Lycée Saint Sernin ~ MATHÉMATIQUES Premier devoir commun

Lycée Saint Sernin ~ MATHÉMATIQUES
Premier devoir commun
1ère S
20 novembre 2006 ~ 110 min
Exercice 3:
(3,5 points)
1) On considère le trinôme f(x) = 3x² - 7x + 4.
Mettre f(x) sous forme canonique puis factoriser f(x).
Exercice 1 :
(3,5 points)
On appelle f la fonction définie sur R par f ( x) = x 2 + 4 x + 5
1) Montrer que pour tout réel x, f ( x) = ( x + 2) 2 + 1 . Et en déduire que pour tout réel x, f(x) ≥ 1 .
2) Soit P(x) = 3x3 − 16 x ² + 25 x − 12
a)
Vérifier que 3 est une racine de P
b)
Déterminer les réels a, b et c tels que P( x) = ( x − 3)(ax ² + bx + c)
2) Par quelle transformation géométrique passe-t-on de la courbe de la fonction carré à la courbe de f
3) Résoudre P(x) ≥ 0
3) En déduire le tableau de variation de f. (sans justifications)
4) On pose g ( x) = ( x ² + 4 x + 5 ) .
Donner deux fonctions u et v telle que g = v u. En utilisant les fonctions composées, étudier le sens de
variation de g sur ]−∞; −2[ . (Des justifications précises sont attendues ainsi que le rappel des théorèmes
utilisés)
2
Exercice 4:
(8,5 points)
Dans le plan, on considère le triangle quelconque ABD.
Exercice 2 :
(4,5 points)
Dans un repère orthonormal, on considère les points A ( 0 ; 3 ) et B ( 6 ; 0 ).
Le point M sur le segment [OB] a pour abscisse x.
N est le point de la droite ( AB ) tel que ( MN ) est parallèle à l’axe des ordonnées.
I est l’isobarycentre de A et B.
L est le barycentre de (A;1) et de (D;2).
Q est le point tel que BQ = 2BD
1)
a) Recopier la figure en respectant le quadrillage et placer les points I, L et Q.
b) Etablir par un calcul vectoriel que Q est le barycentre de (B;– 1) et de (D;2).
2)
a) Montrer que L est aussi le barycentre de (I ; 2) et de (Q ; 1).
b) Que peut-on en déduire pour les points I, L et Q ?
3)
Que représente le point L pour le triangle ABQ ? Justifier la réponse.
1) a) Déterminer une équation de la droite (AB).
3
1
b) Montrer que l’aire du triangle AMN est – x2 + x.
2
4
4)
On considère maintenant le point F, barycentre de (A ; 3), de (B ; 3) et de (D ; 6).
a) Montrer que les points B, F et L sont alignés.
b) Exprimer BF en fonction de BL . Placer alors F.
2) a) On note f la fonction qui à x fait correspondre l’aire du triangle AMN. Préciser Df.
Etudier le sens de variation de f sur Df. (justifier)
5)
En utilisant les barycentres :
a) Déterminer l’ensemble (E1) des points M qui vérifient : 2MA + 4MD = 3MA + 3MB .
b) Où faut-il placer le point M pour que cette aire soit maximale ?
1
3) Calculer les valeurs exactes de x pour lesquelles l’aire du triangle AMN dépasse le de l’aire du triangle
6
OAB.
Tracer alors (E1)
b) Déterminer également (E2) l’ensemble des points M tels que : MA + MB + MQ = AD
Montrer que D est un point de (E2) et tracer alors (E2)