telle que décrite dans
l’équilibre de ce modèle avec celles correspondant aux situations où chacun agit pour
son propre compte. La …gure (3
1) permet d’illustrer cette étude comparative.
Dépendamment des coe¢ cients d’aversion au risque de l’investisseur et du gérant,
nous pouvons distinguer quatre zones auxquelles peut appartenir
1.
:
< 1 : dans ce cas, l’aversion agrégée est supérieure ou égale à l’aversion du
gérant et est inférieure ou égale à celle de l’investisseur.
2.
<
et
< 1 : ce cas est semblable au précédent dans le sens où l’aversion
agrégée est comprise entre l’aversion de l’investisseur et celle du gérant.
3. 1 <
: dans ce cas, l’aversion agrégée est supérieure ou égale à l’aversion la
plus élevée.
4.
<
< 1+
et
> 1 : ceci correspond à une situation inverse de la précédente.
L’aversion au risque agrégée est alors inférieure à la plus petite aversion.
En étudiant le signe de
, il est apparent qu’il est le même que celui de
: le
fait de déléguer sa richesse à un gérant ayant une plus grande aversion au risque rend
l’investisseur moins exposé aux actifs risqués, et inversement. Ainsi, pour l’investisseur,
le fait de déléguer la gestion de ses actifs à un gérant ayant une aversion au risque
di¤érente a un résultat «prévisible» .
Néanmoins, du point de vue du gérant, les conclusions sont moins claires. Ainsi, en
étudiant le signe de
si
, il est apparent qu’il est le même que celui de
seulement
est inférieur à 1. Le gérant modi…e sa stratégie dans le sens désiré par l’investisseur
23
κ =1
ν
κ
=
ν
κ
+ν
1
=
ν>δ>κ
δ>ν>κ
0
κ>
ν>
δ
κ
1
κ>δ>ν
Fig. 3-1 –L’aversion au risque agrégée
individuelles et
par rapport aux aversions au risque
si ce dernier a une faible aversion au risque. Dans le cas contraire, l’aversion agrégée va
dans le sens contraire de celui désiré par l’investisseur.
Dans les paragraphes qui suivent, nous illustrons l’impact de la variation du taux de
rémunération sur les fonctions objectifs des deux agents à l’équilibre. Dans chacun des
cas illustrés, l’intervalle de variation de
est choisi de sorte que les conditions C1-C3
soient satisfaites.
Le graphique (3
2) est une illustration de la sensibilité des fonctionnelles d’utilité
à l’équilibre à di¤érentes valeurs des taux de rémunération dans le cas où
> 1 et
> 1.
D’un point de vue statique, le taux de rémunération a clairement un e¤et positif sur
l’utilité directe du gérant. Néanmoins, la dynamique de la richesse à l’équilibre montre
que ce même taux agit, de façon assez prévisible, négativement sur les actifs sous gestion.
L’e¤et global sur la fonctionnelle d’utilité n’est donc, a priori, pas très clair. D’ailleurs,
la …gure (3
2) illustre un cas où cette relation est strictement concave. Il existerait
24
Taux de rémunération
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
-50
-100
Utilité du consommateur
Utilité du gérant
-150
Fig. 3-2 – Sensibilité des fonctionnelles d’utilité par rapport au taux de rémunération. = 2 ; = 2 ; = 0; 03 ; r = 0; 02 et k k2 = 0; 04.
donc un taux de rémunération qui maximiserait l’utilité du gérant à l’équilibre.
Pour ce qui est du consommateur, le cas où
> 1 est facile à analyser. Ainsi, il
est apparent, à travers l’expression de Ctx que, dans ce cas, le taux de rémunération
agit négativement sur la proportion de la richesse à consommer et sur la richesse elle
même. La fonctionnelle d’utilité de l’investisseur décroît par conséquent avec le taux de
rémunération. C’est ce qui est illustré par le graphique (3
Pour le cas où
2).
< 1, le taux de rémunération agit positivement sur la proportion
de la richesse à consommer et il devient de ce fait moins évident de prévoir la relation
globale entre l’utilité de l’investisseur et . La …gure (3
3) illustre l’e¤et total pour
des valeurs particulières des paramètres du modèle.
Dans cet exemple, même si le taux de consommation augmente, la fonctionnelle
d’utilité de l’investisseur reste décroissante. Ceci montre que l’e¤et de la diminution
de la richesse domine celui de l’augmentation de la proportion de consommation. Nous
pouvons voir à travers l’équation (3:12) que ce résultat est général pour tout
25
< 1.
200
125
50
Taux de rémunération
-25 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
-100
Utilité du consommateur
-175
Utilité du gérant
Fig. 3-3 – Sensibilité des fonctionnelles d’utilité par rapport au taux de rémunération. = 0; 75 ; = 1; 5 ; = 0; 03 ; r = 0; 02 et k k2 = 0; 04.
Ces quelques illustrations montrent que le choix du taux de rémunération présente
un enjeu stratégique. C’est ce côté que nous explorons dans la section qui suit en
intégrant le taux de rémunération dans les décisions du gérant.
3.4
Taux de rémunération endogène
Dans cette section, nous considérons que, en plus de sa stratégie d’investissement,
le gestionnaire décide de son taux de rémunération.
3.4.1
Le problème du gérant
Étant stratégique, le gérant décide de ses actions en tenant compte de la réponse de
l’investisseur. Celle-ci peut être déduite des résultats obtenus à la section précédente
du moment où le taux de rémunération est supposé constant. Ainsi, l’expression de la
consommation optimale est intégrée dans le problème du gérant.
Nous supposons que les paramètres du modèles satisfont la condition suivante :
26
C4 : (1 +
) +(
1) r +
1
2
k k2 > 0:
Proposition 3.3 En supposant que les conditions C1 et C4 sont satisfaites, alors
=
1
( 0)
1
(3.15)
et
=
t
(3.16)
Wt
représentent la stratégie de placement et le plan de rémunération optimaux pour le
gérant. Wt représente la richesse correspondante et la proportion de rémunération optimale est représentée par :
=
1
(1 +
) +(
1) r +
1
k k2
2
:
Preuve 3.3 Étant donné b
c, la fonction valeur du problème du gérant résout l’équation
de HJB suivante :
sup
( ; )2Z R+
8
>
<
@V G Wt 0
@W
>
: + @V G Wt r
@W
+
Wt
2
V
G
@2V G
Wt
@W 2
+
@V G Wt
@W
27
+(
+
1)
@V G
@W
Wt1
1
1
2
k k
@V G Wt
@W
9
>
=
>
;
= 0:
En conjecturant V G = K W1
1
, l’équation devient :
0 = sup
KWt1
0
2Z
1
+KWt1
r
k k2
Wt1
1
+ KWt1
K
Wt1
1
+ sup
KWt1
2
1
2R+
Wt
KWt
:
o
k k2 est donc bien
n 1
Wt1
KWt1
concave et nous pouvons ainsi obtenir l’équation (3:15). Par ailleurs,
1
Nous supposons que K est positif. La fonction
n
1
KWt1
KWt1
2
0
est également concave et son maximisant est
=
1
K
où K est tel que
K
1
=
1
(1 +
) +(
1) r +
1
k k2
2
:
C4 nous permet de véri…er que K est bien positif. L’expression de la fonction valeur
1
(WT )
devient V G (WT ) = ( )
où
1
1
WT = W0 e
"
r ( +1) +
28
(
2 +1
2 2
)k
#
k2 T + 1 0 BT
:
(3.17)
1
o
De ce fait, nous avons
e
T
V G (WT ) =
( )
D’où, en utilisant le fait que e
1
0
BT
1
uG (W0 ) e
(1
)2
k
2 2
k2 T
T
e
1
0
BT
(1
)2
k
2 2
k2 T
:
est une P -martingale, nous pouvons
véri…er la condition de transversalité
T
lim E e
T !1
V G (WT )
=
( )
uG (W0 ) lim e
1
T
T !1
= 0:
La stratégie d’investissement adoptée par le gérant ne change pas du fait que le
taux de rémunération est endogène. Ainsi, l’analyse comparative faite dans la section 3
concernant l’aversion "agrégée" s’applique au cas présent.
En utilisant (3:17) appliqué à l’instant t, le processus de rémunération peut être
exprimé comme suit :
t
=
W0
1
e
3.4.2
(1 +
"
r ( +1) +
) +(
(
2 +1
2 2
)k
1) r +
k
2
#
1
k k2
2
t+ 1 0 Bt
:
(3.18)
L’équilibre
Une fois les problèmes individuels résolus, il devient assez trivial de déterminer les
valeurs d’équilibre. En e¤et, la solution au problème du gérant donne directement les
29
valeurs d’équilibre de la proportion d’investissement dans les actifs risqués et du taux
de rémunération. La consommation choisie par l’investisseur est, quant à elle, déduite
de l’équation (3:5).
Nous supposons que les paramètres du modèle véri…ent
C5 : (1
2
+
) +(
2+
1) r +
2
2
2
k k2 > 0:
Proposition 3.4 En supposant que C1,C4 et C5 sont véri…ées, le triplet ( ;
; Ct )
tel que
1
=
1
=
( 0)
1
,
(1 +
) +(
1) r +
1
k k2
2
et
Ct
(3.19)
= c Wt
est un équilibre dynamiquement cohérent où
c
=
2
1
et
1
Wt
= W0 e
2
1
"
+
r ( +1) +
+(
(
2 +1
2 2
1) r +
)
!
30
#
k k2 t+ 1 0 Bt
:
+
2
2
2
k k2
(3.20)
Les valeurs des objectifs à l’équilibre de chaque agent sont alors exprimées par :
UI ( ;
; Ct ) = (c )
et UG ( ;
; Ct ) =
(3.21)
uI (W0 )
( )
(3.22)
uG (W0 ) :
Preuve 3.4 L’expression (3:19) est obtenue en remplaçant
et
par leurs valeurs
d’équilibre dans (3:5). Nous obtenons ainsi :
c
:
=
=
1
Ct
Wt
2
2
1
+
+(
1) r +
+
2
2
2
k k2
:
L’expression de la richesse (3:20) est déterminée par la prise en compte des valeurs de
c,
et
en situation d’équilibre dans l’équation di¤érentielle stochastique (3:1). Nous
utilisons cette expression pour déterminer la fonctionnelle d’utilité de l’investisseur :
UI
= E
Z
0
= (c )1
= (c )1
1
t
uI (Ct ) dt
Z 1
(1
uI (W0 )
e c tE e
Z0 1
uI (W0 )
e c t dt
e
) 0
Bt
(1
)2
k
2 2
k2 t
dt
0
= (c )
uI (W0 )
où nous avons utilisé le fait que e
(1
) 0
Bt
(1
)2
k
2 2
31
k2 t
est une P -martingale et que c > 0.
De même, nous obtenons
UG = E
Z
0
= ( )1
= ( )1
1
t
uG ( Wt ) dt
Z 1
(1
1
t
E e
uG (W0 )
e
Z0 1
1
t
e
uG (W0 )
dt
e
) 0
Bt
(1
)2
k
2 2
k2 t
dt
0
=
où e
(1
) 0
Bt
(1
)2
k
2 2
( )
k2 t
uG (W0 )
est une P -martingale et
> 0.
Les conditions de transversalités ainsi que la cohérence dynamique de cet équilibre
peuvent facilement être véri…ées en suivant la procédure utilisée dans la section précédente.
En combinant les expressions (3:19) et (3:20), nous obtenons l’expression suivante
du processus de consommation à l’équilibre :
Ct
=
2
W0
1
e
1
"
2
r ( +1) +
+
+(
(
2 +1
2 2
)
!
1) r +
#
+
2
2
2
k k2
k k2 t+ 1 0 Bt
Nous consacrons la section suivante à l’interprétation de l’e¤et des paramètres du
modèle et des coe¢ cients d’aversion au risque sur le taux de rémunération adopté à
l’équilibre.
32
3.5
Statiques comparatives
Il convient de noter que le marché peut être représenté sommairement par le vecteur
et que sa dimension n’a pas d’impact sur la solution. De ce fait, nous faisons l’étude
de sensibilité du taux de rémunération pour le cas d’un seul actif risqué.
L’e¤et du prix au marché du risque sur le taux de rémunération à l’équilibre dépend
de l’aversion au risque du gérant. Ainsi, nous avons
@
@
Pour le cas où
> 1, nous avons
2
+1
niveau minimal pour des valeurs de
le cas pour
. À l’inverse, lorsque
1
=
:
> 0, ce qui implique que la richesse est à son
très faibles, en terme absolu. Ceci est également
< 1, le taux de rémunération est à son maximum
pour un prix au marché du risque nul.
Dans l’équation (3:20), il est apparent que, de façon prévisible, la richesse à l’équilibre décroît avec le taux d’actualisation. D’après l’expression (3:16), le taux de rémunération est linéaire avec le taux d’actualisation . Le signe du coe¢ cient de linéarité
suit tout simplement le signe de (1 +
). Ainsi, lorsque
<
1, le taux de ré-
munération décroît avec le taux d’actualisation. De plus, il est facile de montrer que
le coe¢ cient de linéarité augmente avec l’aversion au risque du consommateur et qu’il
diminue avec celle du gérant.
Pour ce qui est de la sensibilté du taux de rémunération par rapport aux autres
paramètres du modèle, les conclusions sont moins simples. Pour ce faire, nous procédons
à des illustrations numériques tenant compte de di¤érentes valeurs des paramètres.
Il est généralement tentant de dire que le taux d’appréciation
a une incidence
positive sur le taux de rémunération. Ainsi, nous pouvons, a priori, penser qu’une
33
augmentation des rendements espérés des actifs risqués, toute chose étant égale par
ailleurs, augmente le potentiel de gain et que le gérant peut tirer davantage de la richesse
de l’investisseur. Toutefois, l’expression (3:16) montre que le taux de rémunération est
une fonction quadratique du taux d’appréciation. Un simple calcul de dérivée partielle
nous donne :
@
@
Le signe de
@
@
=
(
1)
2
dépend donc du signe de (
(
r) :
1) (
r). Ainsi, pour des taux d’ap-
préciation supérieurs au taux d’intérêt, le taux de rémunération décroît avec le niveau
du rendement espéré des actifs risqués et, ce, pour un coe¢ cient d’aversion au risque
relative du gérant su¢ samment faible,
idée sur la relation entre
et
< 1. La …gure (3
4) donne une meilleure
pour di¤érentes valeurs des coe¢ cients d’aversion au
risque.
La …gure (3
4) montre que le niveau général du taux de rémunération diminue
avec l’augmentation de l’aversion au risque du gérant. À l’inverse, plus l’investisseur
se montre adverse au risque et plus la proportion de compensation demandée par le
gestionnaire de la richesse est grande. Ce résultat est véri…é même pour des cas où
< 1.
Pour ce qui est de l’e¤et de la volatilité des actifs risqués sur le taux de rémunération,
elle dépend du signe de (
1). En e¤et, la dérivée partielle est exprimée comme suit :
@
@
=
(
1) (
r)2 1
3
:
Ainsi, une aversion au risque du gérant su¢ samment faible rend le taux de rémunération
croissant avec le coe¢ cient de volatilité. Autrement dit, dans le cas où
< 1, un marché
plus risqué incite le gérant à demander une plus grande proportion de compensation.
34
0.08
0.06
κ=0,9 ; ν=4
κ=1,5 ; ν=2
0.04
κ=1,2 ; ν=0,9
κ=2 ; ν=3
0.02
0.00
0.04
0.08
0.12
0.16
Taux d'appréciation
Fig. 3-4 –Sensibilité du taux de rémunération par rapport au taux d’appréciation pour di¤érentes valeurs d’aversion au risque. = 0; 03 ; r = 0; 02 et
= 0; 2.
Ce résultat s’inverse, néanmoins, pour des valeurs de
raisonnablement élevées.
L’expression qui suit montre l’e¤et du taux d’intérêt sur la demande de compensation, en terme relatif, de la part du gestionnaire de la richesse :
(
@
=
@r
1) (r
2
)
+
(
1)
:
Par rapport au taux d’appréciation et au coe¢ cient de volatilité, l’e¤et du taux
d’intérêt sur le taux de rémunération dépend non seulement de l’aversion au risque du
gérant mais également de celle de l’investisseur. La …gure (3
6) illustre les di¤érentes
possibilités pouvant survenir pour la relation entre taux d’intérêt et charges à payer au
gestionnaire de la richesse à l’équilibre.
35
0.06
0.04
κ=0,9 et ν=0,9
κ=0,9 et ν=3
κ=1,5 et ν=2
0.02
κ=2 et ν=3
0.00
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Coefficient de volatilité
Fig. 3-5 –Sensibilité du taux de rémunération par rapport au coe¢ cient de
volatilité pour di¤érentes valeurs d’aversion au risque. = 0; 03 ; r = 0; 02 et
= 0; 06.
0.08
0.06
κ=0,8 et ν=0,9
κ=0,9 et ν=1,5
0.04
κ=0,9 et ν=2,5
κ=2 et ν=3
0.02
0.00
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Taux d'intérêt
Fig. 3-6 –Sensibilité du taux de rémunération par rapport au taux d’intérêt
pour di¤érentes valeurs d’aversion au risque. = 0; 03 ; = 0; 06 et = 0; 2.
36
3.6
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons fourni une solution analytique du taux de rémunération
à l’équilibre dans un problème de délégation de la richesse d’un investisseur à un gérant.
Se distinguant de l’approche traditionnelle, notre modèle considère que le taux de
rémunération est décidé par le gérant. De plus, le modèle tient compte du fait que ce
dernier reçoit sa compensation tout au long de la période d’investissement. Nous avons
également supposé que l’investisseur a la possibilité de retirer des fonds des actifs sous
gestion pour des …ns de consommation.
Notre travail apporte une contribution à la compréhension de la relation existant
entre le taux de rémunération, les coe¢ cients du marché et les niveaux d’aversion au
risque. Le modèle que nous considérons pourrait être étendu à un cadre plus général.
Ainsi, notre modèle suppose que toute la richesse de l’investisseur est déléguée à un
unique gérant alors qu’il serait plus réaliste de considérer la possibilité à l’investisseur
de répartir sa richesse entre di¤érents instruments d’investissement.
Par ailleurs, la considération de coe¢ cients de marché stochastiques imliquerait
certainement une stratégie de placement tenant compte de l’e¤et de "couverture" et
changerait, ainsi, la nature des résultats.
37
Chapitre 4
Choix d’investissement en présence
de deux fonds mutuels
4.1
Introduction
Si dans le chapitre précédent nous avons supposé que l’investisseur déléguait entièrement la gestion de sa richesse à un gérant unique, dans ce chapitre nous nous intéressons
plutôt au choix de placement d’un agent ayant la possibilité d’investir dans deux fonds
mutuels et dans un actif sans risque. En e¤et, la prolifération des véhicules d’investissement o¤ert sous forme de fonds mutuels est un fait avéré qui ne fait que persister
et s’ampli…er. Massa (1998) rapporte qu’aux États-Unis, le nombre de fonds mutuels a
dépassé le nombre des actifs transigés dans le NYSE et dans l’AMEX combinés. Entre
1987 et 1997, le nombre des fonds mutuels est passé de 2317 à 6778. Ce phénomène
peut être expliqué comme la résultante d’une stratégie marketing des compagnies de
gestion de fonds visant à exploiter l’hétérogénéité des investisseurs. Hortaçsu et Syverson (2004) con…rment empiriquement le fait qu’un nombre croissant de fonds mutuels
opère dans un même secteur.
Par ailleurs, l’écrasante majorité des fonds mutuels adoptent une structure linéaire
38
de frais basée uniquement sur les actifs sous gestion. Nous avons cité, dans le chapitre
précédent, les principales études théoriques qui soutiennent cette forme de frais de gestion. D’un point de vue empirique, Golec (2003) et Golec et Starks (2004) argumentent
que l’interdiction, par le congrès des États-Unis en 1971, des contrats ”asymétriques”
basés sur la performance, a fait que la plupart des fonds mutuels ont adopté depuis une
structure de frais basée sur les actifs sous gestion. Ainsi, Golec (2003) recense, pour
l’année 1995, 2190 parmi un total de 2351 fonds mutuels spécialisés dans les actions
utilisant des frais basés sur les actifs sous gestion1 . Néammoins, Hortaçsu et Syverson
(2004) soulignent la présence d’une grande dispersion dans les niveaux des frais chargés
aux investisseurs.
Ainsi, dans la réalité, di¤érents véhicules de placement s’o¤rent à l’investisseur sous
forme de fonds mutuels, se distinguant par leurs taux de frais de gestion, et vraisemblablement par leurs stratégies de placement.
Dans ce chapitre, notre objectif est d’étudier le comportement optimal d’un investisseur unique qui a la possibilité de répartir sa richesse entre plusieurs fonds mutuels
et un actif sans risque. Ces fonds mutuels ont accès à un même marché, ou secteur,
composé de plusieurs actions et d’une obligation. Une importante considération de ce
chapitre est de permettre à l’investisseur de modi…er son allocation tout au long de la
période d’investissement.
Le cadre que nous considérons s’inspire fortement de celui considéré par Hugonnier
et Kaniel (2004). Ces auteurs étudient le choix de portefeuille d’un gérant de fonds
mutuel en présence d’un investisseur unique. Il s’agit d’un investisseur qui a une utilité
logarithmique et qui a accès à un seul instrument d’investissement alternatif matérialisé
par un actif sans risque. Dans ce cadre, et considérant l’interdiction de vendre à découvert le fonds mutuel, la stratégie optimale d’investissement est d’attribuer au fonds
1
Seulement 39 de ces fonds mutuels utilisent des frais basés sur la performance. Ces
données ont été compilées dans Moody’s manuals on banks and …nancial companies.
39
mutuel une proportion de la richesse égale au ratio de Sharpe du fonds mutuel, déduction faite des frais de gestion, et, ce, aux seuls instants où ce ratio est positif. Dans les
autres cas, l’investisseur met toute sa richesse dans l’actif sans risque.
Ce résultat est prévisible puisqu’il s’apparente au résultat du travail de Merton
(1969). Il s’agit du premier travail qui examine dans un cadre en temps continu le problème de choix optimal de portefeuille et de consommation en introduisant l’incertitude
dans l’évolution des rendements des actifs risqués à travers un processus brownien. La
contrainte budgétaire est écrite sous la forme d’une équation di¤érentielle stochastique.
L’approche de la programmation dynamique est appliquée à travers la dérivation de
l’équation de Bellman. Pour le cas d’une utilité logarithmique, la proportion optimale à
investir dans les actifs risqués est indépendante du niveau de la richesse et correspond
au prix au marché du risque, c’est-à-dire, le vecteur ”ratio de Sharpe”de l’ensemble des
actifs risqués. Ce modèle a été étendu par Merton (1971) pour l’étude de formes plus
générales de fonctions d’utilité, à savoir celles à aversion au risque absolue hyperbolique.
Du coté des fonds mutuels, une vaste littérature s’intéresse à la mesure de leur performance, mais l’impact de cette performance sur le comportement des investisseurs est
moins étudié. Berk et Green (2004) explorent l’impact de la performance enregistrée par
un fonds mutuel sur les ‡ux de la période suivante. Ils montrent, à travers un modèle
rationnel où l’information est complète, que cette relation est positive et convexe. Par
ailleurs, et même en contrôlant les performances passées, ils montrent que les rendements des fonds mutuels ne sont pas prévisibles. Sirri et Tufano (1998) con…rment le
fait que les investisseurs se basent sur les performances passées des fonds mutuels dans
leurs décisions de placement. Citons également les travaux d’Ippolito (1992), Gruber
(1996), Goetzmann et Peles (1997) et Lynch et Musto (2003) où est expliquée la relation
convexe entre les rendements passés et les ‡ux de fonds.
Les modèles théoriques dans la littérature sur les fonds mutuels se résument globalement à des problèmes principal/agent où la richesse est déléguée au début de la
40
période et où aucune possibilité de retrait ou d’ajout de ‡ux n’est possible par la suite.
Ce sont également des modèles où l’objectif est de déterminer la structure optimale de
rémunération du gérant. Nous citons dans ce cadre Roll (1992), Lynch et Musto (1997),
Das et Sundaram (1998, 2002) et Dybvig, Farnsworth et Carpenter (1999). Inspirés de
la littérature sur les tournois, Heinkel et Stoughton (1994) considèrent un modèle à
deux périodes où la première période est réservée à la sélection du gérant sur la base
de sa performance réalisée. La particularité de ce modèle est de permettre au contrat
de changer de nature entre les deux périodes. La solution d’équilibre de ce modèle
montre qu’il est optimal de considérer, pour la deuxième période, un contrat basé sur
la performance.
En ce qui concerne la prolifération des fonds mutuels, en plus des études citées plus
haut, Khorana et Servaes (1999) analysent empiriquement les déterminants qui incitent
les compagnies de gestion à créer de nouveaux fonds. Les principaux déterminants identi…és sont les économies d’échelle, la performance passée au sein de la même famille de
fonds et la décision de familles concurrentes d’ouvrir de nouveaux fonds. Khorana, Servaes et Tufano (2004) expliquent la croissance de l’industrie des fonds mutuels au niveau
international. Massa (2003) explique la croissance du nombre des fonds mutuels par le
souci qu’ont les familles de fonds mutuels de répondre à l’hétérogénéité des investisseurs
en terme d’horizons d’investissement. Nanda, Narayanan et Warther (2000) montrent,
de leur côté, qu’une hétérogénéité en terme de liquidité incite les fonds mutuels à se
di¤érencier à travers, entre autres, leurs structures de rémunération.
Par rapport au travail de Hugonnier et Kaniel (2004), notre principale contribution
est de considérer l’existence de plusieurs fonds mutuels. Ainsi, l’investisseur répartit son
avoir entre deux fonds mutuels, de façon continue. Le caractère dynamique des choix
d’investissement permet à l’investisseur de modi…er son allocation sans frais addition-
41
nels2 . Ceci représente une réaction transversale de récompense ou de pénalisation de la
part de l’investisseur par rapport aux performances de chacun des deux fonds mutuels.
Nous supposons que l’investisseur a une information complète sur les caractéristiques des fonds mutuels. Ceci sous-entend que nous ne prenons pas en compte l’impact
des e¤orts de marketing et de distribution sur les ‡ux entrants et sortants des fonds
mutuels3 .
Nous considérons le modèle en temps continu du marché décrit au chapitre 2 avec
un horizon de temps …ni [0; T ].
Nous supposons que l’investisseur n’accède pas directement au marché …nancier
pour des raisons de coûts de transactions et de recherche de l’information élevés. Nous
supposons également que les deux fonds mutuels adoptent une même structure de frais
de gestion, matérialisée par l’imposition à l’investisseur de payer de façon continue des
frais représentants une proportion des actifs sous gestion.
L’objectif de l’investisseur est de maximiser l’utilité espérée de sa richesse terminale
à travers le choix d’allocation de sa richesse entre les deux fonds mutuels et l’actif sans
risque.
Ce chapitre est structuré comme suit. Dans la section 4.2, nous présentons la dynamique suivie par les deux fonds mutuels. L’investisseur, son objectif et la dynamique de
sa richesse sont décrits à la section 4.3. La section 4.4 résout le problème d’optimisation
de l’investisseur. La section 4.5 conclut.
4.2
Dynamique des fonds mutuels
L’économie est telle que dé…nie au chapitre 2 avec un horizon de temps …ni [0; T ].
Nous considérons deux fonds mutuels, indicés par i = 1; 2, ayant accès aux actifs de
2
3
Dans notre modèle, nous considérons seulement des frais liés aux dépenses opérationnelles.
Sirri et Tufano (1998) explorent empiriquement cet aspect.
42
base décrits au chapitre 2. Les frais de gestion sont supposés être retirés du fonds i de
façon continue au taux constant
i,
i = 1; 2, appliqué au total de la valeur marchande
des actifs sous gestion. Le vecteur à 2 dimensions des frais est noté
:= ( 1 ;
0
2) .
La stratégie d’investissement adoptée au sein de chaque fonds mutuel est représentée
par le processus
it ,
i = 1; 2.
it
n 0
1
it ; : : : ; it
:=
est un vecteur de dimension n dont
chaque élément représente la proportion de la valeur marchande du fonds i investie
dans chacune des actions. De ce fait, la dynamique suivie par chacun des deux fonds
s’exprime comme suit :
dFit = (1
dSt0
0
1
)
F
it
it n
St0
= Fit ([r +
0
it
+
i ] dt
n
X
j=1
+
dStj
j
F
it it
Stj
i Fit dt
0
it dBt ) ;
(4.1)
Fi;0 > 0 ; i = 1; 2
où
it
0
:=
est un vecteur colonne, de dimension n, des coe¢ cients de volatilité du
it
fonds mutuel i et Fit est la valeur marchande du fonds mutuel i à l’instant t. Nous
notons
t
:= (
1t ;
2t ).
L’ensemble des sentiers admissibles d’investissement respectifs
1
et
2
sont tels
que la solution à l’équation (4:1) est non négative.
Nous introduisons la notation suivante
Notation 4.1 8i = 1; 2
Fi
t
r :=
0
it
:= k
it k
i
est le rendement excédentaire espéré instantané du fonds mutuel
i à t.
F 2
it
it
:=
0
it
k
i
it k
2
2
=
est la variance du rendement instantané du fonds mutuel i à t.
Fi
r
t
F 2
it
( )
est le ratio de Sharpe, après déduction des frais, du fonds mu-
tuel i à t.
43
ij
t
0
1t 2t
:=
est la covariance entre les rendements instantanés du fonds mutuel 1 et
du fonds mutuel 2 à t.
ij
t
0
1t 2t
2
jt
ij
t
F 2
jt
est la quantité de risque instantanée du fonds mutuel i par
k k
( )
rapport au fonds mutuel j à t.
:=
=
Selon cette notation, l’équation (4:1) s’écrit
dFit = Fit
Fi
t dt
+
0
it dBt
; i = 1; 2
et la variation quadratique des deux fonds mutuels est
d hF1t ; F2t i = F1t F2t (
4.3
0
1t 2t ) dt:
L’investisseur
Nous considérons un investisseur qui a la possibilité d’investir dans l’obligation sans
risque mais qui ne peut investir directement dans les actions. Il peut cependant accéder au marché des actions à travers les fonds mutuels. Ainsi, l’investisseur répartit sa
richesse, à tout instant t, entre l’obligation sans risque et les deux fonds mutuels.
De manière conforme à ce qui se passe dans la pratique, nous faisons l’hypothèse
que les fonds mutuels ne peuvent être vendus à découvert. De plus, le marché auquel a
accès l’investisseur est constitué de 2 actifs risqués dont les dynamiques des prix sont
dictées par n sources d’incertitude. L’investisseur fait donc face à un marché incomplet.
Notons
t
:= (
1t ;
0
2t )
le vecteur colonne de dimension 2 représentant les propor-
tions de la richesse de l’investisseur déléguées à chacun des deux fonds mutuels où
1t
0 et
2t
0. En supposant cette stratégie auto…nancée, la dynamique de la
44
richesse de l’investisseur est représentée par l’équation di¤érentielle stochastique suivante :
dSt0
0
1
)
W
t
t 2
St0
dWt = (1
L’ensemble
= Wt [r
0
t
(
0
t
it ,
i
2
X
it Wt
i=1
)] dt +
] dt +
de sentiers de placement
est non négative et
Notons par
= Wt ([r +
0
t
+
0
0 0
t t dBt
dFit
Fit
0 0
t t dBt )
(4.2)
; W0 > 0:
admissibles est tel que la solution à (4:2)
est non négatif, 8i = 1; 2.
i = 1; 2, le processus du cumul, en terme absolu, des frais payés
par l’investisseur au fonds mutuel i qui sont proportionnels à la valeur des actifs sous
gestion à tout instant :
it
:=
Z
t
i is Ws ds
(4.3)
; i = 1; 2:
0
Pour des raisons techniques, nous supposons que
Z
i,
i = 1; 2, véri…e
T
Ht d
it
0
< 1 ; i = 1; 2
(4.4)
où Ht est le prix Arrow-Debreu dé…ni au chapitre 2.
Nous utilisons la même notation pour désigner l’action et la stratégie de placement.
Cette dernière est en fait une application
(Wt ;
1 ; 2 ; t)
: R+
1
2
[0; T ] !
.
L’objectif de l’investisseur est de maximiser l’utilité espérée de sa richesse terminale en
sélectionnant une stratégie , sous une contrainte d’interdiction de vente à découvert.
Nous utilisons une utilité logarithmique. Ainsi, le problème de l’investisseur se présente
45
comme suit :
sup E [log (WT )] :
2
Dans le cas où les coe¢ cients du marché sont stochastiques, ce choix de fonction d’utilité
est crucial puisqu’il nous permet d’avoir une solution fermée à un problème de marché
incomplet. L’essence des résultats n’est cependant pas changée si nous considérons une
utilité puissance dans un cadre à coe¢ cients de marché déterministes.
Pour des …ns de simpli…cation de l’interprétation, nous introduisons la notation
suivante :
Fi
t
Ait :=
Notation 4.2
ij
t
r
h
Fj
t
i
r où i = 1; 2 ; j = 1; 2 ; i 6= j est le
rendement espéré instantané o¤ert par le fonds mutuel i ajusté par son risque relatif.
C’est ce que nous appellerons le rendement instantané espéré ajusté du fonds mutuel i
à t.
t
:= det [
0
t t]
2
1t k
=k
2
2t k
k
(
2
0
1t 2t )
est le déterminant de la matrice de variance-
covariance, à l’instant0t, des rendements
des 1
deux fonds mutuels.
1instantanés
10
2
0
0
0
2
2
1 C
1t 2t C
( F2t )
( F1t )
B 1t
B k 1t k
A1t ; t A2t est
Pour t 6= 0, t := @
A=
A @
t
2
0
0
k
k
2
2t
2t
1t 2t
le vecteur représentant le ratio de Sharpe à deux dimensions, à l’instant t, des deux fonds
mutuels pris conjointement.
t
= 0 correspond au cas où les stratégies de placement des fonds mutuels sont
colinéaires. En notant
vestissement
1
t
qu’une stratégie
:= (
2
t
1t
=l
1t ; 0),
où
:= (0; jlj
dépend du signe de l
1
2
t
nous pouvons facilement véri…er qu’une stratégie d’in1t
1t ).
est une proportion positive, procure le même risque
Toutefois, le rendement espéré de ces deux stratégies
. Nous trouvons que la stratégie
est dominée par) la stratégie
ce fait, lorsque
2t ,
2
t
dans le cas où jlj >
1
2
1
t
domine (respectivement,
(respectivement, jlj <
1
2
). De
= 0, l’investisseur répartit sa richesse entre l’actif sans risque et
46
seulement l’un des deux fonds mutuels dépendamment de l. jlj =
où les stratégies
4.4
1
t
et
2
t
1
2
correspond au cas
sont équivalentes.
Choix d’investissement optimal
La proposition qui suit caractérise la solution du problème de l’investisseur et montre
que pour des processus
1t
et
2t
donnés, la stratégie optimale bt = (b1t ; b2t )0 peut être
décrite comme une réponse à Ait , i = 1; 2.
Proposition 4.1 Pour des processus
1t
et
donnés et les Ait correspondants, la
2t
stratégie optimale bt = (b1t ; b2t )0 de l’investisseur à tout instant t est telle que :
8
>
>
A1t < 0
>
>
<
Si
et
>
>
>
>
: A
0
2t
Si
8
>
>
A1t
>
>
<
0
et
>
>
>
>
: A >0
2t
8
>
>
A1t > 0
>
>
<
Si
et
>
>
>
>
: A
0
2t
0
1
+
1t
B
B
alors bt = B
B
@
C
C
C:
C
A
+
2t
1
0
B 0 C
C
B
C:
alors bt = B
C
B
A
@
+
2t
alors bt =
47
t
0
B
B
=B
B
@
(
F 2
2t
)
1
A1t C
C
C:
C
A
F 2
( 1t )
A2t
t
t
Si
8
>
>
A1t
>
>
<
0
0
B
B
alors bt = B
B
@
et
>
>
>
>
: A <0
2t
C
C
C:
C
A
0
0
B
B
Si fA1t = A2t = 0g alors bt = B
B
@
où
1
+
1t
2 [0; 1] est arbitrairement choisi et
+
it
1
+
1t
(1
)
:= max [0;
it ] ;
1
2
+
1t
C
C
C
C
A
i = 1; 2.
Il convient de noter que, si A1t et A2t varient dans le temps, la forme de b peut
changer dans le temps. Il est également à noter que, dans le cas où A1t < 0 et A2t < 0,
nous ne pouvons avoir conjointement
1t
> 0 et
2t
> 0. La situation où l’investisseur
alloue simultanément à chaque fonds une proportion strictement positive équivalente à
son ratio de Sharpe n’est donc pas réalisable.
A…n d’interpréter le résultat de cette proposition, nous proposons une présentation di¤érente du comportement optimal de l’investisseur et, ce, à travers les cinq
cas qui suivent.
Cas 1 : l’investisseur n’investit pas dans les fonds mutuels : ceci correspond
au cas où aucun des deux fonds mutuels n’o¤re un taux d’appréciation net des frais de
gestion supérieur au taux sans risque.
Si
8
>
>
>
>
<
F1
t
r
et
>
>
>
>
: F2
r
t
0
1
B 0 C
B C
C
alors bt = B
B C:
@ A
0
Cas 2 : l’investisseur investit dans le fonds mutuel 1 le ratio de
Sharpe de celui-ci, après déduction des frais, et rien dans le fonds mutuel
48
A2t




πˆt = 




0 


πˆt = 

 + 
Λ
 2t 
(σ )
F 2
2t
∆t
(σ )
F
1t
2
∆t

A1t 




A2 t 

0
A1t
 Λ+1t 


πˆt = 

 + 
 Λ 2t 
Λ+1t 
 
πˆt =  
 
0 
 αΛ+1t



πˆt = 


+ 
(
)
1
−
α
Λ
2t 

Fig. 4-1 – La stratégie optimale de l’investisseur. bt correspond au vecteur des
proportions de la richesse de l’investisseur investies dans chacun des deux fonds mutuels.
A1t et A2t correspondent, respectivement, aux rendements anormaux espérés du fonds
mutuel 1 et du fonds mutuel 2.
2 : ceci correspond au cas où le fonds mutuel 1 o¤re un rendement espéré instantané
strictement supérieur au taux sans risque et où le fonds mutuel 2 o¤re un rendement
ajusté instantané espéré strictement négatif. Nous nous retrouvons également dans le
même cas lorsque le rendement ajusté instantané espéré o¤ert par le fonds mutuel 1 est
strictement positif et que son correspondant o¤ert par le fonds mutuel 2 est nul. Nous
disons, dans ce cas, que le fonds mutuel 1 domine le fonds mutuel 2.
Si
8
>
>
>
>
<
F1
t
> r et A2t < 0
ou
>
>
>
>
: A > 0 et A = 0
1t
2t
0
B
B
alors bt = B
B
@
49
0
1t (
r1n )
k 0 1t k2
0
1
1
C
C
C:
C
A
Cas 3 : l’investisseur investit dans le fonds mutuel 2 le ratio de Sharpe
de celui-ci, après déduction des frais, et rien dans le fonds mutuel 1 : ceci
correspond exactement au Cas 2 ci-dessus en inversant les rôles des fonds mutuels.
Si
8
>
>
>
>
<
F2
t
0
> r et A1t < 0
B
B
alors bt = B
B
@
ou
>
>
>
>
: A > 0 et A = 0
2t
1t
1
0
0
2t (
k
0
r1n )
2
2t k
2
C
C
C:
C
A
Cas 4 : la stratégie de l’investisseur correspond au ratio de Sharpe à deux
dimensions des deux fonds mutuels : nous nous retrouvons dans ce cas lorsque
aucun des deux fonds mutuels ne domine l’autre dans le sens où tous les deux o¤rent des
rendements ajustés strictement positifs. En d’autres termes, le cadre moyenne-variance
ne nous permet pas, dans ce cas, de préférer l’un des deux fonds mutuels à l’autre ni
de dire qu’ils sont équivalents.
8
>
>
A1t > 0
>
>
<
Si
et
>
>
>
>
: A >0
2t
0
B
B
alors bt = B
B
@
k
0
k
0
2t k
2
1t k
2
[
0
1t (
k
[
0
0
2t (
k
0
r1n )
2
1t k k
0
0
0
2t )[ 2t (
1 ] ( 1t
2
2
0
0
0
( 1t
2t k
2t )
r1n )
r1n )
2
1t k k
0
0
0
2t )[ 1t (
2 ] ( 1t
2
2
0
0
0
( 1t
2t k
2t )
r1n )
2]
1]
1
C
C
C:
C
A
Nous voyons que dans ce cas, et pour des choix de portefeuille des fonds mutuels …xés,
le taux de frais appliqué par un des fonds mutuels a un e¤et sur le ‡ux injecté dans
l’autre fonds. Cet e¤et dépend de la covariance entre les rendements o¤erts par les deux
fonds mutuels. Ainsi,
– Si
0
1t
0
2t
> 0, traduisant une covariance positive entre les rendements des deux
50
fonds mutuels, alors le fait, par exemple, que le fonds mutuel 2 charge davantage
de frais incite l’investisseur à mettre davantage de richesse dans le fonds mutuel
1.
– Si
0
1t
0
2t
< 0, l’e¤et inverse se produit. Dans ce cas, et toutes choses étant
égales par ailleurs, un taux de frais de l’un des deux fonds mutuels variant à la
hausse entraîne une perte en terme de "part de marché" pour chacun des deux
fonds au pro…t de l’actif sans risque. Il n’est cependant pas clair si, dans ce cas,
la proportion totale des frais chargée ( 1 bt1 +
2 bt2 )
diminue ou pas.
Par ailleurs, ce cas montre qu’un fonds mutuel o¤rant un rendement excédentaire
espéré négatif peut attirer des ‡ux du moment où chacun des fonds mutuels o¤re un
rendement ajusté positif.
Cas 5 : l’investisseur est indi¤érent entre les deux fonds mutuels : ceci
correspond au cas où les deux fonds mutuels o¤rent au même instant des rendements
ajustés nuls et que, par ailleurs, leurs rendements espérés instantanés sont strictement
positifs. Nous disons, dans ce cas que les deux fonds mutuels sont équivalents du point
de vue de l’investisseur.
8
>
>
A1t = A2t = 0
>
>
<
Si
et
>
>
>
>
: F1 > r
t
0
B
B
alors bt = B
B
@
0
1t (
r1n )
k 0 1t k2
(1
)
1
2
0
1t (
k
0
1
1
r1n )
2
1t k
1
C
C
C
C
A
où, 8 2 [0; 1] choisi , un même niveau d’utilité est atteint par l’investisseur. Il est à noter que ce cas correspond à
Ainsi, si
1
>
2,
1t
=
1
2
2t
donnant
t
= 0 et
1
2
0
1t (
k
0
r1n )
2
1t k
1
=
0
2t (
k
0
r1n )
2
2t k
2
.
le fonds mutuel 1 doit avoir une plus importante exposition au risque
pour être équivalent au fonds mutuel 2.
51
Pour les …ns de la preuve de la proposition 4.1, nous utilisons les résultats donnés à
travers des deux lemmes qui suivent.
Lemme 4.1 Pour tout (
k t bt k2
1t ; 2t ) ;
Preuve 4.1 Nous pouvons écrire
k t bt k2
b0t (
0
t
)=k
1t b1t
b0t (
2t b2t k
+
0
t
2
) = 0:
b1t (
0
1t
b2t (
1)
0
2t
2) :
Nous calculons la valeur de cette expression pour les di¤érents cas énumérés précédemment :
– Cas 1 : b1t = 0 et b2t = 0. D’où k t bt k2
– Cas 2 : b1t =
(
0
1t
k
1t k
1)
2
et b2t = 0. D’où
k t bt k2
0
1t
(
=
1t
k
= 0:
– Cas 3 : b1t = 0 et b2t =
(
0
2t
k
2t k
k t bt k2
(
=
2t
k
2t k
2
(
k
0
1t
2
1t k k
0
2t
k
= 0:
– Cas 4 : b1t =
b0t (
b0t (
1)
(
1t k
2)
2
) = 0:
)
2
2
0
1t
k
1)
1t k
2
2t k
2
(
0
1t
1)
(
0
2t
2)
k
1t k
. D’où
b0t (
0
t
2)
)
2
(
2
2t k
( 01t
2
k
(
2t
1)
0
t
0
t
0
2t
k
0
2t )( 2t
2
0
)
1t 2t
52
2)
2)
et b2t =
2
(
k
0
2t
2
1t k k
( 01t
2
k
(
2t
2)
0
2t )( 1t
2
0
)
1t 2t
1)
.
D’où
k t b t k2
k
=
2t
k
0
1t
(
k
2t
(
(
0
1t
k
1)
2
1t k
2
1t k
0
1t
k
=
1t k
= 0:
1t k
(
2
b0t (
2
0
1t
k
1)
2
1t k
1)
2
0
t
2
0
1t
2
(
2t k
1
2 )k
2
0
1t 2t )
2
0
2 )k
1t ( 2t
2
( 01t 2t )
2
2t k
k
0
2t
(
1t
)
k t bt k2
k
)
1)
2
et b2t = (1
(
0
t
1)
k
= 0:
– Cas 5 : b1t =
b0t (
(
. D’où
)
2
1)
0
1t
k
2
1t k
Nous énonçons dans ce qui suit un lemme dont le résultat est fréquemment utilisé
en …nance mathématique.
Lemme 4.2 Une martingale locale Y bornée inférieurement est une supermartingale.
Preuve 4.2 Y est une martingale locale. Donc, 9(
d’arrêt) tel que
n
p:s:
! T et (YT ^ n )0
t T
n !1
n !1
n
T (l’ensemble des temps
est une martingale. Nous pouvons, ainsi,
écrire pour un n su¢ samment grand, E[Y (T ^
Yt = lim Yt = lim inf E[YT ^
n 1
)n=1
jFt ]
53
n
) jFt ] = Yt . Nous obtenons alors
E[lim inf YT ^
n !1
n
jFt ] = E[YT jFt ]
où l’inégalité est donnée par le lemme de Fatou.
Il nous est, à ce point, possible de donner la preuve de la proposition 4.1.
Preuve 4.3 (Preuve de la proposition 4.1) Nous proposons de véri…er que bt donné
pour les di¤érents cas énumérés dans l’interprétation de la proposition correspond effectivement à la solution au problème.
c le processus de la richesse de l’investisseur correspondant à b que nous
Notons W
conjecturons être la stratégie optimale. En nous référant à l’équation (4:2), et en appliquant le lemme d’Itô, nous obtenons :
2
b0t 0t
0 0
t t
6
Wt
Wt 6
6 +( 0 ( 0
d
=
6
t
t
c
c
Wt
Wt 4
+ k t b t k2
dBt
)
b0t (
0
t
0 0
t t t bt ) dt
) dt
qui, écrit autrement en utilisant le résultat du lemme k t bt k2
Wt
= 1 + Yt
ct
W
où, pour un
2
arbitraire et pour tout ( 1 ;
Yt :=
Z
t
0
Ws
cs
W
0 0
s s
b0t (
Gt
2 ),
le processus :
b0s
0
s
dBs
est une P -martingale locale et le processus :
Gt :=
Z
0
t
Ws
(
cs
W
0 0
s s s bs
54
0
s
(
0
s
)) ds
3
7
7
7
7
5
0
t
) = 0, donne :
est un processus non décroissant positif. En e¤et, nous pouvons facilement véri…er que :
dGt
Wt
ct
W
cas 1 :
cas 3 :
par
0 et
W
c
W
(
0
t
Wt
ct A2t 2t dt
W
cas 2 :
Puisque G
0
t
cas 4 :
0
cas 5 :
0:
Wt
ct A1t 1t dt
W
) dt
0
0
0
0, il devient alors facile de voir que Y est borné inférieurement
1. C’est donc, d’après le lemme précédent, une P -supermartingale. De ce fait,
nous obtenons :
E
WT
cT
W
=
W0
+ E [YT ] E [GT ]
c0
W
W0
W0
+ Y0 G 0 =
:
c
c0
W0
W
Cette inégalité ajoutée au fait que la fonction log est concave nous donne, après application de l’inégalité de Jensen,
E [log WT ]
h
i
cT = E log WT
E log W
cT
W
WT
log E
cT
W
W0
log
= 0:
c0
W
55
2
étant choisi de manière arbitraire, cette inégalité est su¢ sante pour conclure que
b que nous donnons dans la proposition représente, e¤ectivement, la valeur maximale
à l’utilité espérée de la richesse terminale de l’investisseur.
Il est à noter que ce résultat reste valable pour le cas où les coe¢ cients du marché
sont stochastiques et également pour le cas où les stratégies de placement des fonds
mutuels sont restreintes.
4.5
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons déterminé la stratégie optimale d’un investisseur ayant
la possibilité de répartir de manière dynamique sa richesse entre un actif sans risque et
deux fonds mutuels. Ces fonds mutuels se distinguent par leurs stratégies de placement
et par leurs taux de frais de gestion.
Notre travail constitue une contribution à l’explication de l’e¤et d’une di¤érenciation dans les services o¤erts par les fonds mutuels sur les ‡ux investis. Nous avons
présenté le critère de sélection de l’investisseur qui se base aussi bien sur les rendements
absolus o¤erts par les fonds mutuels que sur leurs rendements ajustés tenant compte
des covariances des rendements o¤erts.
Nous avons ainsi montré que même si un fonds mutuel o¤re un rendement excédentaire négatif, l’investisseur choisit de façon optimale d’y investir une partie de sa
richesse du moment où le rendement ajusté de chacun des fonds mutuels est positif.
Nous avons, par ailleurs, montré que la diminution du taux de frais de gestion d’un
fonds mutuel peut avoir une "externalité" positive sur les ‡ux investis dans un autre
fonds mutuel opérant sur le même marché.
56
Chapitre 5
Choix de portefeuille des fonds
mutuels dans un contexte de
concurrence stratégique
5.1
Introduction
Dans le chapitre précédent, nous avons déterminé le choix optimal pour un investisseur de répartir sa richesse entre deux fonds mutuels et un actif sans risque sans
préciser la nature de l’interaction existant entre ces fonds mutuels et sans expliciter
les critères du choix de portefeuille qu’ils e¤ectuent. Ce choix est généralement fait en
tenant compte de la nature des investisseurs ainsi que des stratégies adoptées par les
autres fonds mutuels.
Nous introduisons dans ce chapitre les objectifs que cherchent à atteindre les gérants
des fonds mutuels à travers leurs choix d’investissement. Nous considérons des gérants
agissant dans un contexte de concurrence stratégique. Nous analysons le comportement
de ces gérants et l’impact de leurs actions sur leurs parts de marché individuelles, sur
leur part de marché agrégée relativement à une source d’investissement alternative, en
57
l’occurrence un actif sans risque, et également sur le comportement de l’investisseur. À
notre connaissance, aucune étude théorique n’a analysé l’existence de concurrence dans
l’industrie des fonds mutuels et son impact sur les décisions d’investissement et sur les
stratégies de portefeuille.
Sur le plan empirique, Hortaçu et Syverson (2004) explorent cet aspect concurrentiel
aux États-Unis. Ils montrent que les fonds mutuels cherchent moins à se di¤érencier
à travers leurs performances managériales qu’à travers les e¤orts de publicité et de
distribution. Ils rejoignent ainsi les a¢ rmations de Jain et Wu (2000), Barber, Odean
et Zheng (2005) ainsi que celles de Kaniel et Starks (2005) sur l’importance de la
couverture médiatique dans la quête d’un maximum de ‡ux de la part des investisseurs.
Khorana et Servaes (2005) soulignent les con‡its d’intérêt pouvant exister entre les
fonds mutuels qui se concurrencent, sur la base de la "part de marché" sur laquelle sont
déterminés leurs revenus, et les investisseurs cherchant à avoir le meilleur rendement
ajusté au risque. Ces con‡its d’intérêt ont déjà fait l’objet d’études théoriques qui ne
tiennent pas compte, toutefois, de l’existence de la concurrence dans l’industrie des fonds
mutuels. Aux travaux déjà cités dans les chapitres 3 et 4, nous pouvons ajouter celui de
Carpenter (2000) qui, dans un cadre se rapprochant du nôtre, considère un problème
d’investissement dynamique dans lequel la rémunération du gérant est matérialisée par
une option d’achat sur les actifs qu’il gère. Dans ce modèle, le gérant se trouve en face
d’une contrainte assez déterminante, et assez générale dans la littérature sur les fonds
mutuels, qui est celle de ne pas pouvoir couvrir la rémunération qu’il cumule tout au
long de la période d’investissement. Il est montré, sous cette hypothèse, qu’un contrat
de type "asymétrique" n’incite pas, nécessairement, les gérants des fonds mutuels à
chercher une plus grande exposition au risque.
Dans ce chapitre, nous considérons l’investisseur et les deux fonds mutuels décrits
au chapitre 4. Chacun de ces deux fonds est contrôlé par un gérant qui a la possibilité
d’investir pour son propre compte. Les opportunités d’investissement sont matérialisées
58
par les actifs de base décrits au chapitre 2. L’objectif de chaque gérant est de maximiser
l’utilité espérée de sa richesse terminale dans un horizon d’investissement …ni [0; T ]
identique à celui de l’investisseur. La classe d’utilités que nous étudions est assez large.
Les deux gérants agissent de façon indépendante sans la moindre coopération. Ils
annoncent leurs stratégies respectives de choix de portefeuille de façon simultanée et
tiennent compte de la réaction de l’investisseur dans l’élaboration de leurs stratégies.
Il s’agit donc de déterminer la stratégie d’équilibre de Nash des gérants dans un jeu
di¤érentiel alors que tous deux intègrent la réaction de l’investisseur dans un jeu à
la Stackelberg. En e¤et, nous supposons que l’investisseur n’est pas conscient que son
choix d’allocation in‡uence les décisions des gérants.
Le reste du chapitre est organisé comme suit. Nous présentons dans la section 5.2
les dynamiques des richesses des gérants, leurs objectifs ainsi que les interaction entre
les trois agents considérés dans le modèle. La résolution du problème d’investissement
pour le compte des gérants est présenté à la section 5.3. La section 5.4 est consacrée
à la caractérisation du choix de portefeuille optimal des fonds mutuels. Les stratégies
d’investissement à l’équilibre sont présentées à la section 5.5. La section 5.6 conclut.
5.2
Les joueurs et la structure d’information
L’investisseur est celui qui est décrit au chapitre 4. Chacun des gérants des fonds
mutuels a la possibilité d’accéder au marché des actifs de base et d’investir pour son
propre compte. Ainsi, en plus de choisir le processus de placement du fonds
i,
i = 1; 2,
le gérant i détermine le montant investi pour son propre compte dans chaque action
dans le but de maximiser l’utilité espérée de sa richesse terminale. En notant
(
1
it ; : : : ;
n 0
it ) ,
it
:=
i = 1; 2, le vecteur de dimension n des montants investis dans les actions
59
pour le compte du gérant i, la dynamique de richesse du gérant i s’écrit :
dSt0 X
+
St0
j=1
n
dWit = (Wit
0
it 1n )
= [rWit +
= rWit dt +
0
it
] dt +
0
it
0
it
dBt0 + d
j
j dSt
it
Stj
dBt + d
it
+d
it
it
(5.1)
;
Wi0 > 0 ; i = 1; 2:
Nous supposons que
i
2 Gi , i = 1; 2, est tel que le processus de la richesse corres-
pondant est borné inférieurement.
Aucune restriction n’est faite aux fonds mutuels sur les ventes à découvert ou sur les
montants à détenir dans les n actions ou dans l’obligation sans risque. La stratégie
i,
i = 1; 2, a une incidence sur le choix d’allocation de l’investisseur et donc, implicitement,
sur le processus de rémunération du gérant, équivalent au processus des frais
i,
i = 1; 2.
Notons Ui , i = 1; 2, la fonction d’utilité du gérant i. Nous supposons que cette
fonction satisfait les conditions d’Inada, à savoir que, 8i = 1; 2, Ui : (0; 1)
! R
est strictement croissante, strictement concave, continûment di¤érentiable et véri…e les
conditions aux limites suivantes :
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
@Ui
@z
(1) := limz!1
@Ui
@z
(z) = 0
et
@Ui
@z
(0+) := limz#0
@Ui
@z
(z) = 1:
L’objectif du gérant i est de maximiser l’utilité espérée de sa richesse terminale
E [Ui (WiT )].
Nous supposons que l’investisseur ne réalise pas que ses décisions d’investissement
60
ont un impact sur les choix de portefeuille des gérants, ou, de façon équivalente, que
l’investisseur ne se commet pas à l’avance sur la stratégie de répartition de sa richesse.
Par ailleurs, à l’instant 0, les gérants annoncent simultanément, et indépendamment,
leurs stratégies de portefeuille,
et
1
2,
en boucle ouverte. L’investisseur réagit à ces
stratégies en allouant de façon optimale la totalité de son capital entre les deux fonds
mutuels et l’obligation sans risque. La …gure (5
1) illustre cette structure d’informa-
tion entre les trois agents.
Un équilibre à ce problème est un quintuplet ( 1 ;
2;
1;
)2
2;
1
2
G1 G2
tel que :
1. Étant donnés les choix de portefeuille
E [log (WT ( ;
pour tout
2
1 ; 2 ))]
et
2
des fonds mutuels,
E [log (WT ( ;
1 ; 2 ))]
.
2. Pour i = 1; 2 et pour tout ( i ; i ) 2
E Ui WiT ( i ;
j;
où j = 1; 2, i 6= j, et b
fonds mutuels
1
i; j
.
appliqué à des stratégies
i;
j;
i; j
i
)
Gi ,
E Ui WiT ( i ;
j;
i;
j; b
i; j
)
est induit par le couple de choix de portefeuille des
correspond, en fait, à b, telle que dé…nie au chapitre 4,
1
et
2.
61
Le gérant du fonds mutuel 1
annonce sa stratégie θ1 : le vecteur
des proportions des actifs sous
gestion investies dans chaque
action.
Jeu Stackelberg : actions hiérarchisées.
L’investisseur décide les
proportions de sa richesse, π1 et
π2, qu’il investit dans chaque
fonds mutuel.
Jeu Nash : actions simultanées et non
coopératives.
Jeu Stackelberg : actions hiérarchisées.
Le gérant du fonds mutuel 2
annonce sa stratégie θ2 : le vecteur
des proportions des actifs sous
gestion investies dans chaque
action.
Fig. 5-1 –La nature des jeux entre les di¤érents agents.
5.3
Stratégie de placement pour le propre compte
du gérant
Nous commençons par supposer que
et
1
2
sont …xés et nous résolvons le pro-
blème du gérant i en tenant compte de la réaction b ( 1 ;
2)
induite par ces choix de
portefeuille.
ct et le
La stratégie b permet de générer le processus de richesse de l’investisseur W
processus de rémunération cumulée b it , i = 1; 2, dé…ni par :
b it :=
Z
0
t
c
i bis Ws ds:
(5.2)
La dynamique du processus de la richesse du gérant du fonds mutuel i s’écrit comme
62
suit :
dWit = [rWit +
= rWit dt +
0
it
] dt +
0
it
dBt + d b it
dBt0 + d b it ; Wi0 > 0:
0
it
(5.3)
Le marché étant complet pour le gérant i, et en considérant les conditions d’Inada ainsi
RT
que l’hypothèse que 0 Ht d b it < 1, la solution au problème du gérant i est bien connue
et a été développée par Karatzas et Shreve (1998).
Ainsi, nous obtenons, pour i = 1; 2, la richesse optimale du gérant i à la date
terminale,
où Ii (z) =
@Ui (z)
@z
1
ciT = Ii bi HT
W
(5.4)
et bi > 0 représente un multiplicateur de Lagrange choisi tel que :
E HT Ii
Z
b i HT
T
0
Ht d b it = Wi0 1 .
En réécrivant cette espérance sous la mesure de probabilité risque-neutre, nous obtenons :
2
EP 0 4
Ii bi HT
ST0
3
5 = b i0 + Wi0
1
(5.5)
Les conditions d’Inada sur Ui ( ) impliquent que Ii ( ) : (0; 1) ! (0; 1) est une fonction continue
strictement dcroissante. Ceci est su¢ sant pour dire que ybi est unique.
63
où b it est dé…nie telle que
b it
St0
:= EP 0
"Z
#
d b is
jFt :
Ss0
T
t
(5.6)
b it représente, de ce fait, la valeur marchande à l’instant t du processus de rémunération
cumulée du gérant i généré par la meilleure réponse b de l’investisseur.
En notant par 'i l’intégrant induit par la représentation martingale de
EP 0
"
Z
ciT
W
ST0
T
0
d b is
jFt
Ss0
#
et en applicant le lemme d’Itô pour déterminer la dynamique du processus
c0
W
,
S0
nous
obtenons la stratégie d’investissement optimale du gérant i pour son propre compte
représentée par
bit = ( 0 )
1
St0 'it :
Se basant sur (5:5), Hugonnier et Kaniel (2004) indiquent que le choix optimal de
i
est indépendant de l’utilité Ui . Il s’agit, en fait, de maximiser la valeur marchande
initiale du processus de rémunération cumulée du gérant i. Ainsi, nous avons
h
i
bit := argmax E Ui W
cit
it 2
i
= argmax b i0
it 2
i
= argmax EP 0
it 2
"Z
0
i
64
T
#
d b it
:
St0
(5.7)
(5.8)
Nous montrons, à travers le lemme suivant, que cette espérance est bien dé…nie.
Lemme 5.1 Pour des stratégies
RT b
tion, 0 dS 0it , est P 0 -intégrable.
1
et
2
arbitraires, le processus cumulé de rémunéra-
t
Preuve 5.1 Nous avons :
EP 0
"Z
0
T
d b it
St0
#
= EP 0
"Z
0
"Z
#
ct
W
i 0 dt
St
T
b0it
#
ct
k k2 W
EP 0
dt
i
4 i St0
0
#
"Z
T
c
1
W
t
=
EP 0
k k2 0 dt
4
S
0
t
" #
Z T
ct
W
1
k k2 EP 0
=
dt
4 0
St0
T
W0
T k k2 :
4
Nous concluons que EP 0
bit
2
k k
4 i
hR
T d b it
0 St0
i
< 1. La première inégalité est obtenue en supposant
. Cette inégalité sera prouvée dans la section suivante. La dernière inégalité
vient du fait que
c
W
S0
est une P 0 -supermartingale. En e¤et, nous avons :
"
ct
W
d
St0
#
=
ct
W
St0
b0t dt + b0t 0t dBt0 :
D’où, par le lemme de Fatou, le processus représenté par :
Z
0
t
ct
cs 0 0
W
W
0
b
dB
=
s
s
s
Ss0
St0
65
W0 +
Z
0
t
cs 0
W
b ds
Ss0 s
(5.9)
est une P 0 -supermartingale puisque, 8t,
ct
W
St0
0 et b0t
0. Par ailleurs, nous savons
que la somme d’une supermartingale et d’un processus non croissant est une supermartingale.
5.4
Choix de portefeuille optimal des fonds mutuels
Pour alléger la notation, nous utilisons
i
=
0
i
comme variable de contrôle du
gérant i.
5.4.1
Changement de mesure
Le problème de contrôle stochastique du gérant du fonds mutuel i s’écrit désormais,
sup EP 0
it 2Zi
où Zi est un ensemble tel que
i
"Z
T
0
2
i
#
ct
W
i bit 0 dt
St
(5.10)
c
W
S0
et la dynamique de
di¤érentielle stochastique (5:9), représenté par :
ct
W
= W0 e
St0
Rt
0
(bs
+ 21 k
s bs k
2
)ds+
Rt
0
b0s
0
0
s dBs
:
est, selon l’équation
(5.11)
Nous e¤ectuons un changement de mesure qui nous permet de simpli…er le problème.
Ceci sera fait à travers la martingale que nous dé…nissons dans la proposition qui suit.
66
Proposition 5.1 Pour des processus
1
Rt
ct := e
M
0
0 bs
ds
b0s
0
0
s dBs
Rt
=e
et
0
2
donnés, le processus dé…ni par
ct
W
St0 W0
1
2
!
Rt
0 k s bs k
2
ds
(5.12)
est, sous la mesure de probabilité risque-neutre, une martingale strictement positive et
uniformément intégrable.
Preuve 5.2 Pour ce faire, il su¢ t de montrer que la condition de Novikov,
h
EP 0 e
1
2
RT
0
k t bt k2 dt
i
< 1;
est satisfaite. En rappelant l’hypothèse que, 8t,
0
bit
0
k k2
= sup it
4 i
k
it 2Zi
it k
0
1t
0
2t
i
2
; i = 1; 2,
nous obtenons, 8t,
k t bt k2 = b1t (
1)
[
sup
+
1]
0
1t
k
1t 2Z1
+ b2t (
2
2
1t k
2)
2
[
+ sup
2t 2Z2
2
( 01t )
( 02t )
sup
+
sup
2
2
1t 2Z1 k 1t k
2t 2Z2 k 2t k
sup
1t 2Z1
k
= 2 k k2 .
2]
k
k k2
k 2t k2 k k2
+ sup
k 1t k2
k 2t k2
2t 2Z2
1t k
2
0
2t
67
2t k
2
+
2
Nous utilisons le résultat de Cauchy-Schwartz pour avoir la dernière inégalité. Ainsi,
k bk2 est uniformément borné, ce qui implique que la condition de Novikov est satisfaite.
h i
cT = 1. De ce fait, Pb (A) :=
Le résultat de cette proposition nous donne EP 0 M
h
i
cT 1A , 8A 2 FT , est une mesure de probabilité sous laquelle, d’après le théorème
EP 0 M
de Girsanov, le processus
Z
bt := B 0
B
t
0
t
s bs ds
(5.13)
est un mouvement brownien standard de dimension n. De plus, utilisant le fait que
R T d b it
est P 0 -intégrable, nous pouvons écrire :
0 S0
t
EP 0
"Z
0
T
#
"Z
#
T
ct
d b it
W
dt = EP 0
i bit 0 dt
St0
St
0
Z T
Rt 0
ct dt
W0 e 0 bs ds i bit M
= EP 0
0
Z T
Rt 0
= EPb
W0 e 0 bs ds i bit dt :
(5.14)
0
Sous cette nouvelle mesure de probabilité, le problème du gérant i s’écrit comme suit :
sup EPb
it 2Zi
=
sup
it 2Zi
Z
0
T
Z
T
e
0
e
Rt
Rt
0 ( 1 b 1s + 2 b 2s )ds
0 ( 1 b 1s + 2 b 2s )ds
i bit W0 dt
i bit W0 dt
(5.15)
et n’est plus stochastique, du fait que la meilleure réaction de l’investisseur dépend
seulement des coe¢ cients du marché qui sont constants.
68
Nous réécrivons le problème du gérant du fonds mutuel i avec la formulation standard des problèmes de commande optimale :
Jb0i
(x) := sup
it 2Zi
xt =
x (0) = 1;
où xt := e
Rt
0 ( 1 b 1s + 2 b 2s )ds
J0i
(x) :=
i W0
Z
T
0
xt [ 1 b1t (
1t ;
2t )
+
xt bit (
2 b2t
(
1t ;
1t ;
2t ) dt
2t )]
2
;
représente l’état du jeu, commun aux deux problèmes indi-
viduels des gérants. Cet état est une sorte d’escompte appliqué à la richesse de l’investisseur a…n de tenir compte des frais retirés des deux fonds mutuels de façon continue.
C’est le manque à gagner découlant du fait que la rémunération des gérants n’est pas
réinvestie dans les fonds mutuels. Nous avons voulu insister, dans la formulation du
problème, sur l’interdépendance entre les choix des deux gérants, à savoir
1
et
2.
Le Hamiltonien de ce problème s’écrit comme suit :
Hi [xt ;
1t ;
2t ; it ; t]
= xt i bit (
it xt
où
i
1t ;
[ 1 b1t (
2t ) W0
1t ;
2t )
+
2 b2t
(
1t ;
2t )]
est la variable de co-état dont la trajectoire est dé…nie par l’équation di¤érentielle
suivante :
it
=
@Hi
=
@x
it
( 1 b1t +
69
2 b2t )
i bit W0 ;
it
= 0:
Nous pouvons facilement véri…er que la solution de cette équation di¤érentielle est
it
=
Jti
:=
i W0
Z
T
xs bis (
t
1s ;
2s ) ds:
Le Hamiltonien est linéaire par rapport à la variable d’état, ce qui implique que
la solution en boucle ouverte de l’équilibre de Nash est dynamiquement cohérente et
coincide avec la solution en boucle fermée. En e¤et, la trajectoire de la variable d’état
peut être déterminée uniquement à travers la trajectoire du co-état. De ce fait, il est
justi…é d’établir la variable de contrôle,
i,
comme étant une fonction du temps seul et
non pas une fonction du temps et de la variable d’état.
5.4.2
Caractérisation du choix optimal
A…n d’alléger la notation, nous omettons pour la suite de cette section l’indice t.
Pour résoudre le problème du gérant du fonds mutuel i, nous cherchons sa meilleure
réponse pour un processus
j
choisi par le gérant du fonds mutuel j, où j = 1; 2 et
j 6= i. A…n de caractériser ce choix optimal, nous avons besoin des deux propositions
qui suivent. Dans la première proposition, nous montrons qu’il n’est jamais optimal
pour le gérant du fonds mutuel i de se retrouver dans la situation où les deux fonds
mutuels o¤rent des rendements ajustés espérés positifs. En d’autres termes, la meilleure
réponse du gérant du fonds mutuel i ne peut correspondre à une situation dans le cas
4, dé…ni dans l’interprétation de la proposition 4.1.
Proposition 5.2 Soient des processus
J0i ( 1 ;
2)
1
et
2
tels que A1 > 0 et A2 > 0. Notons par
la valeur initiale au marché de la rémunération cumulée correspondante.
étant …xe, il existe une stratégie, que nous notons
70
"
i,
telle que J0i ( "1 ;
2)
> J0i ( 1 ;
j
2 ).
Preuve 5.3 Soient
1
et
2
tels que :
8
>
>
A1 ( 1 ;
>
>
>
<
>
>
>
>
>
: A2 ( 1 ;
2)
=
2)
=
(
a1
F( ) 2
2
2
>0
(
a2
F( ) 2
1
1
>0
)
)
où a1 et a2 sont deux constantes positives choisies arbitrairement. La meilleure réponse
de l’investisseur qui en découle est telle que :
8
>
>
b1 ( 1 ;
>
>
<
>
>
>
>
: b ( ;
2
1
2)
=
(
a1
1;
2)
2)
=
(
a2
1;
2)
où nous mettons en évidence la dépendance de
"
i
+ (1
")
i
j
j
où " :=
i ai
i ai + j aj
du couple ( 1 ;
2 ]0; 1[. Nous obtenons
8
>
" "aj (1 ") i ai
>
j
>
"
>
A
;
=
=0
>
j
j
i
F ( ") 2
>
(
)
>
i
i
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Ai "i ; j = " F ai 2 > 0
>
<
( j ( j ))
>
>
>
>
>
>
>
>
( "i )0
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
i
"
i;
j
=
2
" ka1 1 +a2 2 k
ai
( 1; 2)
= "2
71
( 1;
>0
2) :
2 ).
Dé…nissons
"
i
:=
"
i
De ce fait, en choisissant
au lieu de
i,
le gérant du fonds mutuel i se retrouve dans
une situation appartenant au cas où la meilleure réponse de l’investisseur s’exprime
comme suit
8
>
>
bi
>
>
<
"
i;
>
>
>
>
:
j
= 1" bi
"
i;
bj
j
i;
j
= 0:
"
i;
Il est clair que, puisque 0 < " < 1, nous obtenons bi
> bi
j
i;
j
. Ce qui
veut dire que, avec cette stratégie, le gérant du fonds mutuel 1 obtient une plus grande
rémunération instantanée en terme de proportion de la richesse de l’investisseur. Par
ailleurs, les frais totaux instantanés payés par ce même investisseur ne changent pas.
En e¤et,
1 b1
( 1;
2)
2 b2
+
( 1;
2)
=
=
=
"
i,
En résumé, en choisissant
1 a1
+ 2 a2
( 1; 2)
ai
i
" ( 1; 2)
"
i;
i bi
j
:
le gérant du fonds mutuel i réussit à s’approprier la
totalité de la rémunération qui devait être partagée, au cas où il choisissait
gérant du fonds mutuel j. La relation qui suit montre bien que J0i
J0i
"
i;
j
= W0
Z
0
T
e
Rt
0
i b is
Z T R
t
1
e 0(
= W0
"
0
1 i
= J0 ( 1 ; 2 ) :
"
(
"
i; j
)ds b
i it
"
i;
j
j
i;
j
> J0i
dt
1 b 1s ( 1 ; 2 )+ 2 b 2s ( 1 ; 2 ))ds
72
"
i;
i bit
i,
dt
avec le
i;
j
Lorsque le gérant i varie sa stratégie de
"
i,
à
i
la part de marché agrégée des
deux fonds mutuels augmente (respectivement diminue) au détriment (respectivement
au pro…t) de l’actif sans risque si
La …gure (5
i
<
j
(respectivement
i
>
j ).
2) illustre la variation dans l’allocation de l’investisseur lorsque le
gérant 1 substitue la stratégie
1
"
1.
par la stratégie
Il nous est possible à ce stade de prouver l’hypothèse que nous posons sur le fait
que bi est uniformément borné par
pour tous
valeur de
1
i
et
2
k k2
.
4 i
En e¤et, la proposition précédente montre que,
2
( Fj )
correspondant à un bi s’exprimant par
Ai , il existe une autre
donnant un bi supérieur et prenant la forme
de bi est borné par le supremum absolu de
0
i
0
i
i
k i k2
. De ce fait, le supremum
, qui prend la valeur
i
k i k2
2 i
.
k k2
En résumé,
nous avons bien :
sup bi
bi
sup
i 2Zi
i 2Zi
0
i
i
=
k i k2
k k2
:
4 i
Dans la proposition qui suit, nous montrons que le gérant du fonds mutuel i peut
toujours éviter de se retrouver dans la situation où sa rémunération est nulle.
Proposition 5.3 Soit
j
quelconque correspondant à un choix de portefeuille arbitraire
du fonds mutuel j. Le gérant du fonds mutuel i peut toujours se garantir une rémunération strictement positive et in‡iger une rémunération nulle au deuxième gérant. C’est
à dire que pour
j
…xé, il existe
tel que J0i
i
Preuve 5.4 Nous dé…nissons, pour
Nous obtenons :
8
>
>
>
>
>
<
j
( i )0
>
>
>
>
>
: Aj
i
donné,
i
;
j
i
=
j
i
:=
> 0.
où
k k2
et
( i 0j
=
( Fi (
73
;
i
k k2 )
j
i
;
>0
2
j
))
< 0:
> max
h
;
k2
i
k
0
i j
jk
k2
i
> 0.
A2
 a1 
 
∆ 
πˆ=  
 
a2
 
∆
a2
(σ )
F 2
1
εa1
(σ )
F 2
2
0
 a1 
 
 ε∆ 
πˆ=  
 
0 
 
 
a1
A1
(σ )
F 2
2
Fig. 5-2 – Meilleures réponses de l’investisseur pour deux di¤érents choix
de portefeuille du fonds mutuel 1, ceteris paribus. Pour un processus 2 …xé, le
gérant du fonds mutuel 1 est toujours mieux en choisissant une stratégie "1 := " 1 +
1
(1 ") 1 2 correspondant à A1 = "a
une stratégie 1 correspondant
2 et à A2 = 0 qu’
2
( F2 )
à A1 = aF1 2 et A2 = aF2 2 . "1 est tel que " := a11+a1 a2 . Nous véri…ons facilement que
1
2
( 2)
( 1)
0 < " < 1.
74
Ainsi, le fonds mutuel i est dominant et nous avons :
J0i
i;
= W0
j
Z
T
Rt
e
0
= W0 1
i b is
0
e
RT
0
(
i
i
;
j
)ds b
i it
k k2
i
2 k k2 dt
i
;
j
dt
> 0:
À partir des deux propositions que nous venons de donner, nous pouvons facilement
voir que tout équilibre n’est possible que lorsque chacun des gérants espère obtenir,
dans la situation où l’investisseur est indi¤érent, la totalité de la proportion attribuée
aux fonds mutuels. C’est l’hypothèse que nous supposons pour la suite du chapitre.
Proposition 5.4 Soit un processus
j
donné correspondant à une stratégie
j
arbitraire
choisie par le gérant du fonds mutuel j. La meilleure réponse du gérant du fonds mutuel
i est représentée par le vecteur de dimension n, bi , satisfaisant les conditions de KuhnTucker du problème contraint suivant :
sup
i 2Di
où Di := f
i
2 Zi :
0
i
i
> 0 et Aj ( 1 ;
0
i
i
2
k ik
2)
(5.16)
0g.
La contrainte montre bien que la décision du gérant du fonds mutuel i dépend
de celle du gérant du fonds mutuel j. En e¤et, pour tout choix de portefeuille de
la part de ce dernier, la réaction optimale du premier gérant est d’adopter la stratégie
d’investissement qui maximise le ratio de Sharpe après déduction des frais de son propre
fonds mutuel et, ce, sous la condition que l’actif qu’il o¤re domine ou équivaut le fonds
mutuel j.
75
Preuve 5.5 L’a¢ rmation que bi 2 Di est directement déduite du fait que la meilleure
réponse du gérant du fonds mutuel i ne peut jamais être telle que sa rémunération est
nulle ou telle que A1 > 0 et A2 > 0.
Pour tout
j
donné, nous avons,8
J0i
( 1;
2)
=
Z
T
0
e
"
i
Rt
0 ( 1 b 1 ( 1 ; 2 )+ 2 b 2 ( 1 ; 2 ))ds
= W0 1
Maximiser J0i ( 1 ;
miser
0
i
i
k i k2
pour tout
o
i
2)
2 Di ,
e
RT
i
0
k ik
i
2 dt
#
:
( 1;
sur l’ensemble des valeurs admissibles de
i
2 ) W0 dt
est équivalent à maxi-
sur l’ensemble Di . A…n de compléter la preuve, il nous reste à montrer que,
tel que g ( oi )
g ( i ) où g ( i ) :=
rg ( 1 ) (
g ( oi )
0
i
i bi
o
1
0
i
i
k i k2
1)
: Di ! R,
> 0:
g ( i ) est équivalent à :
k i k2 ( oi )0
k oi k2 (
i
76
0
i
i) :
Nous avons, donc,
rg ( i ) (
=
k i k2
=
k i k2
=
=
k
o 2
ik
(
0
i
(
o
i
i)
0
2 ( 0i
k i k4
( oi )0
0
i
(
k ik
i)
2
i
i)
o
i
(
+ k i k2 (
i)
0
i
i)
k ik
2
k oi k2 + k i k2
ik
2(
0
0 o
i i)( i
i)
4
+ k i k ( 0i
k i k4
o
i) k i
k i k2
0
i
0
i
i)
2(
i)
2(
0
0 o
i i)( i
i)
0 o
i i)
2
> 0:
Cette condition est su¢ sante pour prouver que la solution au problème (5:16) satisfaisant les conditions de Kuhn-Tucker est un maximisant global.
Dans ce qui suit, nous donnons une caractérisation de la solution au problème d’optimisation dé…ni précédemment.
Proposition 5.5 Soit
j
correspondant à un choix de portefeuille arbitraire de la part
du ggérant du fonds mutuel j. La meilleure réponse du gérant du fonds mutuel i, notée
par bi , est donnée par ce qui suit
- Si
0
j
- Si
0
j
2 j , alors la solution au problème (5:16) est bi =
>2
j
et
j
est une fonction linéaire de , soit
problème (5:16) est donnée par le couple bi ;
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
bi =
véri…ant
i
j
y
yk k2 2
=
j
2
i
i
j
77
j
y 4 k k4
2 i
.
k k2
= y ; 8y, alors la solution au
0
où
- Si
est un multiplicateur de Lagrange positif. Nous véri…ons que, dans ce cas, bi > 2 i .
0
j
>2
j
et
j
n’est pas une fonction linéaire de , soit
j
6= y ; 8y, alors la solution
au problème (5:16) ne peut véri…er la relation A1 = A2 = 0.
- Nous pouvons facilement véri…er que, dans le cas où
Preuve 5.6
solution non contrainte , bi =
- Lorsque
8
>
>
>
>
<
0
j
>2
j
et
j
2 i
,
k k2
F
i
( i)
2
= y , nous avons
k i k2
2( 0i
k i k4
i) i
et
i
Aj ( i ) = 2
0
j
j
i
(
0
i
i)
j
0
i j
où nous avons remplacé, sans incidence sur le résultat, la contrainte Aj ( i )
F
i
( i)
2
0. Exprimant
Aj ( i )
que le candidat bi =
i
j
2 j , la
appartient à l’ensemble Di .
rg ( i ) =
>
>
h
>
>
: r
0
j
j
et
en terme de y et , nous pouvons véri…er
y satisfait les conditions de Kuhn-Tucker, à savoir
8
>
>
rg bi = r
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
F
i
D’un autre côté, et puisque y >
b0
i
2 2
,
k k2
=
et
2
2
Aj bi
Aj bi = 0:
nous obtenons
i
j
>
bi
F
i
bi
i
j
0 par
y k k2
2
j
2
k k
78
k k2 = 2 i :
- Supposons maintenant que la meilleure réponse à
j,
0
j
où
> 2
et
j
j
6= y , est
telle que A1 = A2 = 0. Nous aurions forcément, dans ce cas, une solution de la forme
b
it
=
i
j
jt .
Appliquant cette dernière expression à la première condition de Kuhn-
Tucker, nous aurions obtenu
j
j
3
i+
4
i
j
j
!
3
0
j
i
j+
j
4
j
j
!
j
= 0:
Cette équation est linéaire en ; et ainsi devraient être ses solutions possibles, ce qui
contredit l’hypothèse de départ sur la relation entre
5.5
j
et .
Les stratégies d’investissement à l’équilibre
A…n d’obtenir une description complète de l’équilibre (ou des équilibres), nous agrégeons dans cette section les résultats de l’optimisation faite au niveau des gérants et le
résultat du chapitre 4 concernant la meilleure réponse de l’investisseur.
Proposition 5.6 Étant donnée la règle de meilleure réponse de l’investisseur, il existe
un unique équilibre dominant, au sens de Pareto, pour le jeu entre les deux gérants.
Le choix de portefeuille des fonds mutuels ainsi que les proportions de la richesse de
l’investisseur qui leurs sont allouées sont donnés par
Choix de portefeuille
:
des fonds mutuels
79
8
>
<
>
:
P
1
P
2
=
2 1
k k2
=
2 2
k k2
[ 0]
0
[ ]
1
(5.17)
1
Proportions de la richesse de l’investisseur
:
investies dans chaque fonds mutuel
où
2 [0; 1] est choisi par l’investisseur.
8
>
<
P
1
>
:
P
2
k k2
4 1
=
) k4 k
= (1
2
(5.18)
2
La valeur de l’utilité espérée de la richesse terminale est
E log WTP = log W0 ST0 +
T
k k2
8
(5.19)
et les valeurs marchandes initiales de la rémunération cumulée de chaque gérant sont
EP 0
Z
T
0
EP 0
Z
0
T
d P1t
St0
d P2t
St0
=
h
k k2
h
) W0 1
e
W0 1
= (1
i
T
4
e
(5.20)
T
4
k k2
i
:
Les expressions dans (5:17) montrent que, dans la situation d’équilibre dominant,
la proportion du fonds investie dans les actions est proportionnelle au taux auquel
les frais sont retirés. Par ailleurs, et conformément à la logique, (5:18) montre que la
proportion de la richesse de l’investisseur allouée à chaque fonds mutuel est inversement
proportionnelle au taux des frais.
Les proportions choisies par les fonds mutuels à l’équilibre sont celles qui maximisent, à chaque instant de la période d’investissement, les ratios de Sharpe relatifs à
chaque fonds mutuel, calculés après déduction des frais. Le coe¢ cient de linéarité est
proportionnel au taux de rémunération (ou au taux de frais de gestion). Ainsi, quand
les frais, en termes relatifs, chargés à l’investisseur augmentent, le gérant investit davantage dans les actifs risqués. À l’inverse, la relation entre la proportion de la richesse
de l’investisseur investie dans chacun des fonds et le taux des frais est, conformément
80
à la logique, négative. Nous voyons à travers l’équation (5:19) que ces deux e¤ets se
neutralisent et que l’utilité atteinte par l’investisseur à l’équilibre est indépendante des
taux de rémunération.
Les expressions (5:20) montrent que, à la situation d’équilibre dominant, le taux des
frais de gestion n’a aucun impact sur la valeur de la fonction objectif de chacun des
deux gérants. Ceci suggère que les résultats obtenus dans ce chapitre ne changent pas
par rapport au fait que
1
et
2
soient exogènes ou non au modèle que nous considérons.
A…n de prouver le résultat de la proposition précédente, nous commençons par
donner une description des di¤érents équilibres atteints dans ce jeu.
Les résultats de la section précédente montrent clairement que, pour avoir un équilibre, il est nécessaire d’être dans la situation où les deux fonds mutuels sont équivalents.
En e¤et, nous avons prouvé que chaque gérant peut se garantir une rémunération strictement positive, ce qui veut dire que le cas où toute la richesse de l’investisseur est mise
dans l’obligation sans risque et le cas où l’un des deux fonds mutuels domine l’autre
ne peuvent pas représenter une situation d’équilibre. Par ailleurs, nous avons prouvé
qu’aucun des deux gérants ne peut se satisfaire de la situation où les deux fonds mutuels o¤rent tous les deux des rendements ajustés strictement positifs. De ce fait, tout
équilibre, si jamais il existe, doit véri…er A1 = A2 = 0 correspondant à
1
1
=
2
2
.
Proposition 5.7 Il existe une in…nité d’équilibres pour le jeu entre les gérants dé…nis
par les stratégies d’investissement suivantes :
1t
= [ 0]
2t
=
1
1
(5.21)
yt
1
[ 0]
yt
(5.22)
2
1t
=
y t k k2
2
2
1 2
yt k k
(5.23)
2
2t
= (1
)
y t k k2
2
2 :
1 2
yt k k
2
81
(5.24)
où
2 2
.
k k2
2 [0; 1] et pour tout instant t, yt
0
2
Preuve 5.7 Nous savons que dans le cas où
avons b1 =
2,
1
2
respectivement b2 =
1,
2
1
> 2 2 , respectivement
seulement si
1
et
2
0
1
> 2 1 , nous
sont linéaires en .
D’un autre côté, les seuls choix de portefeuille des fonds mutuels véri…ant
0
2
2
véri…er
2
et
1
1
=
1
1
2
=
correspondent à
2
2
y et
2
0
=
2 1
k k2
=
2 2
.
k k2
= y avec y
à partir de la relation
1
et
2
2 2
.
k k2
=
0
1
2 1,
Ainsi, tout équilibre doit
Nous déduisons les portefeuilles d’équilibre
. Les stratégies d’équilibre de l’investisseur sont dérivées
directement de la meilleure réponse de ce dernier correspondant au cas où A1 = A2 = 0
donnée à la proposition 4.1.
Pour chaque yt
8
>
>
>
>
>
>
>
<
2 2
,
k k2
EP 0
les valeurs d’équilibre des rémunérations sont :
hR
>
>
>
hR
>
>
T
>
>
0
E
P
:
0
T d 1t
0 St0
d 2t
St0
i
i
"
= W0 1
= (1
e
"
) W0 1
RT
0
e
2
yt k k2
2 dt
yt2 k k2
RT
0
2
#
yt k k2
2 dt
yt2 k k2
#
:
En passant à l’agrégation de ces deux valeurs, nous obtenons :
EP 0
Z
0
T
d t
St0
= EP 0
"
Z
T
0
= W0 1
d 1t
+ EP 0
St0
e
RT
0
Z
yt k k2
2
2 y 2 k k2 dt
t
T
#0
;
d 2t
St0
(5.25)
où nous voyons que la valeur au marché initiale de la totalité des frais payés par l’investisseur est indépendante de . Le même constat est déduit pour l’utilité espérée de
82
la richesse terminale de l’investisseur. En e¤et, nous avons :
E [log WT ]
Z
T
= log W0 + E
rdt
0
Z T
( t )0 ( t )0
+E
0
= log
W0 ST0
1
+
2
Z
T
1
k
2
yt k k2
tk
2
dt
2
2
2
(yt )2 k k
0
t
dt:
(5.26)
2 2
, E [log WT ] est strictement
Nous pouvons facilement véri…er que, 8 yt = y
k k2
hR
i
T d
croissante en y et que EP 0 0 S 0t est strictement décroissante. De plus, l’utilité espét
2
rée de l’investisseur est bornée par log [W0 ST0 ]+ T k2 k qui correspond à la valeur optimale
atteinte par l’utilité espérée de l’investisseur s’il avait un accès direct, sans coûts, au
marché des actions. La …gure (5
3) illustre le comportement de ces deux fonctions
par rapport à y.
Preuve 5.8 (Preuve de la proposition 5.6) Parmi les di¤érents équilibres, les gérants des fonds mutuels vont choisir celui qui leur permet d’extraire la valeur initiale
au marché maximale des frais cumulés sur la période d’investissement. Cette situation
correspond clairement à yt =
2 2
,
k k2
8t, qui, appliquée aux équations (5:21), (5:22), (5:23),
(5:24), (5:25) et (5:26), donne les valeurs présentés dans la proposition 5.6.
À l’équilibre, l’investisseur se trouve dans une situation où il est indi¤érent entre
les deux fonds mutuels. Par "indi¤érent", nous ne voulons pas dire que les deux fonds
mutuels o¤rent un même actif …nancier mais plutôt que l’investisseur peut atteindre
un même niveau d’utilité espérée à travers une in…nité de combinaisons d’allocation
entre les deux fonds mutuels et l’actif sans risque. Parmi ces di¤érentes combinaisons,
l’investisseur peut choisir d’investir uniquement dans l’un des deux fonds mutuels. Ainsi,
83
log(W0 S T0 )+ ∫
ξ
dt
2
2
T
0
E[log(WT*)]
T

−∫
W0 1 − e 0

log(W0 S T0 )+ ∫
2
ξ
dt
4



ξ
dt
8
2
T
0
 T dΦ *t 
E P0 ∫
0 
0
 St 
0
2γ 2
ξ
y
2
Fig. 5-3 –La valeur de l’utilité espérée de la richesse terminale de l’investisseur et la
valeur au marché initiale du total des frais payés par l’investisseur correspondant aux
di¤érents équilibres. Chaque valeur de y k2 k22 correspond à un équilibre.
avec une même structure de frais basés sur les fonds sous gestion et, quelle que soit la
dispersion dans les taux de rémunération, les fonds mutuels ne peuvent se di¤érencier
à travers la gestion de portefeuille. Ainsi, c’est l’investisseur qui choisit, à travers , la
"part de marché" à a¤ecter à chaque fonds mutuel.
Les fonds mutuels se verraient de ce fait contraints à davantage d’e¤orts en marketing et en distribution, à défaut de pouvoir se distinguer à travers la performance
…nancière. Et c’est d’ailleurs ce que les travaux empiriques sur les fonds mutuels tendent
à con…rmer. Ainsi, Kaniel et Starks (2005) montrent que la couverture médiatique des
fonds mutuels a une plus importante in‡uence sur les ‡ux que les performances …nancières enregistrées. Le même constat est relevé par Jain et Wu (2000) et Barber, Odean
et Zheng (2005).
84
5.6
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons déterminé les choix de portefeuille des fonds mutuels
dans un cadre de concurrence stratégique où les coe¢ cients du marché sont déterministes, où la rémunération des gérants est basée sur les actifs sous gestion et où
l’investisseur a une utilité logarithmique. Le choix de portefeuille de chaque fonds mutuel à l’équilibre est celui qui maximise son ratio de Sharpe, net des frais, en autant
que ce choix de portefeuille permet d’o¤rir un instrument d’investissement qui domine,
ou est équivalent à, celui o¤ert par le fonds concurrent. Nous avons, ainsi, montré que
les gérants ne béné…cient pas d’une "dispersion" dans leurs choix de portefeuille et la
situation d’équilibre correspond à celle où les fonds mutuels sont équivalents.
Le modèle que nous considérons pourrait être étendu à un cadre plus général en
considérant des coe¢ cients du marché stochastiques. Dans ce cas, les gérants des fonds
mutuels ne chercheraient probablement pas à maximiser le ratio de Sharpe à chaque
instant et il y aurait une composante liée à la couverture dans leurs choix de portefeuille.
Par ailleurs, Merton (1987), Falkenstein (1996), Basak et Cuoco (1998), Shapiro
(2002) et Kacperczyk, Sialm et Zheng (2005) soutiennent le fait que les fonds mutuels
investissent uniquement dans les actifs pour lesquels ils ont su¢ samment d’information.
Il serait, de ce fait, plus réaliste de considérer le cas où les fonds mutuels n’ont pas accès
aux mêmes actifs de base ou qu’ils ont des contraintes sur les proportions à investir dans
chaque actif de base.
85
Chapitre 6
Examen de la valeur ajustée par
une mesure de risque dynamique
cohérente
6.1
Introduction
L’utilisation de la valeur à risque (VaR) dans la gestion du risque a été très abondante depuis une dizaine d’années. Ceci est dû essentiellement au fait que cette mesure
est relativement facile à calculer et à interpréter. De plus, la VaR est devenue un outil
de gestion de risque dans le sens où elle ne représente pas seulement une mesure statistique mais, aussi, une contrainte d’exposition au risque. C’est ce qui explique que la
majorité des institutions …nancières ont incorporé, dans leur gestion de risque, le critère
de maintien de la VaR au dessus d’un certain niveau. Dans ce cadre, Basak et Shapiro
(2001) étudient l’impact d’une gestion de risque basée sur la VaR sur les choix de portefeuille optimaux et sur les prix d’équilibre. Pour ce faire, ils considèrent un problème
d’optimisation d’utilité sous une contrainte liée à la VaR. Leurs résultats montrent que
les pertes encourues sont encore plus grandes lorsque ce type de gestion de risque est
86
adopté. En e¤et, la VaR a l’inconvénient de se préoccuper davantage de la probabilité
de la perte que de son importance. Ce problème a été aussi relevé par Yamai et Yoshiba
(2005) dans une étude empirique qui montre la sous-évaluation par la VaR du risque
dans les cas de ‡uctuations extrêmes des prix.
A…n de remédier à ce problème, Artzner, Delbaen, Eber et Heath (1997) proposent
comme mesure de risque alternative la valeur espérée des pertes excédant la VaR. C’est
ce que, plus tard, Rockafeller et Uryasev (2000) appellent la valeur à risque conditionnelle (CVaR). Acerbi et Tasche (2002) montrent que, pour des distributions continues,
la CVaR satisfait la propriété de sous-additivité alors que ce n’est pas le cas pour la
VaR. En e¤et, la valeur à risque présente des problèmes dans l’agrégation du risque.
Ainsi, et mis à part des cas particuliers de distribution de rendements, un portefeuille
peut avoir une VaR plus élevée que la somme des VaR des composantes de ce même
portefeuille prises individuellement. Ceci est, bien entendu, contraire au principe de la
diminution du risque par la diversi…cation. Szegö (2002) présente d’autres problèmes
liés à la VaR et conclut qu’elle ne peut tout simplement pas être considérée comme une
mesure de risque.
Cette critique, liée à la diversi…cation, a été adressée par Artzner, Delbaen, Eber et
Heath (1999) en quali…ant la VaR de mesure non cohérente. En e¤et, dans une étude
sur la façon de mesurer les risques dans un cadre statique, ces auteurs présentent et justi…ent la nécessité que toute mesure de risque doive satisfaire certaines propriétés. Pour
ces auteurs, mesurer un risque revient à établir une correspondance $ entre l’espace
de variables aléatoires (par exemple, les valeurs futures liées à un ensemble d’investissements donnés) et un nombre réel, c’est-à-dire, $ :
!R. 8x 2 , la mesure $ (x)
peut être interprétée comme le montant minimum à ajouter à la position risquée x a…n
que l’investissement soit considéré comme acceptable par l’instance réglementaire. $
est dite "une mesure de risque cohérente" si elle satisfait les propriétés suivantes :
– Homogénéité d’ordre 1 : $ (zx) = z$ (x) pour toute variable aléatoire x 2
87
et
pour tout réel positif z.
– Sous-additivité : $ (x + y)
$ (x) + $ (y) pour toutes variables aléatoires x et
y appartenant à . Cette propriété est l’équivalent mathématique de l’e¤et de la
diversi…cation.
– Monotonicité : si x
y alors $ (x)
$ (y) pour toutes variables aléatoires x et
y appartenant à . Cette propriété traduit le fait que si un portefeuille y présente
de meilleurs résultats que x dans tous les états du monde, alors il doit être moins
risqué.
– Invariabilité par rapport à la translation : $ (x + m) = $ (x)
m pour tout
réel m. Cette propriété signi…e que si les revenus sont augmentés (ou diminués)
par m unités dans chaque état de la nature, alors la mesure de risque diminue
(augmente) par les mêmes m unités.
Parmi ces quatre propriétés, celle concernant l’homogénéité d’ordre 1 paraît être la
moins réaliste. En e¤et, il est assez fréquent qu’un risque de liquidité vienne s’ajouter
lorsqu’une position est multipliée par un facteur élevé. C’est pour cette raison que
Föllmer et Schied (2002) proposent une classe de mesures de risque alternative en
substituant les deux premières propriétés par celle de convexité : $ (kx + (1
k$ (x) + (1
k) y)
k) $ (y) pour toutes variables aléatoires x et y et pour tout k 2 [0; 1].
Jouini, Meddeb et Touzi (2004) généralisent à plusieurs dimensions la caractérisation axiomatique, donnée ci-haut, des mesures de risque cohérentes. Ainsi, ils tiennent
compte du cas réaliste où la valeur du portefeuille est une variable aléatoire représentée par un vecteur dont chaque composante correspond à un marché d’actifs …nanciers
spéci…que. En e¤et, les investisseurs se trouvent généralement dans des situations où
ils sont incapables d’agréger leurs portefeuilles du fait des problèmes de liquidité et de
coûts de transaction entre di¤érents marchés …nanciers.
Les mesures de risque présentées dans les articles déjà mentionnés s’appliquent uniquement au cas statique. Leur extension au cas dynamique pourrait, en e¤et, entraîner
88
des di¢ cultés lors de la résolution des problèmes d’optimisation, tels ceux concernant
la gestion de portefeuille à long terme, par exemple. Par ailleurs, il existe généralement
des transactions intermédiaires entre le début et la …n de la période d’investissement
qui rendent plus approprié de mesurer le risque sur l’ensemble de la période et non pas
uniquement à la date …nale. C’est principalement pour ces raisons que des mesures de
risque dynamiques ont été proposées. Cvitanic et Karatzas (1999) en proposent une
dans l’étude, dans un cadre en temps continu, du problème de l’exposition au risque
d’une dette dont la couverture n’est pas parfaite. Par ailleurs, Wang (1999) propose
une approche axiomatique pour dé…nir une classe de mesures de risque dynamiques.
Les six propriétés qu’il présente ne permettent d’assurer ni la cohérence, ni la convexité
de ces mesures. Riedel (2004) se penche, en plus des quatre propriétés liées aux mesures
de risque cohérentes dans le cas statique, sur la notion de la pertinence dynamique et
réussit à caractériser des mesures de risque dynamiques cohérentes.
Dans une généralisation de leur premier travail au cas multi-périodes, Artzner, Delbaen, Eber, Heath et Ku (2004) proposent une représentation de la valeur ajustée à
une mesure de risque cohérente dans un cadre dynamique. Il est, en e¤et, plus pratique
de travailler directement avec des valeurs ajustées au risque qu’avec les mesures de
risque. Cette représentation montre que cette valeur ajustée correspond au minimum
des espérances calculées sur un ensemble de mesures de probabilités et sur l’ensemble
des temps d’arrêt allant jusqu’à la date terminale de l’horizon d’investissement. C’est
sur cette représentation que se base notre étude de la valeur ajustée à une mesure de
risque dynamique cohérente (dans ce qui suit, nous l’appellerons valeur ajustée).
L’objectif de ce chapitre est d’explorer cette valeur ajustée. Pour ce faire, nous montrons, dans la section 6.2, que le processus de cette valeur est la solution d’une équation
di¤érentielle stochastique rétrograde. Des applications à des problèmes d’investissement
sont présentées à la section 6.3. Ainsi, nous déterminons son comportement dans un
cas d’investissement optimal et nous résolvons un problème "max-min" de couverture
89
non parfaite inspiré de Cvitanic et Karatzas (1999)). La section 6.4 conclut.
6.2
La valeur ajustée comme solution à une équation di¤érentielle stochastique rétrograde
Nous utilisons le modèle de marché complet à coe¢ cients constants, à n actifs risqués
et à un actif sans risque, décrit au chapitre 2. L’horizon de temps est …ni.
Sous la mesure de probabilité P q dé…nie au chapitre 2, la dynamique du vecteur des
actifs risqués s’exprime comme suit :
dSt = diag [St ] [(r1n
q) dt + dBtq ] ; S0 2 (0; 1)n :
Nous voyons bien à travers cette équation que chaque q considéré correspond à un
scénario donné du taux d’appréciation des actifs risqués.
Nous considérons un investisseur atomistique disposant d’une richesse initiale W0
i
qui peut décider à tout instant t 2 [0; T ] du montant et à investir dans chaque action
i = 1; : : : ; n. Ces décisions sont prises sans connaissance des événements futurs, c’est-àj
dire que et est une variable aléatoire Ft -mesurable, 8j = 1; : : : ; n. De plus, ces décisions
n’ont aucun e¤et sur le marché puisque l’agent économique est atomistique. Nous notons
par Wt la richesse de cet agent à l’instant t. Le processus de cette richesse satisfait
l’équation di¤érentielle stochastique suivante :
90
0
X j dS i
t
e0 1n dSt +
e
t
t
i
St0
S
t
j=1
h
i
0
0
= Wt r + et
dt + et dBt
n
dWt =
Wt
0
= Wt rdt + et dBt0 ; W0 > 0
1
n
où et := et ; : : : ; et
0
(6.1)
est tel que le processus de la richesse est borné inférieurement.
En utilisant (2:1) et (6:1) et en appliquant le lemme d’Itô, nous obtenons la dyna-
mique de la richesse actualisée :
d
Wt
St0
=
dWt
St0
=
e0
t
St0
Wt
dSt0
0 2
(St )
dBt0 :
e représente l’ensemble des stratégies e garantissant que
et que E
WT
ST0
(6.2)
W
S0
est borné inférieurement
2
< +1.
Dans ce qui suit, nous considérons l’ajustement du processus de la valeur de la
richesse actualisée, telle que dé…nie par (6:2), à une mesure de risque cohérente. Pour ce
faire, nous avons tout d’abord besoin d’introduire la notion de stabilité des ensembles de
probabilité qui nous garantit la cohérence dynamique de la mesure de risque considérée.
6.2.1
Stabilité et concaténation des mesures de probabilité
Delbaen (2001) discute de la notion de stabilité des mesures de probabilités. Il est
à noter que la propriété de rectangularité évoquée par Epstein et Schneider (2003) en
est un cas particulier.
91
Dé…nition 6.1 Soit un ensemble P fermé et convexe de mesures de probabilités. P est
dit stable si 8P a et P b 2 P, ayant comme martingales associées M a et M b , et pour tout
temps d’arrêt , la martingale L, dé…nie par
Lt =
8
>
>
>
>
<
Mta pour t
>
>
>
>
: M a Mtb pour t > ;
Mb
est associée à une mesure de probabilité appartenant à P résultant de la concaténation
de P a et P b .
Une des conséquences de cette propriété est énoncée dans le résultat suivant :
– Soient P a ; P b 2 P, un ensemble stable,
2 S[t;T ] , l’ensemble des temps d’arrêt
2 [t; T ], et XT une variable aléatoire F (T )-mesurable, nous avons, en utilisant
la loi de Bayes,
Ma
MTb
E
XT jF jFt
Mta
Mb
b
1
a MT
E
M
XT jFt
=
Mta
Mb
1
E [LT XT jFt ]
=
Lt
EP a [EP b [XT jF ] jFt ] = E
= EP L [XT jFt ]
où P L 2 P est la mesure de probabilité dé…nie par P L (A) := E [LT 1A ], 8A 2
F (T ).
92
6.2.2
Simpli…cation de la représentation de la valeur ajustée
Artzner, Delbaen, Eber, Heath et Ku (2004) énonce le résultat suivant concernant
la représentation de la valeur ajustée à une mesure de risque dynamique cohérente.
Dé…nition 6.2 Soit un ensemble de mesures de probabilités, P, satisfaisant la propriété de stabilité. La valeur de la richesse actualisée ajustée à une mesure de risque
dynamique cohérente est représentée par :
t
W
S0
= essinf EP q
2S[t;T ]
P q 2P
où S[t;T ] est l’ensemble des temps d’arrêt
W
jFt
S0
(6.3)
2 [t; T ].
L’intérêt de cette représentation est de considérer toute la trajectoire du processus
de la richesse et non pas seulement la valeur à la date terminale. Par ailleurs, cette
représentation permet la "mise à jour", à chaque instant t, de la mesure de risque à
travers l’espérance conditionnelle. L’expression de cette espérance conditionnelle est
di¤érente de celle proposée par Riedel (2004) qui ne tient compte des ‡ux des dates
intermédiaires qu’à travers leur cumul à la …n de la période d’investissement.
L’équation (6:3) peut être interprétée de la façon suivante. À l’instant t, la valeur
ajustée à une mesure de risque cohérente s’exprime comme étant la valeur minimale
atteinte par la trajectoire, de t jusqu’à T , de la richesse espérée, actualisée à l’instant
t, et, ce, sous le pire des scénarios. Les scénarios sont représentés par les di¤érentes
mesures de probabilité de l’ensemble P. Il est à préciser que, telles que nous les avons
dé…nies, les di¤érentes mesures de probabilité P q traduisent di¤érents vecteurs de prix
au marché du risque qui correspondraient à di¤érents scénarios relatifs aux valeurs
prises par les coe¢ cients du modèle.
93
La représentation de la valeur ajustée à une mesure de risque cohérente peut être
simpli…ée en introduisant une hypothèse non contraignante sur l’ensemble des mesures
de probabilité.
Proposition 6.1 Si l’ensemble des mesures de probabilité P est stable et si la mesure
de probabilité risque-neutre P 0 est un élément de cet ensemble, alors
W
S0
t
WT
jFt :
ST0
= essinf EP q
P q 2P
Preuve 6.1 Nous savons d’après (6:2) que
W
S0
(6.4)
est une P 0 -martingale locale. Par ailleurs,
le processus de la richesse est borné inférieurement. De ce fait,
W
S0
est une P 0 -supermartingale.
D’où, nous obtenons l’inégalité suivante :
Wt
St0
qui appliquée à
EP 0
W
jFt
S0
8 2 S[t;T ]
et T devient comme suit :
W
S0
EP 0
WT
jF
ST0
:
Nous pouvons, ainsi, obtenir la relation suivante :
t
W
S0
= essinf EP q
2S[t;T ]
P q 2P
W
jFt
S0
essinf EP q EP 0
2S[t;T ]
P q 2P
94
WT
jF
ST0
jFt :
Ayant supposé que P 0 2 P, nous avons alors EP 0
et incidemment :
"
essinf EP q essinf EP q0
2S[t;T ]
P q 2P
WT
ST0
WT
jF
ST0
essinf EP q EP 0
2S[t;T ]
P q 2P
h
0
P q 2P
jF
i
essinf P q0 2P EP q0
h
WT
ST0
jF
i
jFt
WT
jF
ST0
#
jFt :
D’après l’hypothèse de stabilité de P, nous savons que la concaténation de P q et P q :=
h
i
T
arg essinf P q0 2P EP q0 W
jF
est un élément de P. De ce fait,
S0
T
essinf EP q EP q
2S[t;T ]
P q 2P
essinf EP q EP q
2S[t;T ]
P q 2P
WT
jF
ST0
WT
jF
ST0
jFt
jFt = essinf EP q
2S[t;T ]
P q 2P
WT
jFt :
ST0
Dans la dernière égalité, l’optimisation sur les temps d’arrêt devient super‡ue. Donc
t
W
S0
essinf EP q
P q 2P
WT
jFt :
ST0
Pour compléter la preuve, il reste à montrer l’autre sens de l’inégalité qui est assez
95
facile. En e¤et,
t
W
S0
W
jFt
S0
= essinf EP q
2S[t;T ]
P q 2P
= essinf essinf EP q
P q 2P
2S[t;T ]
essinf EP q
P q 2P
W
jFt
S0
WT
jFt :
ST0
La proposition précédente montre que, pour un ensemble de scénarios stable donné,
le processus de la valeur ajustée correspond à l’espérance de la richesse terminale continuellement "mise à jour" par l’information cumulée à travers l’évolution du temps.
Pour la suite du chapitre, l’ensemble des mesures de probabilité P est dé…ni tel que
jqi j
hi , 8i = 1; : : : ; n où qi représente la perturbation par rapport au ieme élément du
vecteur du prix au marché du risque . D’après Artzner (2002), cet ensemble est bien
stable et 8i; nous avons qi = 0 2 [ hi ; hi ] correspondant à la mesure risque neutre.
La représentation du processus de la valeur ajustée correspond donc à l’expression
suivante :
t
W
S0
=
essinfn
jqi j
hi
i=1
EP q
WT
jFt :
ST0
(6.5)
Nous pouvons de ce fait interpréter la valeur ajustée comme l’espérance de la valeur
terminale sous le pire des scénarios. Ce pire des scénarios va être déterminé à travers la représentation de la dynamique de la valeur ajustée en équation di¤érentielle
stochastique rétrograde.
Dé…nissons, pour une mesure de probabilité donnée correspondant à q, qt SW0 :=
h
i
q
T
EP q W
jF
0
t .
t représente l’espérance conditionnelle de la valeur terminale corresS
T
pondant à un scénario donné. Elle est, bien entendu, une P q -martingale dont la dyna96
mique peut s’exprimer, conformément au théorème de la représentation des martingales,
comme suit :
d
q
t
= Nt0 dBtq
(6.6)
0
où Nt := (Nt1 ; : : : ; Ntn ) est un vecteur colonne de dimension n et
q
T
=
WT
ST0
.
A…n de caractériser le processus de la valeur ajustée, nous devons résoudre le problème de contrôle stochastique suivant :
avec
t
W
S0
=
T
W
S0
=
essinfn
(jqi j hi )i=1
q
t
W
S0
WT
:
ST0
Sous la mesure de probabilité originale P , nous obtenons :
d
et
q
t
W
S0
=
q
T
W
S0
=
Nt0 ( + q) dt
Nt0 dBt
WT
:
ST0
Ceci dé…nit bien une équation di¤érentielle stochastique linéaire rétrograde (Linear Backward Stochastic Di¤erential Equation, EDSLR). D’après El Karoui, Peng et Quenez
(1997), la solution
Pq
; N à cette EDSLR est unique du fait que + q est un vecteur
dont les éléments sont constants et que
WT
ST0
est tel que E
Remarque 6.1 Soient des vecteurs q 1 et q 2 tels que
97
WT
ST0
2
Nt0 ( + q 1 )
< +1.
Nt0 ( + q 2 ). Par
q1
t
le théorème de comparaison, nous avons, pour tout t,
Nt0 ( + q ) = essinf (jq j
Soit q := (q1 ; : : : ; qn ) tel que
8q,
Nt0 ( + q )
q2
t .
i
n
hi )
i=1
f Nt0 ( + q)g. Ainsi,
Nt0 ( + q). Ce qui nous donne, en appliquant le résultat de la
q
t
remarque précédente,
essinf (jqi j
q
t,
h i )n
i=1
pour tout t.
D’un autre côté, il est facile de voir que 8i = 1; : : : ; n et jqi j
q
t
essinf
(jqi (t)j
q
t.
n
hi )
i=1
t
Le processus
W
S0
= essinf
n
hi )
i=1
(jqi j
t
hi , nous avons
satisfait, de ce fait, la relation suivante :
q
t
W
S0
q
t
=
W
S0
où q représente le pire des scénarios.
En explicitant
q
t
, nous voyons que le processus
t
W
S0
est la solution à la EDSLR
qui suit :
d
avec
t
W
S0
=
T
W
S0
=
essinf f Nt0 ( + q)g dt
(jqi j hi )n
i=1
WT
:
ST0
Nt0 dBt
(6.7)
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Proposition 6.2 Soit P l’ensemble des mesures de probabilités résultant de qi 2 [ hi ; hi ] ; 8i =
1; : : : ; n et hi > 0. Le processus de la valeur de la richesse actualisée ajustée à une mesure de risque dynamique cohérente est la solution à l’équation di¤érentielle stochastique
98
linéaire rétrograde suivante :
d
avec
t
T
W
S0
=
W
S0
=
n
X
Nti hi dt
Nt0 dBt0
i=1
WT
:
ST0
(6.8)
Preuve 6.2 Pour déterminer le coe¢ cient de dérive de l’équation (6:7), nous résolvons
le problème suivant :
Nt0 q:
essinf
n
hi )
i=1
(jqi j
Cette résolution dépend clairement du signe de chacun des éléments du vecteur Nt . S’il
est positif, le pire scénario correspond à la perturbation la plus élevée de l’élément du
vecteur du prix au marché de risque correspondant, à savoir hi . S’il est négatif, le pire
scénario correspond à une perturbation de
hi . Ainsi, nous avons :
essinf
(jqi j
=
essinf
(jqi j
=
n
hi )i=1
n
hi )i=1
n
X
Nt0 q
n
X
Nti qi
i=1
Nti hi :
i=1
Proposition 6.3 En supposant que la solution à l’équation (6:8) est markovienne, nous
99
pouvons facilement montrer que la valeur ajustée, exprimée par
t
W
S0
= g t;
Wt
St0
;
résout l’équation di¤érentielle partielle suivante :
8
>
>
>
>
>
<
@g
@t
>
>
>
>
>
:
où
e0
0
1 @ 2 g et 0et
2
2 @x (S 0 )2
t
=
Pn
@g
i=1 @x
e0
t
St0
i
hi ;
(6.9)
avec g (T; x) = xT
représente le ieme élément du vecteur ligne de dimension n,
t
St0
+
i
e0
t
St0
et x :=
W
.
S0
Pour pouvoir exprimer la solution de la sorte, nous supposons que le montant investi
est lui même markovien et dépend de la valeur de la richesse.
Preuve 6.3 D’après (6:2), nous avons :
dxt =
e0
t
St0
dBt0 :
En appliquant le lemme d’Itô à g (t; x), nous obtenons :
@g
dt +
@t
@g
=
dt +
@t
dgt =
@g
1 @2g
dxt +
d hxit
@x
2 @x2
0
0
@g et
1 @ 2 g et 0et
0
dBt +
dt:
@x St0
2 @x2 (St0 )2
100
En utilisant (6:8), nous pouvons en déduire que :
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
6.3
0
@g et
@x St0
= Nt0
et
@g
@t
+
1 @2g
2 @x2
e0
t
0e
t
2
0
St
( )
=
Pn
i=1
jNti j hi :
Applications
6.3.1
Comportement de la valeur ajustée dans un cas d’investissement optimal
Nous considérons que l’investisseur a une utilité de la forme :
U (z) :=
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
z1
1
1
pour
2 (0; 1) n f1g
(6.10)
log z pour
=1
et qu’il alloue sa richesse de façon à maximiser l’utilité espérée de sa richesse terminale,
à savoir :
e := argmax E [U (WT )] :
t
et 2 e
La solution à ce problème est bien connue et elle est donnée par :
e = 1 ( 0)
t
101
1
Wt :
De ce fait, la dynamique de la richesse actualisée suit l’équation di¤érentielle stochastique :
d
Wt
St0
0
e
t
dBt0
St0
1 0 Wt 0
=
dB
St0 t
1 0 Wt
[ qdt + dBtq ]
=
0
St
=
(6.11)
qui, exprimée sous sa forme intégrale, devient :
WT
Wt
= 0
0
ST
St
1
0
q
Z
T
t
1
Ws
ds +
0
Ss
Z
T
t
Ws 0 q
dBs :
Ss0
(6.12)
Proposition 6.4 Soit P l’ensemble des mesures de probabilités résultant de qi 2 [ hi ; hi ] ; 8i =
1; : : : ; n et hi > 0. Le processus de la valeur de la richesse actualisée ajustée à une mesure de risque cohérente pour un investisseur maximisant une utilité exprimée par (6:10)
est :
t
W
S0
=
essinfn
jqi j
=
hi
Wt
e
St0
EP q
i=1
(T
102
t)
Pn
WT
jFt
ST0
i=1 j i jhi
:
Preuve 6.4 De (6:5) et (6:12), nous obtenons
t
W
S0
=
jqi j
RT
t
hi
i=1
Wt
+
St0
=
Nous supposons que
essinfn
jqi j
Ws 0
dBsq
Ss0
d’après (6:11) que, pour s
Btq )
1
k
2
k2 (s t)]
EP q
hi
i=1
WT
jFt
ST0
8
hR
i
>
< 1 0 qEP q T W0s ds jFt
t Ss
i
hR
>
: + 1 EP q T W0s 0 dBsq jFt
t S
s
9
>
=
>
;
:
est une P q -martingale. Par ailleurs, nous savons
t,
Ws
Wt
= 0e
0
Ss
St
q
1 0
e [ (Bs
EP q
essinfn
1 0
q(s t)+ 1 [
0
(Bsq
Btq )
1
k
2
k2 (s t)]
:
étant une P q -martingale, nous obtenons :
Z
t
T
Z
Wt
Ws
ds jFt = 0 EP q
0
Ss
St
T
e
1 0
q(s t)
t
ds jFt :
Ainsi, nous avons :
t
W
S0
Wt Wt
=
+ 0
St0
St
Wt Wt
=
+ 0
St0
St
=
Wt Wt
+ 0
St0
St
Wt
=
e
St0
(T
t)
1
essinfn
jqi j
hi
hi
i=1
i=1
essinfn
jqi j
Pn
hi
i=1
i=1 j i jhi
Z
qEP q
T
e
1 0
q(s t)
t
essinfn
jqi j
0
(
h
e
:
103
0
T
q
0
(T
t)
q
Pn
e
1 0
i=1 i qi
q(s t)
t
i
1
)
ds jFt
Nous pouvons, par aileurs, véri…er que la solution que nous donnons est bien une
solution à l’EDP (6:9).
Pour ce processus de portefeuille particulier, nous voyons que le pire des scénarios
dépend du signe du prix au marché du risque. Prenons comme exemple un marché avec
un seul actif risqué. La stratégie optimale e montre qu’il faut vendre à découvert cet
actif si son taux d’appréciation est inférieur au taux d’intérêt, autrement dit < 0. Dans
ce cas, le pire des scénarios pour l’investisseur est que le plus élevé du taux d’appréciation se réalise, c’est-à-dire un rendement de l’actif risqué égal à r + h, correspondant
àq=
h. Par contre, si
> 0 alors l’investisseur achètera l’actif risqué et le pire des
scénarios dans ce cas correspond à q = h, c’est à dire un rendement instantané de l’actif
risqué égal à r
h.
La proposition précédente nous permet de mieux comprendre le processus de la valeur ajustée et de voir, de manière conforme à l’intuition, qu’elle a une relation négative
avec le temps d’investissement restant et avec, justement, le prix au marché du risque.
À chaque instant t, l’ajustement au risque est matérialisé par un escompte appliqué à
la valeur de la richesse de l’investisseur. Cet escompte est proportionnel à j i j et à t.
Ainsi, avec l’évolution dans le temps, une partie de l’incertitude est révélée, d’où une
valeur ajustée au risque plus élevée. Par ailleurs, des prix au marché du risque élevés en
termes absolus sont la résultante d’un état du monde qui nécessite un plus important
ajustement pour le risque.
Pour ce qui concerne le coe¢ cient d’aversion au risque, il agit positivement sur la
valeur ajustée. Ainsi, un investisseur présentant une grande aversion au risque s’expose
moins au risque, d’où un ajustement moindre.
104
6.3.2
Cas de couverture non parfaite
Nous nous inspirons du problème considéré par Cvitanic et Karatzas (1999) a…n
d’étudier le risque associé à la couverture d’une dette représentée par la variable aléatoire FT -mesurable, DT . Il s’agit de trouver la politique d’investissement optimale maximisant la valeur ajustée à une mesure de risque cohérente associée au di¤érentiel entre
la richesse de l’investisseur et la dette à acquitter. En d’autres termes, nous cherchons
à résoudre, à chaque instant t, le problème suivant :
#t (
W
WT DT
; D) := esssup essinf EP q
jFt
0
S
ST0
P q 2P
et 2 e
(6.13)
où P est un ensemble de mesures de probabilités stable qui contient la mesure risqueneutre, P 0 , et WT représente la richesse terminale de l’investisseur correspondant à une
richesse initiale W0 et une stratégie d’investissement e. Il s’agit, donc, de maximiser la
valeur espérée actualisée de la situation …nancière nette de l’investisseur correspondant
au pire scénario.
Nous savons que, dans ce cadre de marché complet, une couverture parfaite, dénuée
de tout risque, peut être réalisée si la richesse initiale est supérieure à la valeur au
h i
T
marché initiale de la dette DT , qui correspond à D0 := EP 0 D
. Pour éliminer cette
S0
T
possibilité et introduire un risque relatif à la détention de cette dette, nous supposons
que l’investisseur ne peut pas fournir, à la date t = 0, la totalité du montant D0 ,
c’est-à-dire que :
W0 < D0 := EP 0
DT
:
ST0
(6.14)
Dans la proposition qui suit, nous dé…nissons la valeur ajustée à une mesure de
risque dynamique cohérente pour ce problème.
Proposition 6.5 Soit un ensemble de mesures de probabilité P stable qui contient la
105
mesure de probabilité risque-neutre P 0 . Nous avons alors que
t(
W
D
S0
WT
) := essinf EP q
DT
jFt
ST0
P q 2P
représente le processus d’une valeur ajustée à une mesure de risque cohérente.
Preuve 6.5 Dé…nissons un processus Dt tel que
dDt =
0
eD
t
St0
dBt0
D
où e représente le portefeuille réalisant une parfaite réplication de la dette DT .
Les hypothèses sur l’ensemble P nous permettent d’écrire :
essinf EP q
2S[t;T ]
P q 2P
Donc
W D
t( S0 )
W
D
jFt = essinf EP q
S0
P q 2P
:= essinf P q 2P E
Pq
h
WT DT
ST0
jFt
i
WT
DT
ST0
= essinf
2S[t;T ]
P q 2P
jFt :
E
Pq
h
W
bien le processus d’une valeur ajustée à une mesure de risque cohérente.
D
S0
jFt
i
est
Nous pouvons facilement voir que, 8t, WtD = Dt où WtD représente la richesse à
D
l’instant t généré à partir d’une richesse initiale D0 et en adoptant la stratégie e .
Nous en déduisons, ainsi, la dynamique de la situation …nancière nette actualisée de
106
l’investisseur, à savoir :
d
W
D
S0
W0
=
t
D0
S00
h
et
eD
t
St0
i0
dBt0 ;
(6.15)
< 0:
En utilisant le résultat de la section 2 appliqué à
#t (
W
; D) := esssup essinf
S0
P q 2P
et 2 e
q
t
W
D
S0
et en prenant P comme l’ensemble de mesures de probabilité associées à di¤érents
vecteurs q tels que 8i = 1; : : : ; n et hi > 0, qi 2 [ hi ; hi ], nous pouvons facilement
voir, à travers le théorème de comparaison, que #t ( SW0 ; D) est la solution à la EDSLR
suivante :
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
d#t
W
;D
S0
= esssupet 2 e essinf (jq j
i
#T
W
;D
S0
=
n
hi )i=1
f Nt0 qdt
Nt0 dBt0 g ;
(6.16)
WT DT
ST0
:
Ainsi, le problème "max-min" représenté par (6:13) est équivalent à la maximisation
du coe¢ cient de la dérive de l’expression de
d
t
W D
S0
. D’après (6:8) et (6:9), cela
revient à résoudre le problème suivant :
8
9
0h
i 1
D 0
>
>
e
e
n
< X @g
=
t
B t
C
esssup
h
@
A
i
>
St0
et 2 e >
: i=1 @x
;
i
107
(6.17)
où g (t; x) =
t
(x).
Puisque hi > 0, la fonction objectif du problème (6:17) est toujours négative et sa
valeur maximum correspond à :
e = eD , pour tout t 2 [0; T ] .
t
t
(6.18)
Par ailleurs, nous voyons à travers (6:15) que le processus
W
D
S0
t
, où W corres-
pond à une richesse initiale W0 et une stratégie de placement et , reste constant et donc
égal à sa valeur initiale, d’où :
WT
DT
ST0
= W0
D0 :
Sachant également que, pour et = et et utilisant la preuve 6.3, le vecteur des coe¢ -
cients de volatilité de
#t (
d#t
W
; D)
S0
W
;D
S0
:
correspond au vecteur nul, nous obtenons, 8t,
= esssup essinf EP q
= W0
et 2 e
P q 2P
WT
DT
ST0
jFt
(6.19)
D0 :
La proposition suivante montre que et est également la solution d’un jeu stochastique
…ctif entre l’investisseur et le marché.
108
Proposition 6.6 Soit P tel que dé…ni précédemment. Nous avons
esssup essinf EP q
et 2 e
DT
ST0
P q 2P
= essinf esssup EP q
P q 2P
WT
WT
DT
ST0
et 2 e
jFt
jFt :
Preuve 6.6 Nous avons déjà montré que
esssup essinf EP q
et 2 e
WT
P q 2P
DT
ST0
jFt = W0
D0 :
De plus, il est évident que la quantité "max-min" est dominée par sa contrepartie "minmax", c’est-à-dire
esssup essinf EP q
et 2 e
DT
ST0
P q 2P
essinf esssup EP q
P q 2P
WT
WT
DT
ST0
et 2 e
jFt
jFt :
Ayant P 0 2 P, nous obtenons
essinf esssup EP q
P q 2P
et 2 e
esssup EP 0
WT
DT
ST0
DT
ST0
et 2 e
WT
jFt
jFt :
Par ailleurs, sachant que la richesse de l’investisseur est bornée inférieurement et
109
d’après (6:2), le processus
W
S0
est une P 0 -supermartingale. D’où
EP 0
WT D
ST0
W0
D0 :
Ceci complète la preuve.
La solution (6:18) montre que, même lorsque la richesse initiale ne permet pas
la réplication de la valeur de la dette, le choix optimal qui permet de minimiser le
risque inhérent à cette situation reste celui qui correspond au portefeuille de couverture
parfaite.
6.4
Conclusion
Nous avons exploré, à travers ce chapitre, la mesure de risque cohérente multipériodique dans le but de lui donner un sens à travers des applications spéci…ques. Ainsi, nous
avons commencé par expliciter la représentation donnée par Artzner, Delbaen, Eber,
Heath et Ku (2004) à travers une simpli…cation basée sur l’hypothèse que la mesure de
probabilité risque-neutre est parmi les scénarios envisageables. Avec cette simpli…cation
et pour un choix de portefeuille donné, nous avons pu fournir une expression univoque
entre le prix au marché du risque et le processus de la valeur ajustée à une mesure de
risque cohérente.
Par ailleurs, nous avons montré que la dynamique du processus de la valeur ajustée à
une mesure de risque cohérente est exprimée par une équation di¤érentielle stochastique
rétrograde linéaire. Nous avons donné l’équation di¤érentielle partielle pour laquelle la
valeur ajustée est une solution. Il serait intéressant, lors de recherches futures, d’explorer
cette équation et de considérer sa résolution de façon numérique pour une stratégie
d’investissement donnée.
110
Nous avons également introduit la notion de mesure de risque cohérente dans la
résolution d’un jeu, …ctif, entre un investisseur qui alloue de façon optimale sa richesse
a…n de maximiser sa valeur …nancière nette espérée sous le pire des scénarios et le
marché qui contrôle le prix au marché du risque. Le problème que nous avons considéré
est inspiré de celui proposé par Cvitanic et Karatzas (1999).
Il serait, par ailleurs, intéressant de tenir compte d’une contrainte dynamique sur
la mesure de risque sur laquelle se base ce chapitre dans un modèle d’optimisation de
portefeuille. Ceci permettrait d’analyser l’impact de l’imposition d’un seuil critique de
la valeur ajustée par une mesure de risque cohérente sur les stratégies d’investissement
et sur la gestion des risques extrêmes.
111
Chapitre 7
Conclusion
Les problèmes de la délégation de la richesse sont intimement liés au con‡it d’intérêt
se manifestant autour du choix du taux de frais de gestion. Par ailleurs, le constat le
plus avéré de l’industrie des fonds mutuels est l’existence d’un nombre très important
de fonds.
Dans cette thèse, nous avons répondu aux questions de détermination du taux des
frais de gestion ainsi qu’aux conséquences de la concurrence dans l’industrie des fonds
mutuels dans des modèles mettant en avant le caractère dynamique du paiement des
frais de gestion et des choix d’investissement.
Pour ce faire, nous avons, dans un premier essai, traité le problème d’un investisseur
délégant sa richesse à un gérant. Ce dernier est rémunéré de manière continue sur la
base des actifs sous gestion. L’investisseur a, pour sa part, la possibilité de retirer tout
le long de la période d’investissement une proportion de ces actifs sous gestion pour des
…ns de consommation. Nous avons fourni des formes explicites des plans de consommation, d’investissement et de rémunération à l’équilibre. Nous avons analysé l’e¤et de la
délégation de la richesse sur la variation de l’exposition au risque de l’investisseur et du
gérant. Nous avons également analysé l’e¤et des aversions au risque de chaque agent et
des coe¢ cients du marché sur le taux de rémunération choisi à l’équilibre.
112
A…n d’améliorer le modèle considéré dans cet essai, il serait intéressant de considérer
des coe¢ cients de marché stochastiques ainsi que la possibilité donnée à l’investisseur
d’accéder à des véhicules d’investissement alternatifs.
Voulant enquérir l’e¤et de l’existence de plusieurs fonds mutuels sur le choix des
investisseurs, nous avons considéré, dans le deuxième essai de cette thèse, un problème
d’une délégation dynamique de la gestion de portefeuille où un investisseur fait face à
un choix d’allocation de sa richesse entre deux fonds mutuels et un actif sans risque. Les
résultats de cet essai nous permettent d’analyser les interdépendances existant entre les
services o¤erts par di¤érents fonds mutuels et leurs parts de marché respectifs.
Il serait intéressant d’améliorer le modèle que nous avons considéré en le généralisant
à un nombre de fonds mutuels quelconque.
Dans le troisième essai, nous avons étendu le modèle précédent par l’intégration de
critères de décisions sur les choix de placement des gérants des fonds mutuels. Pour
cette …n, nous avons considéré les objectifs des gérants agissant de manière stratégique.
Le principal résultat de ce modèle est que les fonds mutuels, ayant accès à un même
marché complet, ne peuvent se di¤érencier à travers les services liés au niveau du
taux de rémunération et les choix de placement. Ce résultat est, cependant, lié au
caractère déterministe des coe¢ cients du modèle. Nous pensons que la considération
de coe¢ cients de marché stochastiques apporterait une importante amélioration à ce
modèle. Par ailleurs, il serait intéressant de considérer le cas où les conditions dans
lesquelles opèrent les deux fonds mutuels sont di¤érentes. Nous pensons, entre autres,
au cas où la participation de l’un des deux fonds mutuels est restreinte ou le cas où le
marché est incomplet pour chacun des deux fonds mutuels.
Le quatrième essai constitue une exploration de la valeur ajustée par une mesure de
risque dynamique cohérente telle que dé…nie par Artzner, Delbaen, Eber, Heath et Ku
(2004). Nous avons fourni une simpli…cation permettant de calculer la valeur ajustée
d’une richesse d’un investisseur pour un horizon de temps, un ensemble de scénarios,
113
des coe¢ cients de marché et un choix de portefeuille donnés. Cet essai constitue une
contribution à la compréhension de cette représentation dans un objectif de son intégration dans des problèmes d’investissement. Ainsi, il serait intéressant de considérer,
dans une recherche future, l’incorporation de la valeur ajustée par une mesure de risque
dynamique cohérente dans des modèles d’optimisation de portefeuille et de voir son
impact sur la gestion des risques.
114
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