Chapitre 12 Équilibre statique et moment cinétique ( quantité de

Chapitre 12
Équilibre statique et moment cinétique ( quantité de
mouvement angulaire)
12.0 Introduction
Hyperphysics :
Equilibrum ; conservation angular momentum
Dans le chapitre 12, nous traiterons que des sections suivantes:
-
12.1 L’équilibre statique
-
12.3 Le moment cinétique L ou la quantité de
mouvement angulaire L
-
12.6 La conservation de la quantité de mouvement
angulaire L dans un système en rotation
1
Chapitre 12
Équilibre statique et moment cinétique
12.1 L’ équilibre statique
Nous dirons qu’un objet ou un système est en équilibre statique
lorsque les deux conditions suivantes sont respectées

∑F = 0
Équilibre de translation

∑τ = 0
Équilibre de rotation
Nous cherchons à déterminer la grandeur des forces et des moments de
forces responsables de cet équilibre.
2
12.1 Équilibre statique

∑F = 0

∑τ = 0
Nous cherchons à déterminer la grandeur des forces et des moments de
forces responsables de cet équilibre.
Nous aborderons des situations
semblables aux suivantes
Hyper-physics
Equilibrum
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12.1 Équilibre statique
Analysons le cas d’un système à l’équilibre
N
F1
F2
La poutre est à l’équilibre non seulement
parce que
∑F
Appl

∑ FAppl = 0
= − F1 − F2 + N = 0
En effet, dans la situation suivante nous devons
également avoir

∑τ
Appl
=0
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12.1 Équilibre statique
En effet, dans la situation suivante nous avons également

∑τ Appl = 0
N
F1
Nous avons
F2

∑ FAppl = 0
Mais le système n’est pas en équilibre parce que la somme des
moments de force τ autour de l’axe de rotation n’est pas nul.

∑τ
Appl
≠0
En effet, les blocs ne sont pas situés à la même distance de l’axe
de rotation.
5
12.1 Équilibre statique
τ = rF sin θ
Rappel : Comment est défini un moment de force ?
À l’époque d’Archimède et de Léonard de Vinci , le moment de
force τ était défini par la relation que nous avons déjà vue
Moment de force
Bras de levier X
τ1
r1
force
mN
X F1
N
F1
F2
r1
Bras de levier : distance perpendiculaire entre le ligne d’action de la force
et l’axe de rotation.
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12.1 Équilibre statique
Moment de force
Bras de levier X
τ1
r1
force
mN
X F1
N
F1
F2
r1
r2
Bras de levier : distance perpendiculaire entre le ligne d’action de la force
et l’axe de rotation.
Ici
∑
τ = r1 F1 sin 90 o − r2 F2 sin 90 o = 0
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12.1 Équilibre statique
N
r1
r2
F1
F2
r1
r2
Bras de levier : distance perpendiculaire entre le ligne d’action de la force
et l’axe de rotation.
On écrira
∑
τ = r1 F1 sin 90 o − r2 F2 sin 90 o = 0
Il faudra indiquer l’angle entre le vecteur r
Convention des signes :
et le vecteur F
rotation anti-horaire ( moment de force positif)
rotation horaire ( moment de force négatif)
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12.1 Équilibre statique
Dans le cas où les moments de force ne seront pas égaux nous
aurons
r2
N
r⊥
θ2
θ1
r1
θ1
F1
θ’ 2
F2
r⊥
∑τ = r ⊥ F − r ⊥ F
1
On écrira
∑
2
≠0
τ = r1 F1 sin θ1 − r2 F2 sin θ 2' ≠ 0
Il faudra indiquer l’angle entre le vecteur r
Nous y reviendrons plus tard
et le vecteur F
9
Chapitre 12
Équilibre statique et moment cinétique
12.3 Le moment cinétique L ou la quantité de mouvement angulaire L
En translation, nous avons vu dans le chapitre 9 que la quantité
de mouvement linéaire p d’un objet d e masse «m» qui se
déplace à la vitesse «v» est donnée par :


p = mv
kgm/s
v
m
Par analogie, on dira qu’objet qui possède un moment d’inertie «I» qui
tourne à la vitesse angulaire « ω» possédera une quantité de
mouvement angulaire L ou un moment cinétique qui sera donnée par


L = Iω
2
kgm / s
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Chapitre 12 Équilibre statique et moment cinétique


L = Iω
kgm 2 / s
Ainsi pour une roue qui tourne autour d’un axe nous aurons
L
ω


2
L = Iω
kgm / s Règle de la main droite


L = Iω
m 2
I= R
Quantité de mouvement angulaire pour un objet
2
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Chapitre 12 Équilibre statique et moment cinétique


L = Iω
kgm 2 / s
Ainsi pour une particule située sur le pourtour de la roue , on
utilise les relations entre les variables angulaire et linéaire
p
R
τ = RF
 
τ = R× F

v = ωR
p = mv
p
L
L = Rp
L = Rp sin θ
R
Règle de la main
droite
  
L = R× p
Quantité de mouvement angulaire pour une particule
12
12.6 La conservation du moment cinétique L ou de la quantité de
mouvement angulaire L
Après
Avant
Collision
(1)
 dp1
F1 =
dt
F12
F21
3e loi de Newton
(2)
 dp1
F1 =
dt
2e loi de newton : il faut une force pour faire changer la
quantité de mouvement d’un objet
Nous avons vu, qu’en l’absence de force extérieure lors d’une collision
sur une table à coussin d’air, nous aurons conservation de la quantité de
mouvement linéaire
Si
∑F
ext
=0


'
p1 + p 2 = p1 +
'
p2
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12.6 La conservation du moment cinétique L ou de la quantité de
mouvement angulaire L
En translation, nous avons vu également dans le chapitre 9 et
dans le laboratoire sur les collisions que le centre de masse se
déplace alors en ligne droite à vitesse constante
Autrement dit


dp cm


= 0 alors, p cm = Mv cm constante
Si Fext =
dt




dp cm
Fext = Ma cm
Dans le cas contraire
ou
Fext =

dt
Fext ≠ 0
Pour un objet

Fext =

dp
dt


Fext = Ma
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12.6 La conservation du moment cinétique L ou de la quantité de
mouvement angulaire L
Nous aurons la même chose en rotation si la somme des
moments forces extérieurs sur un système est nulle, la quantité
de mouvement angulaire « L » sera constante.
Autrement dit




dL
Si τ ext =
= 0 alors, L = Iω
dt
Dans le cas contraire
Nous aurons
constante

τ ext ≠ 0
τ ext = Iα

τ ext

dL
=
dt
15
12.6 La conservation du moment cinétique L ou de la quantité de
mouvement angulaire L
Ainsi, si


τ ext ≠ 0 τ ext

dL
=
dt
τ ext = Iα
ou
T
Exemple :
L
τ
τ
L

τ ext

dL
=
dt
Analogue

Fext

dp
=
dt
mg
Hyperphysics
conservation angular
momrentum,
gyroscopic motion
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Chapitre 12 Équilibre statique et moment cinétique
Dans le cas contraire




dL
= 0 alors, L = Iω
Si τ ext =
dt
Hyperphysics
Exemple :
Rotation
lente
constante
conservation angular
momrentum, rotating
stool
Rotation très
rapide
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Chapitre 12 Équilibre statique et moment cinétique
Rotation
lente
Rotation très
rapide
Voir également les exemples 12.4 , 12.5 , 12. 6 et Sujet connexe
Voir les démonstrations sur le site:
Conservation de la quantité de mouvement
angulaire »»»»»
Gyroscope
Hyperphysics
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