Chapitre 1 Les deux premi`eres lois de Kepler

Chapitre 1
Les deux premières lois de
Kepler
Christiane Rousseau
Cette partie constitue un enrichissement. Nous allons démontrer les deux
premières lois de Kepler.
La première loi de Kepler Une planète décrit une ellipse autour du soleil.
La deuxième loi de Kepler Lorsqu’une planète se meut autour du soleil, le
rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux.
Nous allons supposer que le soleil est à l’origine des coordonnées. La position de la planète au temps t est donnée par un vecteur ~r = ~r(t), dont les
coordonnées polaires sont (r, θ), qui, bien sûr, dépendent de t. Nous allons
aussi considérer un repère mobile situé en ~r(t). Le premier vecteur, ~er , est
dirigé dans la direction de ~r et de longueur unitaire. C’est donc le vecteur
~er = (cos θ, sin θ). Le deuxième vecteur, ~eθ , également unitaire, fait un angle
de + π2 avec ~er . C’est donc le vecteur ~eθ = (− sin θ, cos θ).
La loi de la gravitation de Newton La force exercée par le soleil sur la planète
est proportionnelle au produit de la masse du soleil, M, par la masse de la
planète, m, et inversement proportionnelle à r2 . De plus, cette force a la direction du vecteur −~r, qui est celle du vecteur −~er . Donc, cette force est donnée
par
~F = −GMm ~r ,
r3
où G est la constante de la gravitation universelle de Newton. Cette force est
2
~r
¨ où ˙
égale à la masse de la planète, multipliée par son accélération d
= ~r,
dt2
1
2
CHAPITRE 1. LES DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER
dénote la dérivation par rapport au temps. Donc,
~er
~r
m~r¨ = −GMm 2 = −GMm 3 .
r
r
On peut bien sûr simplifier m et poser
GM = K.
À ce niveau, on peut oublier la physique et se concentrer sur le problème
mathématique de décrire les fonctions ~r : R → R3 telles que
~r
~r¨ = −K 3 .
r
Faisons le produit scalaire des deux côtés par ~r˙ . Alors,
~r
~r¨ · ~r˙ = −K~r˙ · 3 .
r
d 1˙ ˙
d K
~ ~
Remarquons que le premier membre vaut dt
2 r · r et le second membre dt r .
Dans ce denier cas, il faut appliquer la règle de chaı̂ne pour le vérifier. Puisque
les fonctions 12~r˙ · ~r˙ et Kr , ont même dérivée, elles diffèrent d’une constante :
1
K
E = ~r˙ · ~r˙ − .
2
r
(1.1)
Cette constante E est appelée l’énergie et nous venons de démontrer que l’énergie
est constante.
Calculons maintenant les dérivées premières et secondes de ~r. Remarquons
que les vecteurs ~er et ~eθ dépendent de t. On vérifie aisément (exercice) que
~e˙ r = ~eθ θ̇,
~e˙ θ = −~er θ̇.
Alors, comme ~r = r~er ,
et
~r˙ = ṙ~er + rθ̇~eθ ,
~r¨ = (r̈ − rθ̇2 )~er + (2ṙθ̇ + rθ̈)~eθ .
Ceci permet de calculer ~r˙ · ~r˙ et de remplacer dans (1.1). En utilisant que les
vecteurs ~er et ~eθ forment une base orthonormée, le calcul donne
~r˙ · ~r˙ = ṙ2 + r2 θ̇2 .
3
Donc,
E=
1 2
K
(ṙ + r2 θ̇2 ) − .
2
r
(1.2)
D’autre part, comme ~r¨ doit être parallèle à ~r, donc à ~er , sa composante en
~eθ doit être nulle, ce qui donne
2ṙθ̇ + rθ̈ = 0.
Multiplions par r. Alors,
2rṙθ̇ + r2 θ̈ =
d 2 r θ̇ = 0.
dt
Donc, r2 θ̇ = C. Nous venons de montrer la deuxième loi de Kepler. En effet,
l’aire dA balayé pendant un petit intervalle de temps dt, correspondant à une
1 2
variation de l’angle dθ est donnée par dA = 12 r2 dθ = 21 r2 dθ
dt dt = 2 r θ̇dt. En
physique, la quantité r2 θ̇ qui est préservée est appelée le moment cinétique. De
r2 θ̇ = C on tire θ̇ = rC2 . Remplaçons dans (1.2)
E=
1 2 C2
K
(ṙ + 2 ) − ,
2
r
r
(1.3)
ou encore,
r
ṙ = ± 2E +
2K C2
− 2.
r
r
Alors,
dr
=
dθ
dr
dt
dθ
dt
ṙ
= =±
θ̇
q
2E +
2K
r
C
r2
−
C2
r2
,
ce qui donne, après simplification
dr
rp
=±
2Er2 + 2Kr − C2 .
dt
C
Ceci est une équation différentielle à variables séparables qu’on obtient en
intégrant les deux côtés de l’équation
√
dr
K
q
=±
dθ.
2
C
E 2
r 2K
r + 2r − CK
Intégrer le côté gauche est un peu difficile. Mais on sait qu’une primitive est
unique à une constante près. Il suffit de vérifier que la fonction θ = arccos r−a
er
est solution de l’équation si on prend
E
e2 −1
K = 2a ,
C2
K = a.
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CHAPITRE 1. LES DEUX PREMIÈRES LOIS DE KEPLER
Toute autre solution est de la forme θ = θ0 + arccos r−a
er pour un θ0 fixé. Alors,
on obtient
a
r=
1 − e cos(θ − θ0 )
qui est la forme générale d’une conique dont un foyer est à l’origine.
On voit bien que la loi de la gravitation universelle de Newton permet aussi
des trajectoires qui soient des paraboles ou des branches d’hyperbole. Mais un
objet céleste ayant une telle trajectoire ne peut être visible qu’une seule fois.
Pour qu’il ait une vitesse suffisante pour s’échapper à l’infini, si jamais il passe
dans notre champ d’observation, il doit y passer très rapidement.