La fonction exponentielle de base a Définition : on appelle fonction

La fonction exponentielle de base a
Définition : on appelle fonction exponentielle de base a, avec a réel strictement positif, la
fonction f définie par : f(x) = ax = ex lna
pour x réel quelconque.
Si a = 1 , f(x) = 1 fonction constante.
Pour tout réel x : ln(ax) = x ln(a)
Propriétés :
Pour tout réels x et y : a x ! a y = a x + y
;
f ' (x) = (ln a) ex lna = (ln a) ax
( )
ax
= a x! y ; ax
ay
y
= ax y
Si 0 < a < 1 alors ln a < 0 donc
Si a > 1 alors ln a > 0 donc
f ' < 0 , la fonction exponentielle de base a f ' > 0 , la fonction exponentielle de base a
est donc strictement décroissante sur ! .
est donc strictement croissante sur ! .
lim a x = lim e x ln a = + #
x! " #
lim a x = lim e x ln a = 0
x! " #
x! " #
lim a x = lim e x ln a = 0
x! +"
lim a x = lim e x ln a = + "
x! + "
x
0
(ax)'
+∞
ax
x! " #
x! +"
+∞
x! + "
+∞
x
0
(ax)'
+∞
ax
0
0
La droite d'équation y = 0 est une asymptote La droite d'équation y = 0 est une asymptote
horizontale à la courbe au voisinage de + ∞ . horizontale à la courbe au voisinage de - ∞ .