Terminales S Devoir maison n° 3 -A faire pour le jeudi 6 novembre

Devoir maison n° 3 -A faire pour le jeudi 6 novembre 2014
Terminales S
exercice 1 : probabilités conditionnelles et suite
Alice débute au jeu de fléchettes. Elle effectue des lancers successifs d’une fléchette. Lorsqu’elle
1
atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à .
3
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, la probabilité qu’elle manque la cible au lancer suivant est égale à
4
. On suppose qu’au premier lancer elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.
5
Pour tout entier naturel n strictement positif, on considère les évènements suivants :
An : « Alice atteint la cible au nième coup ».
Bn : « Alice rate la cible au nième coup ».
On pose pn = p(An).
Pour les questions 1. et 2. on pourra éventuellement utiliser un arbre pondéré.
1. Déterminer p1 et montrer que p2 =
4
.
15
2. Montrer que, pour tout entier naturel n  2, pn 
2
1
pn 1 
15
5
3
13
Montrer que la suite (un) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme u1 et la raison q.
3. Pour n  1 on pose un  pn 
4. Écrire un puis pn en fonction de n.
5. Déterminer lim pn .
n  
exercice 2 :
Pour embaucher ses cadres, une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement.
La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur
dossier.
40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise ; les candidats ainsi sélectionnés passent
un premier entretien à l'issue du quel 70 % d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un
ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.
1. On choisit au hasard le dossier d'un candidat. On considère les événements suivants :
D : " Le candidat est retenu sur dossier".
E1: "Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien".
E2: "Le candidat est recruté".
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exercice 3 : étude d'une famille de fonctions rationnelles
Pour tout réel m, on considère la fonction fm définie sur ℝ* par : f m ( x)  x  1 
m
.
x
On note Cm la courbe représentative de fm dans un repère.
1) Quelle est la nature de C0 ? Justifier votre réponse.
On suppose par la suite que m
 0.
2) Déterminer les limites de fm aux bornes de ℝ*. (pour l’étude en 0, distinguer les cas m > 0 et m < 0).
3) Calculer f m '( x) pour tout réel x non nul. En déduire le sens de variation de fm (distinguer les cas m > 0
et m < 0).
4) Dresser le tableau de variation de fm dans le cas où m > 0 puis dans le cas où m < 0.
5) Suivant les valeurs de m, étudier la position de la courbe Cm par rapport à C0.
exercice 4 :
Dans un repère orthonormé, A est le point de coordonnées ( 1 ; 1).
A tout réel x > 1, on associe le point M de coordonnées (x ; 0) et on
note N le point où la droite (AM) coupe l’axe des ordonnées. Pour
quelle(s) position (s) du point M , l’aire du triangle OMN est-elle
minimale ?
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Corrigé du n°1 :
Au premier lancer Alice a autant de chances d’atteindre la
cible que de la manquer donc p1= 1/2.
A1
Les données du texte sont : pA1 ( A2 ) 
1
3
pB1 ( B2 ) 
1
2
4
5
On peut visualiser la situation avec un arbre complété avec les
données et les déductions .
1
2
B1
1
3
2
3
1
5
4
5
selon la formule des probabilités totales ,
p 2 = p(A2)=p(A1  A2)+p(B1  A2)=
Donc p2 
A2
B2
A2
B2
1 1 1 1 4
   
2 3 2 5 15
4
.
15
2)Pour n  2 , on peut visualiser la situation avec un arbre partiel
1
3
pn= p(An)= p(An-1  An)+p(Bn-1  An)= pn  pn 1   (1  pn 1 ) 
An-1
B n-1
1
3
2
3
1
5
4
5
3) Pour tout entier n  2, un =pn–
donc un 1 =pn+1–
1 2
1

pn1 
5 15
5
An
Bn
An
Bn
3
13
et donc on a pn= un +
3
13
3 2
1 3
2
3
1 3
2
=
pn    (un  )    un
13 15
5 13 15
13 5 13 15
Donc la suite (un ) est géométrique. Sa raison est q= 2/15 et son premier terme est
u1  p1 
3 1 3
7
  
13 2 13 26
4) un  u1  q
lim pn 
n 
n 1

7
2
2
3
, on déduit que
 ( )n Donc lim un  0 car  1   1 . Comme pn= un +
n 
26 15
15
13
3
13
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Corrigé du n°2
remarque : on peut aussi calculer directement la probabilité d'être recruté :
p( F )  p(D E1  E2 )  0, 4  0, 7  0, 25  0, 07
d ' où p(F)  1  p( F )  1  0, 07  0,93
2.
a. Chaque dossier traité peut être considéré comme une épreuve de Bernoulli avec pour succès "le candidat est
recruté " de probabilité p = 0,07. Cinq dossiers sont traités de façon identiques et indépendantes donc la variable
aléatoire X donnant le nombre de succès c'est à dire ici le nombre de candidats recrutés suit une loi binomiale de
paramètres n=5 et = 0,07.
5
 2
b. p(X=2) =    0, 07 2  0,932  0, 039 à 103près
c. X suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0,07
On cherche le plus petit entier n tel que p(X
> 0,999  0.001 >
1–
 1) > 0,999 soit encore 1–p(X=0) > 0,999
.
Nous verrons plus tard dans l'année , comment résoudre rigoureusement cette équation en utilisant la fonction ln .
Dans l’immédiat, l’utilisation de la calculatrice, nous permet de trouver que :
0.00101
0.00094
On en déduit que l’inéquation est vérifiée dès que n
96.
Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins
un candidat.
corrigé du n°3 :
1. C0 représente la fonction f0 définie par : f ( x)  x  1 
0
 x 1.
x
f0 est une fonction affine donc C0 est une droite.
lim x  1  
2.
x  
lim f m ( x)  
m
 0 donc x 
x   x
lim
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De même : lim f m ( x)  
x  
lim x  1  1
x 0

Si m > 0 alors
m
m
f m ( x)   et lim
f m ( x)  
  et lim
  d’où : lim



x 
0
x 
0
x 
0 x
x 
0 x
lim


lim

x 
0
Si m < 0 alors
m
m
f m ( x)   et lim
f m ( x)  
  et lim
  d’où : lim



x 
0
x 
0
x


0
x
x
On peut en déduire que la droite d’équation x = 0 est asymptote verticale à Cm
3. fm est une fonction dérivable sur son ensemble de définition comme somme de fonctions dérivables.
f m' ( x)  1 
m x²  m

x²
x²
Comme x² > 0 sur * f m' ( x) est du signe de x² – m :

Si m > 0 alors x² – m est un polynôme du second degré avec deux racines
m et - m .
fm est donc strictement croissante sur ]–  ; - m [ et sur  m ,   et elle est strictement décroissante sur


  m , 0  et sur  0, m  .





Si m < 0 alors x² – m est toujours positif et fm est strictement croissante sur ]-; 0[ et sur ]0; +[
4. Tableau de variations de fm :
 Si m > 0 alors
x
-
signe de
 m
+
f ( x)
variations
de fm
0
–
0
1  2
–
0
+
+
m
-

+
m
-
+
-1  2
m
Si m < 0 alors
x
0
-
signe de
+
+
f ( x)
variations
de fm
+
+
-
+
–
6. Pour étudier la position relative de Cm et de C0 on étudie le signe de la différence f m ( x)  f 0 ( x) 


m
.
x
m
est du signe de x :Cm est au dessous de C0 sur ]–; 0[ et au dessus sur ]0;+[
x
m
Si m < 0 alors
est du signe contraire de x : Cm est au dessus de C0 sur ]–;0[ et au dessous sur ]0;+[
x
Si m > 0 alors
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y
4
3
C3
2
C2
1
C1
-4
-3
-2
-1
0
C0
1
2
3
4
5
x
-1
C-1
-2
-3
-4
C-2
-5
Quelques courbes Cm pour illustrer :
Corrigé du n° 4
une méthode :
L’aire du triangle OMN est
1
OM  ON
2
Soit le point B(1 ; 0)
Les triangles MAB et MNO sont en situation de Thalès
Donc
OM ON

BM
AB
x
ON

x 1
1
soit
On en déduit que ON 
y
N
1
A
0
1
M
B
x
x
x
.
x 1
D’où l’aire du triangle OMN qui est
x2
1
 f ( x)
OM  ON =
2( x 1)
2
On sait que x >1 .
On peut donc étudier la fonction f sur ]1 ;
[
2 x  (2 x  2)  2 x² 4 x²  4 x  2 x² 2 x²  4 x
x²  2 x
f est de type quotient f '( x) 



4( x 1)²
4( x  1)²
4( x  1)² 2( x  1)²
Pour tout x de \{1} , 2(x-1)² >0 et donc f’’(x) a le même signe que le trinôme du second degré
x²–2x qui s’annule pour 0 et 2.
x
1
signe de
f ( x)
+
2
–
0
+
variations
de f
2
D’après le tableau de variation de f on peut en déduire que l’aire du triangle est minimale pour x = 2.
Cette aire est alors f(2) = 2 ( unités d’aire)
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une autre méthode : On peut calculer l’équation de la droite (AM)
En notant m l’abscisse de M on a
yM  y A
1
1
. L’équation de (AM) est donc y=

( x  1)  1 .
xM  xA m  1
m 1
1
m
Cette droite coupe l’axe des ordonnées en N d’abscisse 0 donc d’ordonnée
1 
m 1
m 1
m
x
D’où ON =
avec la notation initiale.

m 1 x 1
x2
1
D’où l’aire du triangle OMN qui est OM  ON =
 f ( x)
2( x 1)
2
Coefficient directeur :
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