Congruences

Mme Morel-spécialité math-cours congruences
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Congruences
Intro : exercice 19 feuille divisibilité.
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Définition
Théorème 1.1. Soit n entier naturel non nul. Soient a et b des entiers relatifs.
a et b ont même reste dans la division euclidienne par n ⇔ a − b est un multiple de n.
Démonstration :
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• Si a et b ont même reste dans la division euclidienne par n, alors il existe q, q entiers relatifs et r
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entier naturel vérifiant 0 6 r < n tels que a = nq + r et b = nq + r. On a donc a − b = n(q − q ),
donc a − b est un multiple de n.
• Si a − b est un multiple de n, alors il existe un entier k tel que a − b = kn.
Soit r le reste de la division euclidienne de b par n. On peut alors écrire b = nq + r avec q ∈ Z et
r entier vérifiant 0 6 r < n. Par conséquent, a = nq + r + kn = (q + k)n + r, avec (q + k) ∈ Z
et r entier tel que 0 6 r < n. D’après l’unicité de la division euclidienne, r est donc le reste de la
division euclidienne de a par n. Par suite, a et b ont même reste par la division euclidienne par n.
Définition 1.0.1. On dit dans ce cas que a et b sont congrus modulo n et on note a ≡ b(n) ou
a ≡ b modulo n.
Exemples :
1. 1 ≡ 6(5) car 1 = 5 × 0 + 1 et 6 = 5 × 1 + 1
2. 27 ≡ 33(6) car 27 = 6 × 4 + 3 et 33 = 6 × 5 + 3
3. −2 ≡ 1(3) car −2 = 3 × (−1) + 1 et 1 = 3 × 0 + 1
Remarques :
1. a ≡ b(n) ⇔ b ≡ a(n). On dit que la relation de congruence modulo n est symétrique.
2. a ≡ b(n) ⇔ a ≡ b(−n), puisque n et −n ont les mêmes multiples.
3. a ≡ b(n) ⇔ ∃k ∈ Z|a = b + kn. Par exemple, en trigo, on connait depuis la seconde la congruence
modulo 2π, en étendant la définition pour n non entier. Autre exemple, a ≡ 0(2) ⇔ a = 2k, k ∈
Z, c’est-à-dire a pair.
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Applications
Théorème 2.1. b divise a équivaut à a ≡ 0(b).
Démonstration : En effet, le reste de la division euclidienne de 0 par b est 0 et b divise a si et
seulement si il existe k entier tel que a = bk, ce qui est équivalent à a ≡ 0(b).
Théorème 2.2. Soit a ≡ 0(b), soit a ≡ 1(b), soit · · · a ≡ b − 1(b).
Démonstration : Les seuls restes possibles de la division euclidienne de a par b sont 0, 1, · · · , b − 1.
Remarque : Si r est le reste de la division euclidienne de a par n alors a ≡ r(n). Mais attention, la
réciproque est fausse : elle n’est vraie que si 0 6 r < n.
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Opérations sur les congruences
Théorème 3.1.
1. n ≡ 0(n)
2. a ≡ a(n)
3. Si a ≡ b(n) et b ≡ c(n) alors a ≡ c(n). On dit que la relation de congruence modulo n est
transitive.
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4. Addition : si a ≡ b(n) et a ≡ b (n) alors a + a ≡ b + b (n)
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5. Soustraction : si a ≡ b(n) et a ≡ b (n) alors a − a ≡ b − b (n)
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6. Multiplication : si a ≡ b(n) et a ≡ b (n) alors aa ≡ bb (n)
7. Puissances : si a ≡ b(n) alors ∀p ∈ N∗ , ap ≡ bp (n)
On dit que la relation de congruence est compatible avec l’addition et la multiplication des entiers
relatifs.
Démonstration :
1. n divise n
2. a a un unique reste dans la division euclidienne par n.
3. a ≡ b(n) donc a et b ont même reste par la division euclidienne par n.
b ≡ c(n), donc b et c ont même reste par la division euclidienne par n.
Donc a, b et c ont même reste par la division euclidienne par n. Donc a ≡ c(n).
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4. Par hypothèse, il existe des entiers k et k tels que a = b + kn et a = b + k n. On a donc :
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a + a = b + b + (k + k )n d’où a + a ≡ b + b (n) (puisque k + k ∈ Z).
5. idem
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6. Même chose. Le produit donne : aa = bb + n(bk + b k + kk n), donc aa ≡ bb (n).
7. On montre le résultat par récurrence sur la puissance p.
• Initialisation : p = 1 : c’est évidemment vrai.
• Hérédité : Soit k ∈ N. Supposons que ak ≡ bk (n). Montrons que ak+1 ≡ bk+1 (n).
Par hypothèse de récurrence, ak ≡ bb (n). De plus, a ≡ b(n). Donc, par multiplication,
ak+1 ≡ bk+1 (n). La propriété est donc héréditaire.
• La propirété est vraie pour p = 1, elle est héréditaire, donc d’après l’axiome de la récurrence,
pour tout p ∈ N∗ , ap ≡ bp (n).
Remarque : ATTENTION on ne peut pas simplifier une congruence comme une égalité : par exemple,
3a ≡ 3b(n) n’implique pas a ≡ b(n) : 12 ≡ 24(6) mais 4 et 8 ne sont pas congrus modulo 6.
La relation de congruence n’est pas compatible avec la division ni avec la racine carrée :
• 44 ≡ 8(6) mais on ne peut pas diviser par 4 pour affirmer que 11 est congru à 2 modulo 6.
• 4 ≡ 16(12) mais on ne peut pas prendre la racine carrée pour affirmer que 2 est congru à 4 modulo
12.
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Application aux exercices de divisibilité
1. Montrer que pour tout entier naturel n, 32n − 2n est divisible par 7.
En effet, pour tout entier naturel n, 32n = (32 )n = 9n . Or, 9 ≡ 2(7), donc 9n ≡ 2n (7), donc
9n − 2n ≡ 0(7), donc 7 divise 32n − 2n .
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 27189999 par 13.
On a : 2718 = 13×209+1, donc 2718 ≡ 1(13). D’où 27189999 ≡ 19999 (13) soit 27189999 ≡ 1(13).
Comme 0 6 1 < 13, le reste de la division euclidienne de 27189999 par 13 est 1.
3. Critères de divisibilité par 3, 5, 9 · · · : voir exercices.
4. Soit n un entier naturel. Montrer que pout tou n ∈ N, 10n − (−1)n est divisible par 11.
On a : 10 ≡ −1(11) donc pour tout entier naturel n,10n ≡ (−1)n (11) donc pour tout n ∈ N,
10n − (−1)n est divisible par 11.
5. Démontrer que pour tout entier naturel n, 2n2 + n + 1 n’est pas divisible par 3.
On raisonne en utilisant tous les restes possibles dans la division euclidienne par 3.
Pour tout entier naturel n, on a : soit n ≡ 0(3) soit n ≡ 1(3) soit n ≡ 2(3).
• Si n ≡ 0(3) alors 2n2 + n + 1 ≡ 1(3).
• Si n ≡ 1(3) alors 2n2 + n + 1 ≡ 2 + 1 + 1 ≡ 4 ≡ 1(3).
• Si n ≡ 2(3) alors 2n2 + n + 1 ≡ 2 × 4 + 2 + 1 ≡ 11 ≡ 2(3).
Donc pour tout entier naturel n, 2n2 +n+1 n’est pas congru à 0 modulo 3, donc n’est pas divisible
par 3.
6. en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, calculer 6n + 13n+1 pour n entier variant de 0 à 6.
Vérifier dans chacun des cas que 6n + 13n+1 est divisible par 7.
Démontrer que pour tout entier naturel n, 6n + 13n+1 ≡ 0(7).