Calcul intégral
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CALCUL INTEGRAL I) Intégrale d’une fonction Définition : On considère une fonction f dérivable sur un intervalle I, F une primitive de f sur I. Soient a et b deux b éléments de I, le nombre F ( b ) − F ( a ) est indépendant du choix de la primitive F. On note : F ( b ) − F ( a ) = ∫ f(t ) dt . a ∫ b a f(t )dt est l’intégrale de la fonction f entre a et b. On dit aussi : « intégrale de a à b de f » ou encore « intégrale de f sur l’intervalle [a ;b] ». Remarques : • Dans la notation de l’intégrale, la lettre t désigne une variable muette, sans signification particulière. On ∫ peut aussi rencontrer la notation avec x, c’est-à-dire b a f( x )dx . • Une notation commode du nombre F ( b ) − F ( a ) est [ F ( t )]a . b II) Intégrale d’une fonction positive et interprétation graphique 1) Intégrale d’une fonction positive Propriété : Soit f une fonction dérivable et positive sur un intervalle I contenant les nombres a et b (a < b) ; l’intégrale ∫ b a f( x )dx est un réel positif. 2) Interprétation graphique r r Définition : on appelle unité d’aire du repère orthogonal (O, i , j ) , l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont r r longueur du vecteur i et longueur du vecteur j . Propriété : Dans un repère orthogonal, soit D la partie du plan délimitée par la représentation graphique d’une fonction positive f, l’axe des abscisses et les droites (verticales) d’équations x = a et x = b (a < b). L’aire du domaine D mesurée en unité d’aire est égale à ∫ b a f(t )dt . Remarque : pour le calcul en cm² de l’aire du domaine D , l’intégrale ∫ b a f(t )dt est à multiplier par l’aire en cm² du rectangle définissant l’ unité d’aire. (voir exemple ci-dessous). Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f ( x ) = e x + e − x − 2 et C f sa représentation graphique dans un repère r r r r orthogonal (O, i , j ) tel que i = 2 cm et j = 1 cm . Soit D la partie du plan délimitée par C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 2 et A l’aire de D exprimée en cm². Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire A : ¬ Montrer que f est positive sur l’intervalle [0 ;2] pour appliquer la propriété précédente : dans notre exemple, f ( x ) pouvant s’écrire (e x ) 2 − 2e x + 1 ( ex − 1) 2 Cf = , il est ex ex clair que la fonction f est même positive sur R. Á L’aire de D exprimée en unité d’aire est donc égale à ∫ b a f( x )dx ; une primitive de f sur R étant F : x a e x − e − x − 2x , on a : 1 −4. a e2  L’unité d’aire valant 2 cm², on a : A = 2 ( e 2 − e −2 − 4 ) ≈ 6,5 cm² . ∫ b D 2 f( x ) dx = e x − e − x − 2 x 0 = e 2 − 1 1 u.a.= 2 cm² O 1 Calcul intégral 1/2 III) Propriétés de l’intégrale 1) Relation de Chasles Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a, b et c. On a : ¬ ∫ c a b c a b f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . 2) Linéarité de l’intégrale Propriété : Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant les réels a, b et k un nombre réel. α et β sont des nombres réels. On a : Á ∫ b  ∫ b a b k f( x )dx = k ∫ f( x ) dx ; a b b (α f ( x ) + β g ( x ) ) dx = α ∫a f ( x ) dx + β ∫a g ( x ) dx . a 3) Intégrale et inégalité Propriété : Soit f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I contenant les réels a et b (a < b). Si pour tout x de I, on a f ( x ) ≥ g ( x ) alors ∫ b a b f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx . a Remarque : la propriété  permet d’écrire, en prenant α = 1 et β = −1, ∫ b a b Cf b f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx . a a ∆ Dans le cas de deux fonctions f et g positives sur [a ;b] et telles que f ( x ) ≥ g ( x ) sur [a ;b], ∫ b a A= ∫ ( f ( x) − g( x) )dx b a Cg b f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx représente l’aire A, a exprimée en unité d’aire, du domaine ∆ délimitée par les deux courbes C f et C g et les deux droites d’équations x = a et x = b. Cette aire peut donc se calculer directement avec ∫ b a ( f ( x) − g ( x ) ) dx . O x=a x=b IV) Inégalité de la moyenne et valeur moyenne d’une fonction 1) Inégalité de la moyenne Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b) et m, M deux nombres réels. b Si, pour tout x de I, on a : m ≤ f ( x ) ≤ M (on dit que f est bornée), alors m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) a 2) Valeur moyenne d’une fonction Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant les réels a et b (a < b). On appelle valeur moyenne 1 b de f sur l’intervalle [a ;b] le nombre réel µ défini par µ = f ( x ) dx . b − a ∫a Calcul intégral 2/2