Transformée de Fourier Principe et Propriétés

Transcription

Transformée de Fourier
Principe et Propriétés
par Vincent Choqueuse, IUT GEII
1. Problématique
Problématique
• Contexte : La décomposition en série de Fourier présuppose que le signal
soit périodique. Toutefois, les signaux ”naturels” sont rarement périodiques.
• Objectif : Étendre la notion de série de Fourier aux signaux apériodiques.
Vincent Choqueuse (IUT GEII)
Transformée de FourierPrincipe et Propriétés
2 / 33
2. De la décomposition à la transformée de Fourier
De la décomposition à la transformée de Fourier
• Principe : Pour les signaux s (t ) apériodiques, nous allons considérer que
s (t ) est périodique mais de période T0 → ∞.
I
cn =
I
1
f0 ,
Signaux périodiques : Comme T0 =
1
T0
Z
s (t )e
on peut écrire
−2j π Tn t
0
dt
s (t ) =
et
(T0 )
X
cn e
2j π Tn t
0
(1)
n∈Z
Signaux apériodiques : On pose f =
variable continue X (f ) comme suit
n
T0
et on fait tendre T0 → ∞. On définit alors la
Z
∞
X (f ) = lim T0 cn =
T0 →∞
s (t )e −2j πft dt
(2)
−∞
et on obtient en utilisant la méthode des rectangles :
s (t ) = lim
T0 →∞
Z ∞
1 X
2j π n t
T0 cn e T0 =
X (f )e 2j πft
T0
−∞
(3)
n∈Z
3 / 33
3. Transformée de Fourier
Définition 3.1 (Transformée de Fourier)
Soit s (t ) un signal respectant les trois conditions suivantes :
• s (t ) est borné (pas de valeurs infinies).
•
R∞
•
Les discontinuités de x (t ) sont en nombre fini.
−∞
s 2 (t )dt est finie.
Sous ces conditions, la transformée de Fourier de s (t ), S (f ), est définie par :
Z
∞
S (f ) = F (s (t )) =
s (t )e −2j πft dt
(4)
−∞
• La fonction S (f ) ∈ C est appelée spectre de s (t ).
4 / 33
Définition 3.2 (Transformée de Fourier Inverse)
Soit s (t ) un signal dont la transformée de Fourier S (f ) = F (s (t )) existe. Le
signal s (t ) s’obtient en calculant la transformée de Fourier inverse de S (f ) :
Z
s (t ) = F
−1
∞
[S (f )] =
S (f )e 2j πft df
(5)
−∞
5 / 33
• La transformée de Fourier peut être vue comme la projection d’un signal
apériodique dans un espace composé d’exponentielles complexes.
Domaine temporel
Domaine fréquentiel
• Par rapport à la décomposition en série de Fourier où les fréquences sont
données par fn = nf0 (n ∈ Z), la transformée de Fourier détermine les
composantes aux fréquences f , où f est une variable continue.
6 / 33
• Exemple :
Soit s (t ) = Πl (t ) le signal porte de largeur l défini par :
(
s (t ) = Πl (t ) =
si − 2l ≤ t <
ailleurs
1
0
l
2
(6)
En utilisant (4), s (t ) a pour transformée de Fourier :
sin (πfl )
πf
S (f ) = F [Πl (t )] =
(7)
40
2
30
1.8
1.6
20
1.4
10
φ(S(f))
1
|S(f)|
1.2
0
1
0.6
−20
0.4
−1
−30
0.2
−40
−10
0
−10
0
−10
0.8
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
Figure: Espace temporel
−10
−5
0
f
5
10
Figure: Espace fréquentiel (|S (f )|)
−5
0
f
5
10
Figure: Espace fréquentiel
(φ(S (f )))
7 / 33
4. Propriétés
Linéarité
Propriété de la transformée de Fourier
Propriété 4.1 (Linéarité)
Soit x (t ) et y (t ) deux signaux de transformée de Fourier respectives X (f ) et Y (f )
et α et β deux constantes. La transformée de Fourier de αx (t ) + βy (t ) est donnée
par l’équation :
F (αx (t ) + βy (t )) = αF (x (t )) + βF (y (t ))
(8)
• Multiplier un signal par un gain α dans le domaine temporel revient à
multiplier sa transformée de Fourier par un gain α dans le domaine
fréquentiel.
• Additionner deux signaux dans le domaine temporel revient à additionner
leurs transformée de Fourier dans le domaine fréquentiel.
8 / 33
4. Propriétés
Linéarité
• Exemple :
Soit x (t ) = Πl (t ) le signal porte de largeur l. Les figures suivantes présentent le signal
s (t ) = αx (t ) dans le domaine temporel et fréquentiel (α = 0.75).
2
Signal x(t)
Signal α x(t)
40
Signal x(t)
Signal α x(t)
1.8
1
Signal x(t)
Signal α x(t)
30
1.6
20
0
10
1.2
φ(S(f))
Spectre |S(f)|
1.4
1
0.8
0
−10
0.6
−20
0.4
−1
0.2
−30
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−40
−10
−5
0
f
5
10
Figure: Espace fréquentiel (module) Figure: Espace fréquentiel (phase)
9 / 33
4. Propriétés
Dualité
Propriété 4.2 (Dualité)
Soit x (t ) un signal dans le domaine temporel de transformée de Fourier
X (f ) = F (x (t )). Le signal temporel d’equation X (t ) a pour transformée de
Fourier x (−f ).
10 / 33
4. Propriétés
Dualité
• Exemple :
sin(πtl )
Soit x (t ) = πt , en utilisant le théorème de la dualité on montre que la transformée de
Fourier de x (t ) est une porte Πl (f ). Les figures suivantes présentent le signal x (t ) dans le
domaine temporel et fréquentiel (l = 2).
2
2
4
Signal x(t)
Signal x(t)
Signal x(t)
1.8
3
1.6
2
1.4
0
1
1.2
φ(X(f))
Spectre |X(f)|
1
1
0.8
0
−1
0.6
−2
0.4
−1
0.2
−3
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−4
−10
−5
0
f
5
10
11 / 33
4. Propriétés
Translation temporelle
Propriété 4.3 (Translation temporelle)
Soit x (t ) un signal ayant pour transformée de Fourier X (f ) = F (x (t )). Le signal
s (t ) = x (t + τ), obtenu en translatant le signal x (t ) de τ, a pour transformée de
Fourier :
S (f ) = F (x (t + τ)) = X (f )e 2j πf τ
(9)
• Avancer un signal dans le domaine temporel revient à multiplier sa
transformée de Fourier par une exponentielle complexe e 2j πf τ dans le
domaine fréquentiel.
• L’information liée à la position temporelle du signal est contenue dans la
phase.
12 / 33
4. Propriétés
Translation temporelle
Propriété de la décomposition
• Exemple :
s (t ) = x (t + τ) dans le domaine temporel et fréquentiel (τ = 0.5).
2
2
Signal x(t)
Signal x(t+τ)
40
Signal x(t)
Signal x(t+τ)
1.8
Signal x(t)
Signal x(t+τ)
30
1.6
20
1.4
0
10
1.2
φ(S(f))
Spectre |S(f)|
1
1
0.8
0
−10
0.6
−20
0.4
−1
0.2
−30
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−40
−10
−5
0
f
5
10
13 / 33
4. Propriétés
Dilatation/contraction temporel
Propriété 4.4 (Dilatation/contraction temporelle)
Soit x (t ) un signal de transformée de Fourier X (f ) = F (x (t )). En dilatant (ou en
contractant) l’échelle des temps d’un facteur γ, la transformée de Fourier de
s (t ) = x (αt ) (α ∈ R) est donnée par :
S (f ) = F (x (αt )) =
1
|α|
X
f
!
α
(10)
• Lorsque l’on contracte un signal dans le domaine temporel, on le dilate dans
le domaine fréquentiel et inversement.
• Un signal infiniment bref contient un spectre infiniment large.
14 / 33
4. Propriétés
Dilatation/contraction temporel
• Exemple :
compressé s (t ) = x (αt ) dans le domaine temporel et fréquentiel (α = 1.5).
2
2
Signal x(t)
Signal x(α t)
40
Signal x(t)
Signal x(α t)
1.8
Signal x(t)
Signal x(α t)
30
1.6
20
1.4
0
10
1.2
φ(S(f))
Spectre |S(f)|
1
1
0.8
0
−10
0.6
−20
0.4
−1
0.2
−30
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−40
−10
−5
0
f
5
10
15 / 33
4. Propriétés
Dérivation
Propriété 4.5 (Dérivation)
Soit x (t ) un signal de transformée de Fourier X (f ) = F (x (t )). La transformée de
dx (t )
Fourier de sa dérivée, s (t ) = dt , est donnée par la relation :
S (f ) = F (s (t )) = 2j πfX (f )
(11)
• Cette propriété permet de convertir des équations différentielles dans le
domaine temporel en equations polynômiales dans le domaine fréquentiel.
16 / 33
4. Propriétés
Conservation d’énergie
Propriété 4.6 (Théorème de Parseval-Plancherel)
Soit x (t ) un signal de transformée de Fourier X (f ) = F (x (t )). L’énergie du signal,
E, est égale à :
Z
Z
E=
|x (t )|2 dt =
|X (f )|2 df
(12)
• L’énergie d’un signal peut se déterminer en integrant dans le domaine
temporel et/ou dans le domaine fréquentiel.
17 / 33
4. Propriétés
Parité
Propriété 4.7 (Parité)
Soit x (t ) un signal de transformée de Fourier X (f ) = F (x (t )), il est possible de
démontrer les propriétés suivantes :
Signal x (t )
Réel paire
Réel impaire
Réel
Imaginaire paire
Imaginaire impaire
Imaginaire
Spectre X (f )
Réel paire
Imaginaire impaire
Complexe (partie réelle paire, partie imaginaire impaire)
Imaginaire paire
réel impaire
complexe (partie réelle impaire, partie imaginaire paire)
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5. Signaux Particuliers
Impulsion de Dirac
Signaux Particuliers
Définition 5.1 (Impulsion de Dirac)
L’impulsion de Dirac, δ(t ), est une distribution ayant pour propriétés :
• δ(t ) = 0 pour tout t , 0.
•
R∞
−∞
x (t )δ(t )dt = x (0)
Propriété 5.1 (TF d’un Dirac)
La transformée de Fourier de δ(t ) est égale à :
F (δ(t )) = 1
(13)
• La preuve découle immédiatement de la deuxième propriété de l’impulsion
de Dirac.
19 / 33
Impulsion de Dirac
• Représentation :
Les figures suivantes présentent l’impulsion de dirac, δ(t ), dans les domaines temporel et
fréquentiel.
2
2
δ(t)
40
Signal δ(t)
1.8
Signal δ(t)
30
1.6
1
20
1.4
10
Spectre
Spectre
1.2
0
1
0.8
0
−10
0.6
−20
0.4
−1
0.2
−30
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−40
−10
−5
0
f
5
10
L’impulsion de dirac est un signal très rapide qui excite toutes les fréquences. A titre
d’illustration, l’éclatement d’un ballon ou le tir d’une arme à feu gênèrent un son proche d’une
impulsion de dirac.
20 / 33
Constante
Définition 5.2 (Constante)
Le signal constante, x (t ), est défini par l’equation :
x (t ) = 1
(14)
Propriété 5.2 (TF d’une constante)
La transformée de Fourier de x (t ) est égale à :
X (f ) = F (1) = δ(f )
(15)
• La preuve découle directement des théorèmes 5.1et 4.2 (dualité).
• Attention : La transformée d’une constante n’est pas une constante c-a-d
F (1) = δ(f ) , 1.
21 / 33
Constante
Les figures suivantes présentent le signal constant x (t ) = 1, dans les domaines temporel et
fréquentiel.
2
2
40
x(t)=1
Signal x(t)=1
Signal x(t)=1
1.8
30
1.6
1
20
1.4
10
Spectre
Spectre
1.2
0
1
0.8
0
−10
0.6
−20
0.4
−1
0.2
−30
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−40
−10
−5
0
f
5
10
La composante continue du signal est contenue dans la composante |X (f = 0)| du spectre.
22 / 33
Exponentielle complexe
Définition 5.3 (Exponentielle complexe)
Le signal exponentiel complexe, x (t ), de fréquence f0 est défini par l’équation :
x (t ) = e 2j πf0 t
(16)
Propriété 5.3 (TF d’une exponentielle complexe)
X (f ) = F e 2j πf0 t = δ(f − f0 )
(17)
• La preuve découle directement du théorème 5.1 et 4.3.
23 / 33
Exponentielle complexe
Les figures suivantes présentent l’exponentielle complexe x (t ) de fréquence f0 = 2Hz, dans les
domaines temporel et fréquentiel.
2
2
Constante
Exponentiel complexe
Constante
100
40
Constante
1.8
Constante
30
1.6
1
20
1.4
50
10
Spectre
Spectre
1.2
0
0
1
0.8
0
−10
0.6
−50
−20
0.4
−1
−100
0.2
−30
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−40
−10
−5
0
f
Figure: Espace temporel Figure: Espace temporel Figure: Espace
Figure: Espace
(module)
fréquentiel (phase)
(phase)
fréquentiel (module)
5
10
24 / 33
Sinusoı̈de
Définition 5.4 (Sinusoı̈de)
Le signal sinusoidal, x (t ), de fréquence f0 est défini par :
x (t ) = sin(2πf0 t )
(18)
Propriété 5.4 (TF d’une Sinusoı̈de)
TF [sin(2πf0 t )] =
j
(δ(f + f0 ) − δ(f − f0 ))
2
(19)
• La preuve découle des formules d’Euler et du théorème 5.3.
25 / 33
Sinusoı̈de
Les figures suivantes présentent un signal sinusoidal de fréquence
f0 = 2Hz, dans les domaines temporel et fréquentiel.
2
Sinusoide
3
Sinusoide
Sinusoide
1.8
1
2
1.6
1.4
1
Spectre
Spectre
1.2
0
1
0.8
0
−1
0.6
0.4
−1
−2
0.2
0
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
−10
−5
0
f
5
10
−3
−10
−5
0
f
5
10
26 / 33
Fonction Signe
Définition 5.5 (Signe)
Le signal signe, sgn(t ), est défini par l’équation :


−1



0
sgn(t ) = 


 1
si t < 0
si t = 0
si t > 0
(20)
Propriété 5.5 (TF de la fonction signe)
La transformée de Fourier de sgn(t ) est égale à :
TF [sgn(t )] =
1
j πf
(21)
• La preuve s’obtient en démontrant que la transformée de Fourier de la
fonction f (t ) = π1t est égale à F ( π1t ) = −jsgn(f ) et en utilisant le théorème
4.2.
27 / 33
Fonction Signe
Les figures suivantes présentent la fonction signe x (t ) = sgn(t ), dans les domaines temporel
et fréquentiel.
5
Fonction Signe
3
Fonction Signe
Fonction Signe
4.5
1
2
4
3.5
1
Spectre
Spectre
3
0
2.5
2
0
−1
1.5
1
−2
−1
0.5
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
0
−10
−5
0
f
5
10
−3
−10
−5
0
f
5
10
28 / 33
Fonction Echelon
Définition 5.6 (Echelon)
Le signal échelon, u(t ), aussi appelé fonction de Heaviside, est défini par :


0.5



0
u(t ) = 


 1
si t = 0
si t < 0
si t > 0
(22)
Propriété 5.6 (TF d’un échelon)
La transformée de Fourier de u(t ) est égale à :
F (u(t )) =
δ(f )
1
+
2j πf
2
(23)
• La preuve s’obtient en remarquant que u(t ) = 12 (sgn(t ) + 1)
29 / 33
Porte
Définition 5.7 (Porte)
Le signal porte, Πl (t ), de largeur l et d’amplitude unitaire est défini par :
(
Πl (t ) =
1
0
si − 2l ≤ t <
ailleurs
l
2
(24)
Propriété 5.7 (TF d’une porte)
La transformée de Fourier de Πl (t ) est égale à :
F (Πl (t )) = lsinc (πfl )
(25)
où sinc (x ) = sin(x )/x est la fonction sinus cardinal.
30 / 33
Porte
Les figures suivantes présentent la fonction porte x (t ) = Πl (t ) pour l = 1, dans les domaines
temporel et fréquentiel.
2
6
1.8
5
1
1.6
4
1.4
3
0
φ(S(f))
|S(f)|
1.2
1
0.8
−1
0
0.4
−1
0.2
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
1
0.6
−2
0
−10
2
−10
−5
0
f
5
10
−3
−10
−5
0
f
5
10
31 / 33
Signal Périodique
Définition 5.8 (Signal Périodique)
Sous reserve que la décomposition en série de Fourier d’un signal périodique
x (t ) de période T0 = f10 existe, x (t ) peut s’exprimer sous la forme :
∞
X
x (t ) =
cn e −2j πnf0 t
(26)
n=−∞
Propriété 5.8 (TF d’un signal périodique)
F (x (t )) =
∞
X
cn δ(f − nf0 )
(27)
n=−∞
• La preuve découle directement des théorèmes 4.1 et 5.3.
32 / 33
Signal Périodique
Les figures suivantes présentent un signal carré de période T0 = 2 et la fonction porte
x (t ) = Πl (t ) avec l = 1, dans les domaines temporel et fréquentiel.
2
Carré
Porte
6
Carré
Porte
1.8
1
Carré
Porte
5
1.6
4
1.4
3
φ(S(f))
|S(f)|
1.2
0
1
0.8
−1
0
0.4
−1
0.2
−8
−6
−4
−2
0
2
temps (sec)
4
6
8
10
1
0.6
−2
0
−10
2
−10
−5
0
f
5
10
−3
−10
−5
0
f
5
10
33 / 33

Transformée de Fourier Principe et Propriétés

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