Université Louis Pasteur Strasbourg IUFM d`Alsace

Université Louis Pasteur Strasbourg
IUFM d’Alsace
Préparation au CAPES de mathématiques
Thème : fonctions polynômes
Exercice proposé
Soit n ∈ N∗ . On considère une fonction polynomiale Pn vérifiant les propriétés
suivantes :
(i) Pn (0) = 0
(ii) Pn est de degré n + 1 .
(iii) pour tout réel x, Pn (x + 1) − Pn (x) = xn .
(1) Déterminer P1 , P2 et P3 .
(2) Montrer que pour tout n, entier strictement positif, Pn (1) = 0 et que le
1
coefficient de son terme de degré le plus élevé est
.
n+1
(3) Soit k ∈ N∗ . Montrer que pour tout n, entier strictement positif :
k
X
j n = 1n + 2n + ... + (k − 1)n + k n = Pn (k + 1).
j=0
(4) En déduire les expressions des sommes :
1 + 2 + 3 + ... + n
1 + 22 + 32 + ... + n2
1 + 23 + 33 + ... + n3
(5) Déterminer 14 + 24 + ..... + n4 .
Travail demandé
(1) Quelles connaissances et quels savoir-faire sont nécessaires pour résoudre cet
exercice ? Quelles difficultés présente-il ?
(2) L’exercice proposé permet de déterminer les sommes 1 + 2 + 3 + ... + n et
1 + 22 + 32 + ... + n2 . Rédiger un exercice de niveau lycée permettant d’établir
d’une autre manière ces résultats.
(3) Proposer deux exercices mettant en oeuvre des fonctions polynomiales.
Vous rédigerez sur votre feuille les réponses aux questions (2) et (3).
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