Troisième exercice Polynésie septembre 2010

Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Polynésie septembre 2010
Un jeu consiste à tirer simultanément 4 boules indiscernables au toucher d’un sac
contenant une boule noire et 9 boules blanches, puis à lancer un dé bien équilibré à six
faces numérotées de 1 à 6.
Si la boule noire est tirée, il faut obtenir un nombre pair avec le dé pour gagner. Si la boule
noire n’est pas tirée, il faut obtenir un six avec le dé pour gagner.
On appelle N l’évènement «la boule noire figure parmi les boules tirées» et G l’évènement
«le joueur gagne».
1.a. Déterminer la probabilité de l'événement N.
Les boules du sac étant indiscernables au toucher, elles ont toutes la même probabilité
d'être tirées. Nous sommes en situation d'équiprobabilité.
Les quatre boules étant tirées simultanément, chaque tirage est une combinaison.
10  10 × 9 × 8 × 7
Au total, il existe   =
= 210 tirages possibles.
 4  1× 2 × 3 × 4
Une combinaison favorable à l'événement N est constituée de la boule noire et de trois
boules blanches.
1 noire 3 blanches
parmi
1 parmi
9
1
9
Il existe   ×  
1
 3
Nous en déduisons :
p ( N) =
9×8× 7
= 84 tirages favorables à l'événement N.
= 1×
1× 2 × 3
Nombre de tirages favorables à N 84
2
=
=
Nombre total de tirages
210 5
1.b. Démontrer que la probabilité de l'événement G est égale à
(
3
. On pourra s'aider d'un
10
)
( ) (
= p ( N ) × p ( G sachant N ) + p N × p G sachant N
2 1 3 1
× + ×
5 2 5 6
1 1
2 1
3
= +
=
+
=
5 10 10 10 10
=
On tire simultanément
quatre boules ?
On lance le dé...
G
1/2
Pour gagner,
il faut obtenir
une face paire.
N
1/2
2/5
G
G
3/5
1/6
Pour gagner,
il faut obtenir
la face 6.
N
5/6
G
1.c. Le joueur ne gagne pas. Quelle est la probabilité qu'il ait tiré la boule noire ?
La probabilité que le joueur ne gagne pas est donnée par :
3
7
p G = 1− p (G) = 1−
=
10 10
( )
On souhaite calculer la probabilité de l'événement «N sachant G ».
arbre pondéré.
Le jeu peut être représenté par l'arbre pondéré ci-contre Les événements N et N formant une partition de l'univers des possibles, nous pouvons
écrire en application de la formule des probabilités totales :
p (G ) = p (G ∩ N) + p G ∩ N
Page 1 sur 2
)
(
)
p N sachant G =
(
p N∩G
( )
)=
p G
2 1
×
5 2 1 10 2
= × =
7
5 7 7
10
2. Pour jouer à ce jeu, une mise de départ de m euros est demandée, où m est un réel
strictement positif.
Si le joueur gagne, il reçoit 4 euros.
S’il ne gagne pas mais qu’il a tiré la boule noire, le joueur récupère sa mise.
S’il ne gagne pas et qu’il n’a pas tiré la boule noire, le joueur perd sa mise.
On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
2.a. Donner la loi de probabilité de X.
Le gain algébrique X correspond au gain net du joueur, lorsque la mise a été déduite.
p ( X = 4 − m ) = p ( G ) = 0,3
(
)
La loi de probabilité de X est : p ( X = 0 ) = p N ∩ G = 0, 2
D'après l'arbre
et ce qui précède...
p ( X = −m ) = 1 − p ( X = 4 − m ) − p ( X = 0 ) = 0,5
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2.b. Exprimer l'espérance mathématique de X en fonction de m.
L'espérance de la variable aléatoire X est donnée par :
E ( X ) = p ( X = 4 − m ) × ( 4 − m ) + p ( X = 0 ) × 0 + p ( X = −m ) × ( −m )
Page 2 sur 2
Conclusion : il faut jouer au moins 20 parties pour que la probabilité de gagner au moins
l'une d'entre elles soit supérieure à 0,999.
= 0,3 × ( 4 − m ) + 0, 2 × 0 + 0,5 × ( −m )
= 1, 2 − 0,3 × m + 0 − 0,5 × m = 1, 2 − 0,8 × m
2.c. On dit que le jeu est équitable si l'espérance mathématique de X est nulle.
Déterminer m pour que le jeu soit équitable.
Il s'agit de résoudre l'équation :
Le jeu est équitable ⇔ E ( X ) = 0
⇔ 1, 2 − 0,8 × m = 0 ⇔ 1, 2 = 0,8 × m ⇔ m =
1, 2
= 1,5
0,8
Conclusion : pour que le jeu soit équitable, la mise m doit être fixée à 1,50€.
3. Soit n un entier naturel non nul.
On joue n fois à ce jeu sachant qu'après chaque partie les boules sont remises dans le sac.
Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une
fois est supérieure à 0,999.
Les n parties indépendantes du jeu représentent un schéma de Bernoulli de n épreuves :
G
0,3
Le joueur gagne-t-il
sa partie ?
0,7
G
On appelle Y la variable aléatoire comptabilisant le nombre de parties gagnées sur les n
faites. La loi de probabilité de Y est la loi binomiale B ( n;0,3) .
La probabilité de gagner au moins une partie sur les n effectuées est donnée par :
p ( Y ≥ 1) = 1 − p ( Y < 1)
La variable aléatoire Y est un entier compris entre 0 et n.
n
= 1 − p ( Y = 0 ) = 1 −   × 0,30 × 0, 7 n = 1 − 1× 1× 0, 7 n = 1 − 0, 7n
0
On cherche la valeur minimale de n pour laquelle :
p ( Y ≥ 1) > 0,999 ⇔ 1 − 0, 7n > 0,999 ⇔ −0, 7 n > −0, 001
On multiplie
par le négatif -1.
(
)
⇔ 0, 7n < 0, 001  → ln 0, 7 n < ln ( 0, 001)
ln
Croissante sur ]0;+∞[
⇔ n × ln ( 0, 7 ) < ln ( 0, 001) ⇔ n >
On divise par ln(0,7) qui est négatif car 0,7∈]0;1[
ln ( 0, 001)
ln ( 0, 7 )
≈ 19,36