Congruences

Congruences
Exercice 01
(voir réponses et correction)
Le numéro INSEE ou numéro de Sécurité Sociale est formé de 15 chiffres déterminés, pour chaque individu
de la façon suivante :
1 chiffre pour le sexe : Homme 1 ; Femme 2
2 chiffres correspondant aux deux derniers chiffres de l'année de naissance
2 chiffres correspondant au mois de naissance
2 chiffres correspondant au département de naissance
3 chiffres correspondant à la commune de naissance
3 chiffres correspondant au numéro d'inscription sur le registre des naissances
2 chiffres correspondant à une clé de contrôle
La clé de contrôle est ainsi déterminée :
On prend le nombre formé par les 13 premiers chiffres, on cherche son reste r dans la division par 97, la clé
est alors égale au nombre 97 - r écrit avec deux chiffres (le premier étant éventuellement un 0)
1°) Si vous avez connaissance de votre numéro INSEE ou de celui d'un parent, vérifier la clé de contrôle.
Sinon vérifier la clé de contrôle associée au numéro 2 85 05 33 565 001 89
2°) Le numéro précédent a été retranscrit 2 85 05 33 569 001 89 (erreur sur le 10ième chiffre)
Montrer qu'alors la clé de contrôle permet de détecter l'erreur.
Vérifier sur un autre exemple choisi par vous qu'une erreur sur un des chiffres va être détectée par la clé
de contrôle.
Remarque
De nombreux systèmes de contrôle ou de codage utilisent les restes des divisions.
Définition
Soient p un entier naturel.
Soient a et b deux entiers relatifs.
On dit que a est congru à b modulo p, si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par p
On notera a º b (modulo p) ou a º b (p)
Remarques
a º b (p) ⇔ b º a (p)
a º 0 (p) ⇔ a est divisible par p
Si a º r (b) et si 0 £ r < b, alors r est le reste de la division euclidienne de a par b
Propriétés
(voir démonstration 01)
• a º b (p) ⇔ b - a est multiple de p
• Si a º b (p) et si b º c (p) alors a º c (p)
• Si a º b (p) et si a' º b' (p)
alors a + a' º b + b' (p)
;
a - a' º b - b' (p)
• Si a º b (p) alors pour tout c ∈ ZZ
a + c º b + c (p)
;
;
aa' º bb' (p)
;
a - c º b - c (p)
*
an º bn (p) n ∈ IN
;
ac º bc (p)
Remarque
La relation de congruence est compatible avec l'addition, la soustraction et la multiplication.
Attention, la relation de congruence n'est pas compatible avec la division ni avec la racine carrée.
Par exemple 44 º 8 (6) , mais on ne peut pas diviser par 4 pour affirmer que 11 est congru à 2 modulo 6.
ou encore 4 º 16 (12) , mais on ne peut pas prendre la racine carrée pour affirmer que 2 est congru à 4 modulo 12
On ne pourra en aucun cas simplifier dans une congruence comme on simplifie dans une égalité:
Une congruence du type 2x º 2y (p) ne pourra pas être simplifiée par 2
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Exemples
• Soit n un entier naturel, démontrons que pour tout n ∈ IN 10n - (-1)n est divisible par 11
On peut écrire 10 º - 1 (11) ,
donc pour tout n ∈ IN 10n º (-1)n (11) ,
donc pour tout n ∈ IN 10n - (-1)n est divisible par 11
Ce résultat peut aussi être démontré par récurrence voir Raisonnement par récurrence exemple 1
• Déterminer le reste dans la division par 7 de 264 - 1
On peut remarquer que 23 = 8 , donc 23 º 1 (7) on en déduit que 23n º 1n º 1 (7)
On peut écrire 64 = 3 x 21 + 1 , donc 264 = 23x21+1
On a
23x21 º 1 (7) donc 23x21+1 º 2 (7) donc 264 º 2 (7) donc 264 - 1 º 1 (7)
Le reste dans la division par 7 de 264 - 1 est 1
On pourrait vérifier en écrivant
264 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615 mais ce n'est pas très simple !
• Démontrer que pour tout entier n, 2n2 + n + 1 n'est pas divisible par 3.
On peut raisonner en utilisant les restes possibles dans la division euclidienne de n par 3.
Pour tout entier n, on a n º 0 (3) ou n º 1 (3) ou n º 2 (3)
Si n º 0 (3) , alors 2n2 + n + 1 º 2 x 02 + 0 + 1 (3) donc 2n2 + n + 1 º 1 (3)
Si n º 1 (3) , alors 2n2 + n + 1 º 2 x 12 + 1 + 1 (3) donc 2n2 + n + 1 º 4 (3) donc 2n2 + n + 1 º 1 (3)
Si n º 2 (3) , alors 2n2 + n + 1 º 2 x 22 + 2 + 1 (3) donc 2n2 + n + 1 º 11 (3) donc 2n2 + n + 1 º 2 (3)
On en déduit alors que pour tout entier n, 2n2 + n + 1 n'est pas congru à 0 modulo 3,
donc pour tout entier n, 2n2 + n + 1 n'est pas divisible par 3
Pour simplifier les calculs, on pourrait utiliser n º -1 (3) à la place de n º 2 (3)
Exercice 02
(voir réponses et correction)
Soit n un entier naturel
1°) Démontrer que si n º 2 (5) ou si n º 3 (5), alors n2 + 1 est un multiple de 5.
2°) Démontrer que pour tout n ∈ IN : n(n4 - 1) est un multiple 5.
3°) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, constater la propriété pour n variant de 1 à 100.
Exercice 03
(voir réponses et correction)
1°) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, calculer 6n + 13n+1 pour n = 0, 1, 2, ...., 6
Vérifier dans chacun des cas que 6n + 13n+1 est divisible par 7.
2°) Démontrer que pour tout entier naturel n, 6n + 13n+1 º 0 (7)
Exercice 04
(voir réponses et correction)
1°) En utilisant un ordinateur ou une calculatrice, déterminer les entiers naturels n inférieurs ou égaux à 35
pour lesquels n3 + 3n - 10 est divisible par 13.
2°) Démontrer que n3 + 3n - 10 est divisible par 13 ⇔ n º 3 (13) ou n º 5 (13)
3°) Déterminer le plus petit entier supérieur ou égal à 2500 pour lequel n3 + 3n - 10 est divisible par 13
Exercice 05
(voir réponses et correction)
1°) Donner suivant les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division euclidienne de 2n par 5.
2°) En déduire le reste de la division euclidienne par 5 de 23562
3°) Donner le reste de la division euclidienne par 5 de (3722)763
4°) Donner le reste de la division euclidienne par 5 de (6753)811
Exercice 06
(voir réponses et correction)
Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11.
Exercice 07
(voir réponses et correction)
1°) Donner suivant les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division euclidienne de 2n par 7.
2°) En déduire que si n n'est pas multiple de 3, 22n + 2n + 1 est divisible par 7.
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Exercice 08
(voir réponses et correction)
1°) En utilisant une calculatrice ou un ordinateur, calculer 32n+1 + 52n+1 pour n = 0, 1, 2, ....
Vérifier dans chacun des cas que 32n+1 + 52n+1 est divisible par 4.
2°) Démontrer que pour tout entier naturel n, 32n+1 + 52n+1 º 0 (4)
3°) De la même façon que peut-on dire de 112n+1 + 13n+1 ?
Exercice 09
(voir réponses et correction)
Justifier que pour tout entier naturel n,
Exercice 10
3 x 52n+1 + 23n+1 est divisible par 17
(voir réponses et correction)
Soit n un entier naturel,
Donner le reste de la division euclidienne par 4 de 1n + 2n + 3n
Donner le reste de la division euclidienne par 4 de 17n + 18n + 19n
Exercice 11
(voir réponses et correction)
Justifier que pour tout entier naturel n, 44n+2 - 3n+3 est divisible par 11
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