Extensions de corps, groupes de Galois

Algèbre 2 – TD4
2010-2011
Extensions de corps, groupes de Galois
Exercice no 1 Soit K un corps de caractéristique p > 0. Si a ∈
/ K p , montrer que
n
pour tout n ≥ 1, le polynôme X p − a est irréductible. En déduire que si K ⊂ L
est une extension finie et que L est un corps parfait, alors K est un corps parfait.
Montrer qu’un sous-corps d’un corps parfait n’est pas nécessairement parfait.
Exercice no 2 Trouver une infinité d’extensions intermédiaires entre Fp (X p , Y p )
et Fp (X, Y )
Exercice no 3 Déterminer les groupes de Galois suivants.
1. Gal(C/R).
√ √
2. Gal(Q( 2, 3)/Q).
√
3. Gal(Q( 3 2)/Q).
4. Gal(R/Q).
Exercice no 4
1. Montrer que si p est un nombre premier, un p-cycle et une
transposition engendrent toujours Sp .
2. En déduire le groupe de Galois du polynôme X 5 − 4X + 2 ∈ Q[X].
Exercice no 5 (Cyclotomie)
1. Soit n un entier positif. On note µn l’ensemble des racines primitives n-ièmes
de l’unité dans C. On note Φn (X) le n-ième polynôme cyclotomique. C’est le
polynôme unitaire de C[X] dont les racines sont les éléments de µn . Calculer
le degré de Φn (X).
2. Montrer l’égalité
X n − 1 = Πd|n Φn (X).
En déduire que Φn est à coefficients entiers.
3. Montrer que le corps de rupture de Φn est égal à son corps de décomposition.
4. Soit ω ∈ µn , et soit f son polynôme minimal. Soit h ∈ Z[X] tel que X n − 1 =
f h. Soit p un nombre premier qui ne divise pas n, et soit g le polynôme
minimal de ω p . On suppose f 6= g. Montrer que g|h et que f (X)|g(X p ).
5. Montrer que f = g, et en déduire l’irréducitbilité des Φn .
6. Soit ω une racine primitive n-ième de l’unité. Quel est le groupe de Galois de
Q(ω) sur Q ?
7. Soit G un sous-groupe de GLn (Q) dont tous les éléments sont d’ordre fini.
Montrer que G est d’exposant fini (on peut en déduire que G est fini).
8. Soit n un entier strictement positif. Montrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers congrus à 1 modulo n.
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Polynômes de degré 3
Exercice no 6 (Extensions galoisiennes de degré 3) Soit K un corps de caractéristique nulle. On se propose de déterminer une famille d’extensions galoisiennes de degré 3 de K.
1. Soit L une telle extension de K (on pourra penser aux polynômes de Tchebychev). Quel est le groupe de Galois de L sur K ?
2. Montrer que si L est une extension galoisienne de degré 3 de K, il existe
un polynôme P de degré 3 irréductible sur K tel que L soit le corps de
décomposition de P .
3. Montrer qu’il existe de tels P et K tels que le corps de décomposition de P
est de degré 6 sur K.
4. Soit σ : K(X) → K(X) l’automorphisme de corps qui fixe les éléments de K
1
et envoie X sur 1−X
. Montrer que σ est un automorphisme d’ordre 3.
5. Soit G le sous-groupe des automorphismes de K engendré par σ. Montrer que
le corps des invariants K(X)G est de la forme K(T ), où T est une fraction
rationnelle telle que σ(T ) = T .
6. Montrer que l’on peut choisir T = X X−3X+1
. On pourra remarquer que T =
2 −X
2
X + σ(X) + σ (X) et étudier le degré de l’extension K(X) de K(X)G .
3
7. Montrer que l’extension K(T ) ⊂ K(X) est galoisienne de degré 3.
8. Soit t un élément de K tel que le polynôme
P (X) = X 3 − tX 2 + (t − 3)X + 1
est irréductible. Montrer que le corps de décomposition de P est une extension
galoisienne de K de degré 3. On peut montrer, mais c’est plus difficile, que le
polynôme donné ci-dessus est universel, au sens où toute extension galoisienne
de degré trois de K est corps de décomposition d’un polynôme de cette forme.
9. Reprendre la discussion précédente en utilisant l’automorphisme σ qui envoie
X+1
X sur −X+1
. Qu’obtient-on ?
Exercice no 7 Soit K un corps de caractéristique 0, P = X 3 + aX + b ∈ K[X]
à racines simples x1 , x2 , x3 . On pose δ = (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ) et ∆ = δ 2 .
On pourra commencer par admettre que ∆ = −4a3 − 27b2 . On note L le corps de
décomposition de P .
1. Montrer que si Gal(L/K) contient un élément d’ordre 2, alors δ ∈
/ K. Quelles
sont alors les possibilités pour le groupe Gal(L/K) ? Que dire si P est irréductible
sur K ?
2. On suppose P irréductible sur K. Montrer que le groupe de Galois de P est
cyclique si et seulement si ∆ est un carré dans K × .
3. Donner une idée de la preuve de l’égalité ∆ = −4a3 − 27b2 .
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Exercice no 8 Dans cet exercice, on se propose de résoudre par radicaux les
équations de degré 3. Soit P (X) = X 3 + aX + b un polynôme de degré 3 à coefficients dans un corps K de caractéristique nulle. Soient α, β, γ les racines de P
dans une clôture algébrique de K, et L le corps de décomposition de K contenant
α, β et γ. On suppose que K contient une racine primitive troisième de l’unité notée
j.
1. Quels sont les groupes de Galois possibles pour l’extension L/K ?
2. Soit G le groupe de Galois de l’extension L/K. Montrer que G contient un
sous-groupe distingué d’ordre 3 que l’on précisera. En utilisant ce groupe,
montrer que l’élément α + jβ + j 2 β de L a son cube dans une extension de
degré au plus 2 de K.
3. Expliquer comment résoudre l’équation générale de degré 3 (Cardan).
4. Comment pourrait-on faire pour l’équation de degré 4 ?