Calcul d`aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et
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Calcul d`aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et
INH - ENIHP1 2006-2007 Mathématiques Calcul d’aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et calcul d’aire 1.1 Unité d’aire Définition 1 Soit un repère orthogonal (O, I, J). On appelle unité d’aire, UA, l’aire du rectangle dont O, I et J forment 3 sommets. 1.2 Calcul d’aire et intégrale 1.2.1 Fonction positive Définition 2 Soit f une fonction continue positive sur un intervalle [a, b] (a < b) . Soit Cf sa courbe Rb représentative dans un repère orthogonal. L’intégrale de a à b de la fonction f , notée a f (x)dx, est définie par l’aire exprimée en unité d’aire du domaine D délimité par : – les droites d’équation x = a et x = b, – l’axe des abscisses et, – la courbe Cf Rb On note : a f (x)dx = aire ( D ) Exemple 1 Calculer l’intégrale de -1 à 1 de la fonction f (x) = √ 1 − x2 : 1 −1 1.2.2 0 0 1 Fonction négative et de signe quelconque Définition 3 Soit f une fonction continue négative sur un intervalle [a, b], (a < b) . Soit Cf sa R b courbe représentative dans un repère orthogonal. L’intégrale de a à b de la fonction f , notée a f (x)dx, est définie par l’opposé de l’aire exprimée en unité d’aire du domaine D délimité par : – les droites d’équation x = a et x = b, – l’axe des abscisses et, – la courbe Cf Rb On note : a f (x)dx = - aire (D) (aire algébrique) cours intégration page 1 Exemple 2 Calculer l’intégrale de 0 à 3 de la fonction f (x) = x − 4 : 1 −1 0 0 1 2 3 −1 −2 −3 −4 −5 Définition 4 Soit f une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle [a, b] (a < b) . Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal. L’intégrale de a à b de la fonction f , Rb notée a f (x)dx, est définie comme la somme des aires algébriques des domaines définis à partir des intervalles sur lesquels f (x) garde un signe constant. Rb On note : a f (x)dx = aire(D1 )-aire(D2 )+aire(D3 ) Remarque 1 La notion d’intégrale se généralise à des fonctions continues par morceaux comme l’aire algébrique. Exemple 3 Calculer l’intégrale de 0 à 5 de la fonction en escalier f définie par : – f (x) = 2 si 0 ≤ x < 2, – f (x) = −1 si 2 ≤ x < 4, – f (x) = 1 si 4 ≤ x ≤ 5 5 4 3 2 1 −1 0 0 1 2 3 4 5 −1 1.3 Valeur moyenne Définition 5 Soit une fonction f continue sur un intervalle [a; b]. On appelle valeur moyenne de Rb f (x)dx la fonction f sur [a; b] le réel µ = a . b−a Remarque 2 Cette définition s’étend à une fonction continue de signe quelconque. 1 Exemple 4 Calculer la valeur moyenne de f (x) = x + 1 sur [0; 5]. 2 5 4 3 2 1 −1 0 0 1 2 3 4 5 −1 cours intégration page 2 2 2.1 Propriétés d’une intégrale Propriétés élémentaires Proposition 1 Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux points de I. Ra 1. a f (x)dx = 0 Ra Rb 2. b f (x)dx = − a f (x)dx Rb Rc Rb 3. Relation de Chasles : a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx avec c un point de I. Rb Rb Rb 4. Linéarité : a (f + g)(x)dx = a f (x)dx + a g(x)dx Rb Rb et a λf (x)dx = λ × a f (x)dx, λ ∈ R 2.2 Signe d’un intégrale Proposition 2 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Rb – Si f (x) ≥ 0 sur [a, b] alors a f (x)dx ≥ 0 (positivité de l’intégrale) Rb – Si f (x) ≤ 0 sur [a, b] alors a f (x)dx ≤ 0 Démonstration 2.3 Ordre et intégrale Proposition 3 Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b]. Rb Rb Si f (x) ≥ g(x) sur [a, b] alors a f (x)dx ≥ a g(x)dx Proposition 4 Inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Rb Si m ≤ f (x) ≤ M sur [a, b] alors m(b − a) ≤ a f (x)dx ≤ M (b − a) Démonstration Rπ π dx π ≤ Exemple 5 Justifier sans calculer l’intégrale que √ ≤ 02 √ 2 1 + cos x 2 2 3 3.1 Notion de primitive Définition Définition 6 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I, si elle existe, est une fonction F (x) dérivable sur I telle que F 0 (x) = f (x) pour tout x de I. Remarque 3 La notation usuelle pour écrire une primitive est R f (x)dx Exemple 6 Montrer que F (x) = 3x2 + 5x − 2 est une primitive de f (x) = 6x + 5 sur R. cours intégration page 3 3.2 Ensemble des primitives d’une fonction Proposition 5 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f , alors : – f admet une infinité de primitives sous la forme F (x) + k, k ∈ R ; – toute primitive de f est de la forme F (x) + k, k ∈ R. Démonstration 3.3 Condition d’unicité Proposition 6 Soit f une fonction définie sur I et admettant des primitives sur I. Il existe une unique primitive G de f sur I vérifiant la condition G(x0 ) = y0 . Exemple 7 Trouver la primitive F de f (x) = 2x − 1 vérifiant F (2) = 0. 3.4 Primitives usuelles Primitives et fonctions usuelles :Lecture inverse du tableau des dérivées f (x) = F (x) sur f (x) = F (x) sur k cos x x sin x n ∗ x ,n ∈ N tan x 1 ln x x 1 xα , α ∈ R \ {−1} 1 + x2 1 √ ex 1 − x2 ax e Primitive et opérations sur les fonctions : u étant une fonction dérivable sur I f (x) = F (x) sur f (x) = F (x) sur 0 0 u u (ax + b) ue un u0 , n ∈ N u0 sin u u0 √ uα u0 , α ∈ R \ {−1} 2 u u0 u0 u 1 + u2 cours intégration page 4