ON EQUIVALENT SETS OF ELEMENTS IN A FREE GROUP
Transcription
ON EQUIVALENT SETS OF ELEMENTS IN A FREE GROUP
ON E Q U I V A L E N T S E T S O F E L E M E N T S IN A F R E E G R O U P By J. H. C. W H I T E H E A D , Oxford. Two kinds of equivalence are considered, the first of which has already been elucidated by J. Nielsen. This is the equivalence of sets of elements (alt • - -, atn) under transformations of the form a;.—>aia-^ or a* 1 ai and ak->a"-1. A graphical form is given to certain arguments used by Nielsen and a theorem is added which simplifies the test for equivalence. In the second part of the paper two sets of elements (IV1,---, Wm) and (W*v'-', W^) in a free group G, are called equivalent if there is an automorphism of G which carries WK into W\ for each value of X. Using topological methods, a finite process is given which will exhibit the equivalence of equivalent sets. Here the words Wf. and W% may be 'true' or cyclic words and the equivalence test applies to sets of classes of elements as well as to sets of elements. ON T H E G R O U P OF A CERTAIN LINKAGE By M. H. A. NEWMAN, Cambridge, and J. H. C. W H I T E H E A D , Oxford. In a recent paper 1 of Whitehead's it was shown that the residual set, in Cartesian 3-space, R8, of a certain closed set Tœ is a space whose fundamental group is unity, and in which every finite 2-cycle bounds a finite 3-chain; but that R3—Tœ is not the semi-linear homoeomorph of R8 itself. T h e set Tx was defined as the inner limiting set of a sequence of 'tubes', (solid rings), Tn. That R8— T^ and R8 are not homoeomorphic was deduced from the fact that there is a simple closed curve, C, in R8—Tx which cannot be 'disentangled' from Tx, i. e. is such that there is no semi-linear 3-cell containing C, but not meeting 7 ^ ; and this in its turn follows from the same property of Tn. In the paper summarised in this communication a new proof of this last fact is given, by calculating the group of the linkage formed by C and the 'core' of Tn. It is shown that the group is not the free group with two generators, and from this it follows that Tn and C cannot be disentangled, in the more general sense that there is no closed 3-cell (topological image of x2jry2 + z2^ 1) in R8 containing C but not meeting 7"„. This leads to the full result, that R8— Tx is not the homoeomorph, in the general sense, of R8. J. H. C. Whitehead. of Math. 1935 (6 ) 2o8 A certain open manifold w h o s e group is unity, Quartely Journal - 127 TOPOLOGIE DES TRANSFORMATIONS Par B. DE KEREKJARTó, Szeged. Le problème d'homéomorphie de deux transformations est le suivant: Si V et V sont deux variétés homéomorphes, ensuite si T et T' sont des transformations topologiques de ces variétés en elles-mêmes, sous quelles conditions concernant ces transformations existe-t-il une transformation topologique T de V en V telle que T soit la transformée de T par T: T'—-T~{ Tr. La transformation T sera appelée régulière au point P de V, si les puissances de T forment une suite uniformément continue au point P] les points de V pour lesquels cette condition n'est pas vérifiée sont les points singuliers de T. L'ensemble des points singuliers d'une transformation T forme un invariant topologique de T en ce sens que les points singuliers de deux transformations T et T', homéomorphes entre elles, se correspondent par la transformation T qui établit l'homéomorphie de T et de T'. — En cas que V est une surface analytique close et T' est une représentation conforme de V en elle-même, T' n'admet aucun point singulier, si le genre de V est p ^> 1, et elle admet deux points singuliers, au plus, pour p = 0. Ce fait nous donne une condition nécessaire pour qu'une transformation topologique d'une surface en elle-même soit homéomorphe à une représentation conforme; j'ai démontré que cette condition est aussi suffisante pour l'homéomorphie de la transformation à une représentation conforme. — La notion de point régulier ou singulier d'une transformation s'applique aussi aux groupes. J'ai démontré que les transformations d'un groupe continu appliquées dans l'espace du groupe sont régulières en tout point de cet espace. Les groupes des geometries euclidienne et non-euclidiennes ne contiennent que des transformations régulières; cette circonstance facilite la caractérisation topologique de ces groupes. Aussi le groupe homographique peut être caractérisé d'une façon simple à l'aide de ces notions. — Dans les problèmes dynamiques, la notion de stabilité permanente est en rapport direct avec la notion de régularité d'une transformation. Pour en citer un exemple, j'ai démontré qu'une transformation topologique d'une surface close de genre / > > 1 en elle-même admettant un point régulier ne peut pas satisfaire à la condition de transitivité métrique; cela revient à dire que pour un système dynamique à deux degrés de liberté qui admet une surface de section de g e n r e / > > 1 , l'existence d'une solution qui possède la stabilité permanente exclut l'ergodicité du système. — Les détails de la conférence seront publiés dans un mémoire qui paraîtra dans l'Enseignement Mathématique. 128