futures, forwards - Olivier Brandouy

Transcription

Pratique des produits dérivés
P3 : futures, forwards
Olivier Brandouy
Université de Bordeaux
Diapo 1/60
Olivier Brandouy
Master 2 Métiers de la Banque
Introduction
Détermination des prix Futures
Relations fondamentales
Produits de terme ferme sur obligations
Plan
1
Introduction
Futures et Forwards
2
3
Cas des indices
Cas des devises
4
Forward sur Obligation
Futures de taux d’intérêt / futures sur obligations
Type d’instruments, conventions et cotations
Un cas détaillé
Diapo 2/60
Diapo 2/60
Olivier Brandouy
Master 2 Métiers de la Banque
Introduction
Futures et Forwards
Plan : 1 - Introduction
Futures et Forwards
Diapo 3/60
Diapo 3/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Futures (1)
Definition
Contrat standardisé traité sur un marché organisé (pas de risque de contrepartie)
entre un acheteur (position ”longue”) et un vendeur (position ”courte”) les engageant respectivement à :
Acheteur : prendre possession à une date fixée (”maturité du contrat”) du
sous-jacent pour un prix convenu à la conclusion du contrat
Vendeur : livrer à la maturité le sous-jacent contre le prix forward convenu
~
Prix futures ST et prix spot S0 sont donc différents !
Diapo 4/60
Diapo 4/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Futures (2)
Eléments de standardisation :
Calendrier
Quantité de sous-jacents
Lieu de livraison (pour les commodities)
Supports : grande variété ! (devises, taux, indices, commodities, énergies,
climatiques)
~
Ceci s’entend pour peu que la position ne soit pas débouclée !
Diapo 5/60
Diapo 5/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Futures : contrat Euro/Dollar traité sur le CME (1)
Contrat permettant de fixer le prix en USD pour obtenir des EUR dans le futur
position accountability : quantité de contrats au-delà de laquelle on peut avoir à
expliquer les raisons de sa position (spéculation, couverture)
settlement : procédure de règlement (compensation) ; quotidiennement, appels de
marges, et règlement terminal (voir infra)
Diapo 6/60
Diapo 6/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Cotation futures
Cotation spot
Diapo 7/60
Diapo 7/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
La négociation passe par un système de double enchères classiques
Valeurs notionnelles :
# EN USD
17996 * 125000 * 1.3527
## [1] 3.043e+09
# EN EURO
17996 * 125000
## [1] 2.25e+09
Diapo 8/60
Diapo 8/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
P/L futures (Long vs. Short)
Diapo 9/60
Diapo 9/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Compensation / Settlement (1)
Une marge est une garantie en cash (ou en actifs traitables sur le marché)
déposée par un investisseur chez son broker
Le règlement des marges se fait en fonction de l’évolution des cours
Ces marges minimisent le risque de défaut ou de “faillite”
Diapo 10/60
Diapo 10/60
Olivier Brandouy
Master 2 Métiers de la Banq
Introduction
Futures et Forwards
Un investisseur prend une position longue le 2/12 sur deux futures / or
échéants le 5/06/N+1
Taille du contrat 100 onces.
Prix future USD 400
Appel de marges US2, 000/contrat(US4,000 au total)
Marge plancher US1, 500/contrat(US3,000 au total)
Diapo 11/60
Diapo 11/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Diapo 12/60
Diapo 12/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Livraison
~
La plupart du temps la position est débouclée et l’opérateur ne prend pas
livraison du sous-jacent (ou ne reçoit le cash)
Déboucler : prendre, pour la même maturité, une position inverse de celle
qu’on avait initialement
Cela réduit le nombre de positions ouvertes sur le marché
Diapo 13/60
Diapo 13/60
Olivier Brandouy
Introduction
Futures et Forwards
Forwards
Similaire au futures mais :
1
Contrat de gré à gré
2
Existence d’un risque de contrepartie (pas de chambre de compensation)
3
Taylored made, donc difficile à déboucler ce qui implique souvent la
livraison-payement
Diapo 14/60
Diapo 14/60
Olivier Brandouy
Introduction
Conventions de notation
On utilise les notations suivantes :
SO le prix observé dans le présent (t = 0), également appelé prix Spot, pour
le sous-jacent
FO le prix en t = 0 auquel on s’engage fermement à acheter ou à vendre le
sous-jacent pour une livraison à une date future spécifiée au contrat
T la maturité du contrat, c’est à dire la distance temporelle séparant la date
du jour et l’échéance du contrat
rf le taux sans risque prévalant pour la maturité considérée
Diapo 15/60
Diapo 15/60
Olivier Brandouy
Introduction
Exemple introductif (1)
On considère la possibilité d’acheter une once d’or (31 grammes), cotée aux prix
suivants :
Prix spot origine Bloomberg
Diapo 16/60
Diapo 16/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cotation du Futures (CME)
Diapo 17/60
Diapo 17/60
Olivier Brandouy
Introduction
T-Bill (http://www.treasury.gov/)
Est-il possible d’arbitrer ces prix ?
Diapo 18/60
Diapo 18/60
Olivier Brandouy
Introduction
Récapitulatif
SO est de USD 1,218.91
FO est de USD 1,221.30
T Contrat Août 2014 : dernier settlement le 27. Nous sommes le 03/12/2013,
soit à 267 jours (environ 9 mois – exactement 8.9 mois) du terme.
rf Le taux de rendement des ”1-month T-Bills” le 02/12/2013 est de 0.02%
Diapo 19/60
Diapo 19/60
Olivier Brandouy
Introduction
Arbitrage ?
Il conviendrait de réaliser les opérations suivantes :
1
Emprunter pendant 9 mois la somme de USD 1218.91 pour acheter l’or spot
– on fait l’hypothèse que cela peut se faire au taux sans risque –
2
Parallèlement, prendre une position courte sur le Futures
Diapo 20/60
Diapo 20/60
Olivier Brandouy
Introduction
Arbitrage possible ?
A la maturité, il faut rembourser le prêt :
1218.91 × e 0.0010∗1.5 = 1220.74
Cette somme est couverte par la vente du futures qui impose de livrer l’or (qu’on
possède déjà) et permet d’encaisser 1221.30.
Dans ce cas l’égalité des position est quasiment respectée (prendre en compte que
i) les dates ne sont pas parfaitement concordantes et ii) que le taux est celui du
rendement à 1 mois : on n’a pas de maturité correspondant parfaitement à notre
exemple.
Diapo 21/60
Diapo 21/60
Olivier Brandouy
Introduction
Nouvel exemple
Supposez que :
Le prix spot de l’or est de 1220
Le prix forward 1 an est à 1220
r (annuel) 0.10%
Il n’y a ni coûts de stockage ni revenus intermédiaires
Maturité à 1 an
Pouvez-vous arbitrer ?
Diapo 22/60
Diapo 22/60
Olivier Brandouy
Introduction
Tout dépend du loyer de l’or
Supposez que :
Prendre une position longue sur le forward
Emprunter l’or, le vendre ”Spot”
Placer la somme au taux sans risque
A la maturité prendre possession de l’or contre le prix forward convenu et le
livrer à celui auquel on l’a emprunté
Si le loyer de l’or est inférieur à 12.36 alors on a gagné !
Diapo 23/60
Diapo 23/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Relations fondamentales prix Spots et Futurs
Sans coûts de stockage et sans versement intermédiaires d’intérêts :
F0 = S0 e rT
(1)
F0 = (S0 − I0 )e rT
(2)
F0 = S0 e (r −q)T
(3)
Avec des paiements intercalaires :
Si rendement continu :
Diapo 24/60
Diapo 24/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Quelle valeur a un contrat forward ?
Soient :
K le prix de livraison auquel le contrat a été conclu.
F0 le prix du contrat forward à la date 0, c’est à dire ”actuellement”
La valeur de la position longue sur le forward est :
f = (F0 − K )e −rT
(4)
La valeur de la position courte sur le forward est :
f = (K − F0 )e −rT
Diapo 25/60
Diapo 25/60
(5)
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Exemple
Soit une position longue sur un futures sur action avec T = 0.5, r = 0.1 ,
SO = 25, K = 24
Quelle est la valeur de la position longue ?
Quelle serait sa valeur si cet actif détachait un coupon dans 3 mois de 4 (tx
d’actualisation 6%)
Même question avec un rendement constant de 4%.
Diapo 26/60
Diapo 26/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Exemple (1)
K <- 24
S_0 <- 25
r <- 0.1
T <- 0.5
I <- 4
F_0 <- S_0 * exp(r * T)
F_0
## [1] 26.28
# Q1 : Position longue
(F_0 - K) * exp(-r * T)
## [1] 2.17
Diapo 27/60
Diapo 27/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Exemple (2)
# Q2 : Si détachement de coupon dans 3 mois
F_0 <- (S_0 - I * exp(-0.06 * 0.25)) * exp(r * T)
F_0
## [1] 22.14
(F_0 - K) * exp(-r * T)
## [1] -1.77
Diapo 28/60
Diapo 28/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Exemple (3)
# Q3 : Cas continu
q <- 0.04
F_0 <- S_0 * exp((r - q) * T)
F_0
## [1] 25.76
(F_0 - K) * exp(-r * T)
## [1] 1.675
Diapo 29/60
Diapo 29/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Cas des indices
Un indice est semblable à un investissement quelconque détachant un
dividende ou payant un intérêt
La relation prix futures / prix spot est donc F0 = S0 e (r −q)T
La formule s’applique pour peu que l’indice soit traitable sous une forme
quelconque (ETF, réplication physique ou synthétique)
Diapo 30/60
Diapo 30/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Arbitrage sur indices (1)
Si
F0 > S0 e (r −q)T
→ on achète l’ETF et on prend une position courte sur le futures.
Si
F0 < S0 e (r −q)T
→ on vend l’ETF et on prend une position longue sur le futures.
Diapo 31/60
Diapo 31/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
ETF, précisions (1)
L’ETF suit un indice ; deux façon pour le réaliser :
1
Réplication physique
Full : détenir toutes les lignes de l’indice dans des proportions idoines
Sampling : si trop de lignes, choisir celles qui ”comptent” pour répliquer
le comportement
2
Réplication synthétique : mise en place d’un SWAP avec une contrepartie
portant l’indice
Funded SWAP : ETF paye du cash (actif sous gestion du fonds) contre la
performance de l’indice ; si la contrepartie fait défaut, livraison
du collatéral (les titres représentant physiquement l’indice)
Unfunded SWAP : L’ETF détient un panier de titres (substitute basket,
”vrac”). La performance de ce panier est échangée contre celle
de l’indice
Diapo 32/60
Diapo 32/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Arbitrage sur indices (2)
L’arbitrage sur indice implique donc de nombreux ordres sur le futures et sur
les actifs sous-jacents
Cela impose souvent une automatisation informatique (program trading )
Occasionnellement,l’immense flux d’ordres engendré par ces arbitrages
empêche l’exécution des ordres et l’équation d’arbitrage ne fonctionne plus ...
ce qui aggrave le problème.
Diapo 33/60
Diapo 33/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Cas des devises
Une devise est similaire à un actif qui porte un certain taux d’intérêt ⇒ on
peut la placer au TSR dans ce pays rf
La relation prix futures / prix spot est donc
F0 = S0 e (r −rf )T
Diapo 34/60
Diapo 34/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Exemple
On s’intéresse à un contrat forward USD/EURO, maturité 2 ans. On suppose les
données suivantes Le forward permet d’acheter un certain volume d’euros,
payables à terme en dollar.
rUS = 0.03 et rF = 0.05
Taux de change spot : S0 1.1 USD / 1 EUR0
Taux de change forward : F0 1.04 USD / 1 EUR0
La relation est donc violée puisque :
F0 = S0 e (r −rf )T ⇒ 1.04 6= 1.1e 2×(.03−0.05) (1.05687)
Diapo 35/60
Diapo 35/60
Olivier Brandouy
(6)
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Construction de l’arbitrage
Emprunter 1000 euros à 5% sur 2 ans (rbt= 1105.17), les convertir en USD
(1100) spot et les placer à 3% (rapporte 1168.02 USD)
Prendre une position longue sur le forward (pour 1105.17e) au taux de 1.04
USD pour 1 EUR, soit 1149.37 USD
Les 1168.02 USD permettent de payer le forward 1149.37 et d’obtenir
1105.17epour rembourser l’emprunt... On a gagné 18.65 USD
Que faut-il faire si le taux forward est 1.08 ?
Diapo 36/60
Diapo 36/60
Olivier Brandouy
Introduction
Cas des indices
Cas des devises
Relation d’équivalence
Diapo 37/60
Diapo 37/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Plan : 4 - Produits de terme ferme sur obligations
Un cas détaillé
Diapo 38/60
Diapo 38/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Plan : 4 - Produits de terme ferme sur obligations
Un cas détaillé
Diapo 39/60
Diapo 39/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Forward sur Obligations, exemple
On part de la situation suivante :
– HSBC vient d’acheter ces obligations 10Me et redoute une augmentation du
YTM qui leur ferait perdre de la valeur .
– ALLIANZ a une entrée de 10Me dans 6 mois et souhaite les investir dans des
obligations britanniques mais redoute que le YTM de ces obligations baisse
(renchérissant leur prix d’achat)
Solution :
Contrat entre HSBC et ALLIANZ par lequel HSBC s’engage à vendre pour 10Me à
ALLIANZ dans 6 mois du GILT échéant 12/2018 de coupon 7% pour un prix tel
que le rendement actuariel sera exactement de 7% alors.
Diapo 40/60
Diapo 40/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Intérêt / limites
Intérêts
I
I
Souplesse du design
Couverture parfaite du risque
Inconvénients
I
I
I
Contrepartie difficile à trouver
Marché peu liquide, coût souvent désavantageux
Risque de contrepartie élevé
Pour ces raisons, le marché des futures sur taux s’est beaucoup développé.
Diapo 41/60
Diapo 41/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Introduction
– Source d’informations : www.eurexchange.com
Une grande variété de produits :
Diapo 42/60
Diapo 42/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Introduction (suite)
On distingue :
1
Dérivés d’instruments monétaires, STIRs (Short-Term Interesrt Rates) :
futures EONIA (Euro Overnight Index Average), futures EURIBOR (Euro
InterBank Offered Rate)...
2
Dérivés sur obligations d’état (EURO-BUND, EURO-OAT...)
3
Euro SWAP-Futures (traités à part, quand on abordera les SWAPs)
Diapo 43/60
Diapo 43/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Principe
Contrats permettant donc d’acheter à terme une obligation souveraine
– Même logique que pour tous les futures MAIS, comme il s’agit d’obligations, il y
a deux types de complications à intégrer :
i) les contrats sont basés sur des obligations notionnelles, on livre à la
maturité une obligation qui reflète le notionnel qui par définition n’existe pas.
ii) les obligations sont cotées en ”Clean Price” (au pied du coupon) mais leur
livraison se fait en ”Dirty” (coupon attaché)
La position courte reçoit à la maturité de la position longue :
Settlement Price le plus récent ×
k
|{z}
facteur de conversion (i)
Diapo 44/60
Diapo 44/60
+
|Intérêts{zcourus}
Pour déterminer le cash (ii)
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Principe (suite)
exemple :
Settlement price de l’obligation livrée = 90.00
Facteur de conversion ”k” = 1.3800
Intérêts acquis sur l’obligation livrée =3.00
Prix reçu par obligation livrée de nominal 100 :
(1.3800 × 90.00) + 3.00 = 127.20
Nous allons y revenir.
Diapo 45/60
Diapo 45/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Caractéristique des contrats (1)
Sous-jacent : obligations souveraines
Euro-Bund, Euro-Bobl, Euro-Schatz, Euro-Buxl : Futures sur obligations
Allemandes ; Euro-CONF : Suisses, Euro-OAT : France.
Diapo 46/60
Diapo 46/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Illustration FGBL (EURO-BUND)
Sous-jacent fictif standardisé : notionnel de 100000e, maturité 10 ans, taux
nominal 6% ; position limite 60.000 contrats.
Cotation en % du nominal
Cycle mars, juin, septembre, décembre, date de livraison, le 10 du mois en
question (ou le jour ouvré immédiatement après)
Valorisation quotidienne au prix de marché (Marked to Market) ; pertes
potentielles doivent être couvertes par la marge.
Dépôt de marge fonction du contrat (FGBL, 11/2014, 2.12% initial margin /
contract)
Diapo 47/60
Diapo 47/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Caractéristique des contrats (suite)
Carnet d’ordres :
Diapo 48/60
Diapo 48/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Caractéristique des contrats (suite)
Que livre-t-on ?
Il existe un gisement d’obligations qui sont livrables en cas de besoin
chacune de ces obligations reçoit un facteur de conversion de calcul complexe
Les obligations livrables ici (FGBL) sont des obligations allemandes de nominal
1000 euros, et de maturités variées. Leur prix ”clean”, respectivement est 111.160,
108.74, 106.34, 101.43.
Diapo 49/60
Diapo 49/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Caractéristique des contrats (2)
Obligations souveraines GILT ($100,000 nominal value notional Gilt with 4%
coupon, maturity 8.75 to 13 years)
Diapo 50/60
Diapo 50/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Taux de conversion (approximation)
Principe : rOblig : le taux de l’obligation du gisement rNot : le taux de l’obligation
notionnelle ∆ : distance temporelle au prochain détachement de coupon
1
rOblig 1
1
CF =
×
× (1+rNot )−
+
1 + rNot
rNot
(1 + rNot )n
(1 + rNot )n
Diapo 51/60
Diapo 51/60
!
Olivier Brandouy
−rOblig ×
∆
ACT
Introduction
Un cas détaillé
Calcul
BUND <- f.initBond(10, 0.06, 100)
YTMBund <- f.bondYTM(BUND, 151)
f.conversionFactor <- function(rnot, rbond, delta, act, n) {
1/(1 + rnot)^(delta/act) * (rbond/rnot * ((1 + rnot) - 1/(1 +
rnot)^n) + 1/(1 + rnot)^n) - rbond * delta/act
}
# du 30/10 au 15/05 (30+31+31+29+31+30+15)
f.conversionFactor(0.06, 0.015, 197, 365, 8)
## [1] 0.7047
Diapo 52/60
Diapo 52/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Exemple
Nous sommes le 30/10/2014
Le FGBL cote 150.99-151, échéance le 10/12/2014
Nous prenons une position longue sur le FGBL.
Diapo 53/60
Diapo 53/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Comprendre les futures sur Obligation comme l’achat à
terme (forward) d’un sous-jacent
futures est similaire à un contrat à terme où l’ensemble des flux est traité à la
maturité
On utilisera les données FGBL présentées précédemment.
Diapo 54/60
Diapo 54/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Illustration
Par hypothèse l’obligation livrée sera le BUND 325 (2%, Clean Price 111.160,
échéant le 15/08/2023)
Les intérets courus pour le BUND 325 sont :
100 * 0.02 * (16 + 30 + 30)/365
## [1] 0.4164
Son prix ”cash” ou dirty price est donc de
DP <- 111.16 + 100 * 0.02 * (16 + 30 + 30)/365
DP
## [1] 111.6
Diapo 55/60
Diapo 55/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Illustration
A la maturité, les intérêts acquis sur le BUND 325 seront de
IA <- 100 * 0.02 * (16 + 30 + 30 + 30 + 10)/365
IA
## [1] 0.6356
Si bien que nous devrons payer à la livraison (prix convenu le 30/10/2104)
150.99 * 0.735245 + IA
## [1] 111.7
Diapo 56/60
Diapo 56/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Illustration (suite – 1)
Le prix de livraison = prix du futures déterminé initialement multiplié par le
facteur de concordance k + intérêts courus AIT .
ST = f0 × k + AIT
Diapo 57/60
Diapo 57/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Remarque
Le facteur de concordance est justifié par le fait que le coupon du BUND 325 n’est
pas du même niveau que celui du FGBL (2% contre 6%)
Le prix de livraison est donc moindre ici, 150.99 × 0.735245 = 111.015
On obtiendra ainsi le 10/12/2014 100.000e de nominal en BUND 325 pour un
prix total de 111.650e
Diapo 58/60
Diapo 58/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Remarque
Quel est le gain pour cette opération ?
Diapo 58/60
Diapo 58/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Remarque
Quel est le gain pour cette opération ?
La réponse dépendra bien sur du prix que vaudra alors le BUND 325 !
Diapo 58/60
Diapo 58/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Hypothèse 1 : le BUND 325 vaut 99.00
Son dirty price est 99.00 + 0.6356 = 99.635.
Profit :
99635 - 111015
## [1] -11380
Ce qui se calcule directement : 100000 × (99 + 0.6356) − 150.99 × 0.735245
Remarque
Il s’agit bien d’une perte ici puisqu’on achète pour 111065 une obligation (le
BUND 325) qui a une valeur de 99635
Diapo 59/60
Diapo 59/60
Olivier Brandouy
Introduction
Un cas détaillé
Hypothèse 2 : le BUND 325 vaut 130.00
Son dirty price est 130 + 0.6356 = 130.635.
Profit :
130635 - 111015
## [1] 19620
Ce qui se calcule directement : 100000 × (130 + 0.6356) − 150.99 × 0.735245
Remarque
Il s’agit bien d’un gain ici puisqu’on achète pour 111065 une obligation (le
BUND 325) qui a une valeur de 130635
Diapo 60/60
Diapo 60/60
Olivier Brandouy

futures, forwards - Olivier Brandouy

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