Quiz 10

Anneaux et corps
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
18 mai 2016
Quiz 10
Question 1.
Soient p un nombre premier, et K un corps de caractéristique p. On se donne
un entier n ∈ N, et on pose q := pn . Montrer que pour tous x, y ∈ K, on a
(x + y)q = xq + y q .
Solution.
On procède par récurrence sur n ≥ 1. Pour le cas n = 1 voir le cours.
Supposons que l’identité soit vraie jusqu’à un certain entier m = 1 et montrons
qu’elle l’est encore pour m + 1. Pour x, y ∈ K, on a en effet
(x + y)p
m+1
m
m
m
m
= ((x + y)p )p = (xp + y p )p = (xp )p + (y p )p = xp
m+1
m+1
+ yp
,
en utilisant l’identité pour n = 1 et n = m.
Question 2.
Soit K un corps et α un élément algébrique sur K. Montrer que tout élément
de K(α) est algébrique sur K.
Solution.
Soit β ∈ K(α). On a K(β) ⊆ K(α) et [K(α) : K] < ∞ (Exercice 1., Série 8),
donc [K(β) : K] < ∞ de manière que β est algébrique.
Anneaux et corps
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
18 mai 2016
Série 10
Exercice 1.
√
√
Calculer [Q(α) : Q] où α = 5 10 + 3 7.
Solution.
Le polynôme X 5 − 10 ∈ Q[X] est irréductible. En effet, sa décomposition dans
C[X] est clairement
5
X − 10 =
5
Y
(X −
√
5
10 · e2πni/5 )
n=1
et aucune composition de ces facteurs est un polynôme à coefficients dans Q.
Le polynôme X 3 − 7 ∈ Q[X] est irréductible. En effet il a degré 3 et il n’a pas de
racines dans Q.
√
√
√
5
3
5
On√a donc
que
[Q(
10)
:
Q]
=
5
et
[Q(
7)
:
Q]
=
3.
De
plus,
Q(
10)
⊂
√
√
√
√
√
√
3
3
5
3
5
3
5
Q( √10, 7), de
manière
que 15 divise [Q( 10, 7) :
Q( 10, 7) et Q( 7) ⊂
√
√
√
5
3
5
3
Q]. On a aussi que Q(
10, 7)√ = Q( 10)( √
7) et√X 3 − 7√est divisé par le
√
5
3
polynôme
minimal de 7 sur Q( 10). Ainsi√[Q( 5√10, 3 7) : Q( 5 10)] ≤ 3 et donc
√
√
Par
conséquent, [Q( 5 10, 3 7) : Q] = 15.
[Q( 5 10, 3 7) : Q] ≤ 15.
√
√
On a que Q(α) ⊆ Q( 5 10, 3 7), donc [Q(α) : Q] divise √
15.
√
3
Soit f le polynôme minimal de α sur Q.√
Soit g := √
(X − √
7)5 −10 ∈ Q( 3 7)[X]. On
remarque que√g(α) = 0. Comme Q(α, 3 7) = Q( 5 10, 3 7), le polynôme minimal
de α sur Q( 3 7) est de degré 5. C’est donc le polynôme g. On en déduit que
g divise f . Comme g 6∈ Q[X], le degré de f est au moins 6. Par conséquent,
[Q(α) : Q] ≥ 6. Comme [Q(α) : Q]|15, on a finalement [Q(α) : Q] = 15.
Exercice 2.
(1) Est-ce qu’il existe un corps K et un f ∈ K[X], f 6= 0, tels que f (α) = 0
pour tout α ∈ K ?
(2) Montrer que pour tout corps fini K il existe un polynôme f ∈ K[X] qui
n’a pas de racines dans K.
Solution.
(1) Oui, par exemple on peut prendre K = F2 et f := X 2 + X = X · (X + 1).
3
(2) Soit K := {a1 , . . . , an }. Alors
n
Y
f := 1 + (X − ai )
i=1
est un polynôme tel que f (ai ) = 1 pour tout i ∈ {1, . . . , n}.
Exercice 3.
Parmi les anneaux suivants trouver deux corps qui sont extension l’un de
l’autre. Exhiber un homomorphisme entre ces deux corps.
F3 [X]/(X 2 + 1),
F3 [X]/(X 4 + X 2 + 1),
F3 [X]/(X 4 + 2X 3 + X 2 + 1),
F3 [X]/(X 3 − X 2 + X + 1).
Solution.
Comme 1 est racine de X 4 + X 2 + 1, l’anneau F3 [X]/(X 4 + X 2 + 1) n’est pas
un corps (il n’est même pas intègre).
Le polynôme X 3 −X 2 +X +1 n’a pas de racine dans F3 . Or X 3 −X 2 +X +1 est
de degré 3, donc X 3 −X 2 +X +1 est irréductible sur F3 . Par conséquent, l’anneau
F3 [X]/(X 3 − X 2 + X + 1) est un corps de cardinal 33 = 27. Par suite (si K ⊆ L
sont des corps, alors L est un espace vectoriel sur K, et si [L : K] = n < ∞ et
K, L sont finis, alors clairement #L = #K n )
— toutes les extensions F3 [X]/(X 3 − X 2 + X + 1) sont de cardinal 27n pour
un certain entier n ≥ 1,
— Tous les sous-corps de F3 [X]/(X 3 − X 2 + X + 1) sont de cardinal 3m avec
m divisant 3 i.e. de cardinal 3 ou 27.
Le polynôme X 2 + 1 n’a pas de racine dans F3 . Or X 2 + 1 est de degré 2, donc
X + 1 est irréductible sur F3 . L’anneau F3 [X]/(X 2 + 1) est donc un corps de
cardinal 32 = 9.
2
Pour vérifier que X 4 + 2X 3 + X 2 + 1 est irréductible sur F3 , il faut vérifier qu’il
n’a pas de racine dans F3 et qu’il n’est divisible par aucun polynôme de degré 2
irréductible sur F3 .
Les polynômes unitaires de degré 2 irréductibles sur F3 sont
X 2 + 1,
X 2 + X − 1 et X 2 − X − 1.
En effet, ils sont les seuls polynômes unitaires de degré 2 sans racines dans F3 .
Aucun de ces trois polynômes ne divise X 4 + 2X 3 + X 2 + 1. Par conséquent, le
4
polynôme X 4 + 2X 3 + X 2 + 1 est irréductible sur F3 (puisqu’il n’a pas non plus
de racines dans F3 ).
Ainsi F3 [X]/(X 4 + 2X 3 + X 2 + 1) est corps de cardinal 34 = 81.
Puisque 34 = (32 )2 , le corps F3 [X]/(X 4 + 2X 3 + X 2 + 1) est le seul qui peut être
une extension de F3 [X]/(X 2 + 1). On cherche un homomorphisme, en particulier
on cherche (voir l’Exercice 3 de la Série 8) un élément β de F3 [X]/(X 4 + 2X 3 +
X 2 + 1) tel que β 2 + 1 = 0). On a
X 4 + 2X 3 + X 2 + 1 = (X 2 + 2X + 1)X 2 + 1 = (X(X + 1))2 + 1.
Par conséquent l’évaluation des polynômes en X(X + 1) induit un homomorphisme (injectif) de corps
F3 [X]/(X 2 + 1) −→ F3 [X]/(X 4 + 2X 3 + X 2 + 1)
X
7−→
X(X + 1).
Donc F3 [X]/(X 4 + 2X 3 + X 2 + 1) est bien une extension de F3 [X]/(X 2 + 1). Exercice 4.
(1) Donner la liste des polynômes irréductibles unitaires sur F2 de degré 2 et
de degré 4.
(2) Donner une décomposition en facteurs irréductibles de X 16 − X ∈ F2 [X].
Solution.
(1) Les polynômes irréductibles unitaires de degré 2 sur F2 sont les polynômes
de la forme X 2 + aX + b ∈ F2 [X] sans racine dans F2 . Il n’y en a qu’un
seul : X 2 + X + 1.
Les polynômes irréductibles unitaires de degré 4 sur F2 sont les polynômes
X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d ∈ F2 [X] sans racine dans F2 et non divisibles par l’unique polynôme irréductible unitaire de degré 2, c’est-à-dire
tels que d 6= 0 et a + b + c + d 6= 1 et
X 4 + aX 3 + bX 2 + cX + d 6= (X 2 + X + 1)2 = X 4 + X 2 + 1.
Les polynômes irréductibles unitaires de degré 4 sur F2 sont donc
X 4 + X + 1,
X 4 + X 3 + 1,
X 4 + X 3 + X 2 + X + 1.
(2) On a que tout polynôme unitaire irréductible dans F2 [X] de degré 1, 2
ou 4 divise X 16 − X. En effet, si α est un racine d’un polynôme unitaire
irréductible f , alors son polynôme minimal, qui est clairement f , divise
tout polynôme qui a α comme racine. Si f a degré m ∈ {1, 2, 4}, alors
α appartient a un corps (qui est isomorphe à F2 [X]/(f )) de cardinal 2m .
Alors soit α = 0 soit α ∈ (F2 [X]/(f ))∗ , qui est cyclique (par le cours). En
particulier, α15 = 1 (car 2m − 1 divise 15 pour m ∈ {1, 2, 4}). Ainsi, α est
une racine de X 16 − X, de manière que f le divise.
5
On a clairement 2 polynômes unitaires irréductibles de degré 1, à savoir X et X + 1, et on a montré dans (1) qu’il existe un seul polynôme
irréductible unitaire de degré 2 et qu’on a 3 polynômes irréductibles
unitaires de degré 4. Le degré du produit de tous ces polynômes est
2 · 1 + 1 · 2 + 3 · 4 = 16. Donc
X 16 −X = X·(X+1)·(X 2 +X+1)·(X 4 +X+1)·(X 4 +X 3 +1)·(X 4 +X 3 +X 2 +X+1).
Exercice 5.
Soit K un corps et soit G un sous-groupe fini de K ∗ . Montrer que G est cyclique.
Solution.
Le groupe G est abélien, car K est un corps. Pour le théorème de classification
de groupes abéliens finis, on a donc
G ' Z/d1 Z × . . . × Z/dr Z
(?)
pour certains di ∈ N tels que di |di+1 pour tout i. Ainsi, tout élément g de G est
tel que g dr = 1 (la loi de G est la multiplication !).
Tout élément de G est donc racine du polinôme X dr −1 ∈ K[X]. On sait (Exercice
3, Série 3) qu’un polynôme de degré dr a au plus dr racines (K est un corps).
Donc #G ≤ dr . Mais de (?) on a que #G = d1 · . . . · dr ≥ dr . Alors r = 1 et
#G = d1 . En particulier G ' Z/d1 Z qui est cyclique.