1 Produit scalaire et norme - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2013-2014
Espaces euclidiens
Dans tout ce chapitre, on ne considère que des R-espaces vectoriels.
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Produit scalaire et norme
1.1
Produit scalaire
Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire, symétrique définie positive. On
appelle espace préhilbertien un espace vectoriel muni d’un produit scalaire.
Exemples à connaîtres :
• le produit scalaire canonique de Rn , si x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn ) sont dans
Rn , on pose
< x, y >= x1 y1 + · · · + xn yn = t XY
où X et Y sont les matrices colonnes des coordonnées de x et y.
• le produit scalaire canonique de Mn (R) (qui coïncide avec le produit scalaire cano2
nique de Rn ), si A et B sont dans Mn (R), on pose
< A, B >= Tr(t AB) =
X
aij bij .
16i,j6n
• le produit scalaire canonique de C([a, b], R), si f et g sont dans C([a, b], R), on pose
< f, g >=
Z
b
f (t)g(t) dt .
a
1.2
Normes
1. Définition d’une norme euclidienne : si E est muni d’un produit scalaire < ·, · >, on
pose pour x ∈ E,
√
kxk = < x, x >.
On dit que k · k est la norme euclidienne associée au produit scalaire < ·, · >.
2. Inégalité de Cauchy-Schwarz (*) :
∀(x, y) ∈ E 2 ,
| < x, y > | 6 kxkkyk .
Il y a égalité dans l’inégalité ssi x et y sont colinéaires.
3. Définition d’une norme. On dit qu’une application N : E → R+ est une norme sur
E, si elle vérifie :
• ∀x ∈ E, ( N (x) = 0 ⇒ x = 0) (séparation).
• ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, N (λx) = |λ|N (x) (séparation).
• ∀(x, y) ∈ E 2 , N (x + y) 6 N (x) + N (y) (inégalité triangulaire)
4. Prop : (*) Une norme euclidienne est bien une norme.
Il existe des normes non euclidiennes, par exemple la norme N1 sur Rn définie par :
si x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , on pose N1 (x) = |x1 | + · · · + |xn |. Ce n’est pas une norme
euclidienne car elle ne vérifie l’identité du parallélogramme ci-dessous.
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1.3
Quelques identités dans les espaces préhilbertiens
1. identité du parallélogramme (*) :
∀(x, y) ∈ E 2 ,
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) .
2. identités de polarisation :
∀(x, y) ∈ E 2 ,
1
< x, y >= (kx + yk2 − kxk2 − kyk2 ) et
2
1
< x, y >= (kx + yk2 − kx − yk2 ) .
4
Remarques :
• dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme
des carrés des côtés.
• les identités de polarisation permettent de retrouver le produit scalaire à l’aide de
la norme.
2
Orthogonalité
2.1
Généralités
Définitions de vecteurs orthogonaux, de familles orthogonales, orthonormales.
Prop : (*) une famille orthogonale qui ne contient pas le vecteur nul est libre. En
particulier, une famille orthonormale est libre.
Théorème de Pythagore :
∀(x, y) ∈ E 2 ,
2.2
x⊥y ⇔ kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
Sous-espaces vectoriels orthogonaux
Soit E un espace préhilbertien.
Deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont dits orthogonaux si tout vecteur de F
est orthogonal à tout vecteur de G. On note alors F ⊥G. Cas où F et G admettent des
bases.
L’ensemble F ⊥ des vecteurs de E qui sont orthogonaux à F est un sous-espace vectoriel
de E.
3
Cas des espaces euclidiens
On appelle espace euclidien un espace préhilbertien de dimension finie.
3.1
Existence de bases orthonormales
Thénorème : tout espace euclidien admet une base orthonormale (preuve non constructiviste par récurrence sur la dimension).
Règles de calcul dans les bases orthonormales : soit B = (e1 , . . . , en ) une bon de E
euclidien, soit x et y dans E de coordonnées (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , yn ). Alors
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1. (*) < x, y >= x1 y1 + · · · + xn yn = t XY où X = MB (x) et Y = MB (y).
2. x =< x, e1 > e1 + · · · + < x, en > en
et kxk2 =< x, e1 >2 + · · · + < x, en >2
Remarque : écriture matricielle : si X = MB (x) et Y = MB (y) sont les vecteurs colonnes
des coordonnées de x et y, alors
< x, y >= t XY .
3.2
Supplémentaire orthogonal
Soit F un sev de E euclidien. Alors F ⊕ F ⊥ = E . Ainsi dim F ⊥ = dim E − dim F .
De plus
3.3
F⊥
⊥
=F .
Projection orthogonale
Puisque F ⊕F ⊥ = E, la définition suivante a un sens : on appelle projection orthogonale
sur F la projection sur F , parallèlement à F ⊥ . On la note pF . De plus on a prouvé :
Si (e1 , . . . , ep ) est une bon de F , alors pour tout x ∈ E, on a
pF (x) =< x, e1 > e1 + · · · + < x, ep > ep .
Il faut savoir mettre en pratique l’algorithme de Gram-Schmidt, qui permet une
construction explicite d’une bon à partir d’une base. En voici le principe : soit (e1 , . . . , en+1 )
une base de E. Supposons que l’on a déjà construit une famille orthonormale de E,
(f1 , . . . , fn ) telle que F = Vect {f1 , . . . , fn } = Vect {e1 , . . . , en }. On construit alors un
vecteur gn+1 orthogonal à F en projetant le vecteur en+1 sur F ⊥ . On pose ainsi
gn+1 = en+1 − pF (en+1 ) = en+1 − (< en+1 , f1 > f1 + · · · + < en+1 , fn > fn ) .
Il ne reste plus qu’à le normer en posant fn+1 =
3.4
gn+1
kgn+1 k .
Distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel
Soit F un sev de E euclidien et x ∈ E. On note d(x, F ) = inf{kx − yk | y ∈ F } la
distance de x à F . Le théorème de la projection orthogonale affirme que
d(x, F ) = kx − pF (x)k .
Il généralise ce que l’on avait toujours appris en géométrie. La distance d’un pointA à
une droite d est égale à la distance du point A au point H le projeté orthogonal de A sur
d.
Attention ce résultat peut être faux pour des normes non euclidiennes. Penser à la
norme N1 et à sa sphère unité.
3.5
Distance à un hyperplan
Dans le cas des hyperplans, le projeté se calcule facilement, on a donc :
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Si H est un hyperplan de E de vecteur normal n, alors pour tout x ∈ E,
d(x, H) =
| < x, n > |
.
knk
On en déduit la version affine, si H est un hyperplan affine passant par le point A et
de vecteur normal n, alors pour tout point M de E,
−−→
| < AM , n > |
d(M, H) =
.
knk
En particulier dans R2 , si la droite D a pour équation cartésienne ax + by + c = 0,
pour tout point M de coordonnées (xM , yM ), on a :
d(M, D) =
|axM + byM + c|
√
.
a2 + b2
De même, dans R3 , si le plan P a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, pour
tout point M de coordonnées (xM , yM , zM ), on a :
d(M, P) =
3.6
|axM + byM + czM + d|
√
.
a2 + b2 + c2
Théorème de Riesz
Soit E un espace euclidien. Pour tout vecteur a de E, l’application φa : E → R définie
par φa (x) =< x, a > est une forme linéaire.
Le théorème de Riesz affirme que dans un espace euclidien, toutes les formes linéaires
sont de ce type. C’est à dire que si f est une forme linéaire sur E, il existe un unique
vecteur a de E tel que f = φa .