Calcul d`aire et intégrale - Pagesperso

Transcription

[ Calcul d’aire et intégrale \
Table des matières
I
Activité d’introduction
1
II Définition de l’intégrale
1
Intégrale d’une fonction continue et positive . . . . . . . .
2
Intégrale d’une fonction continue et négative . . . . . . .
3
Intégrale d’une fonction continue et de signe quelconque
4
Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . .
5
Remarque et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Lien entre intégrale et dérivée
1
Aire et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Intégrale fonction de sa borne supérieure .
3
Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a)
Application au calcul d’intégrales .
b)
Tableau des primitives . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
3
3
3
.
.
.
.
.
3
3
4
5
5
6
IV Valeur moyenne d’une fonction
V Propriétés des intégrales
1
Propriétés de linéarité .
2
Relation de Chasles . . .
3
Positivité . . . . . . . . .
4
Ordre et intégrale . . . .
5
Inégalité de la moyenne
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
VI Correction de l’activité d’introduction
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
8
8
9
Calcul d’aire et intégrale
I Activité d’introduction
f (x k )
f (x k−1 )
O
x1
x2
x k−1
xk
x n−1
xn = a
On considère la fonction f définie sur [ 0 ; a ] avec a > 0 par f (x) = x 2
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, on partage l’intervalle [ 0 ; a ] en n intervalles de même amplitude
[x k−1 ; x k ], on définie donc les réels :
x 0 = 0, x 1 =
a
2a
ka
, x2 =
, . . . , xk =
, . . . , xn = a
n
n
n
On appelle A l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et la droite d’équation x = a et pour tout entier k, 1 É k É n, on appelle Ak l’aire du domaine limité par l’axe des abscisses, la
courbe représentative de f et les droites d’équations x = k − 1 et x = k.
1. a. Justifier que, pour tout k, 1 É k É n, on a :
µ
¶
µ ¶
a ka 2
a (k − 1)a 2
É Ak É
n
n
n n
b. En déduire que pour tout n Ê 2 :
µ
µ
¶ ¶
µ
µ ¶2
µ ¶2
³ na ´2 ¶
(n − 1)a 2
a ³ a ´2
2a
2a
a ³ a ´2
+···+
+···+
ÉA É
+
+
n n
n
n
n n
n
n
2. On pose :
µ ¶2
µ ¶
µ
¶ ¶
µ
X ka 2 a ³ a ´2
a n−1
2a
(n − 1)a 2
un =
+
+···+
=
n k=1 n
n n
n
n
µ
µ
¶
µ
¶
³ na ´2 ¶
n
2a 2
ka 2 a ³ a ´2
a X
+
vn =
+···+
=
n k=1 n
n n
n
n
a. Montrer que pour tout entier n > 0 :
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
a 3 (n − 1)n(2n − 1)
a 3 n(n + 1)(2n + 1)
b. En déduire que u n =
et
que
v
=
n
6n 3
6n 3
c. Calculer les limites des suites (u n ) et (v n )
12 + 22 + · · · + n 2 =
d. En déduire la valeur de A
1
3. Soit F la fonction définie sur [ 0 ; +∞[ par F(a) = a 3 .
3
Dériver F. Que remarque-t-on ?
Cours
http://mathparadise.pagesperso-orange.fr
Page 1/10
II Définition de l’intégrale
Dans toute cette partie, f est une fonction³définie et´ continue sur un intervalle [a; b] et C est la courbe repré−
→−
→
sentative de f dans un repère orthogonal O; OI,OJ . L’unité d’aire est le rectangle OIKJ.
1 Intégrale d’une fonction continue et positive
Définition
J
K
O
a
I
b
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b]
Zb
f (x)dx, est l’aire du domaine situé entre la courbe, l’axe
L’intégrale de a à b de la fonction f , notée
a
des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b
2 Intégrale d’une fonction continue et négative
Définition
J
K
a
O
b
I
Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a; b]
Zb
f (x)dx, est l’opposé de l’aire du domaine situé entre la
a
courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b
Cours
Page 2/10
3 Intégrale d’une fonction continue et de signe quelconque
Définition
J
O
+
K
I
+
a
−
Zb
b
f (x)dx, correspond à l’aire du domaine situé entre la
a
courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b comptée :
– positivement lorsque C est au-dessus de l’axe des abscisses ;
– négativement lorsque C est au-dessous de l’axe des abscisses ;
4 Intégrale d’une fonction en escalier
Définition
La définition précédente se généralise aux fonctions en escalier
5 Remarque et compléments
Dans les définitions précédentes, on travaillait sur un
Zintervalle [a; b], on avait donc a < b.
a
Si a = b on obtient :
Si a > b, on défini l’intégrale de a à b par :
Zb
a
f (x)dx = 0
Za
f (x)dx
f (x)dx = −
a
b
III Lien entre intégrale et dérivée
1 Aire et dérivée
On considère une fonction f continue, positive et croissante sur l’intervalle I = [a ; b]
Pour tout réel x 0 de [a ; b], on note A (x 0 ) l’aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un
repère orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = x 0 .
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [a ; b] a pour dérivée f .
Cours
Page 3/10
f (x 0 + h)
f (x 0 )
f (x 0 − h)
a
x0 − h x0 x0 + h
b
1. Soit x 0 un réel quelconque de I et h un réel strictement positif tel que x 0 + h ∈ I.
Justifier l’encadrement suivant :
f (x 0 ) É
A (x 0 + h) − A (x 0 )
É f (x 0 + h).
h
A (x 0 − h) − A (x 0 )
?
−h
3. En déduire la dérivabilité en x 0 de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en x 0 de la fonction A .
2. Lorsque x 0 − h ∈ I , donner un encadrement de
4. Conclure.
2 Intégrale fonction de sa borne supérieure
Théorème
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle
Z I et a un réel de I.
x
On définie une fonction F sur I par F(x) =
′
f (t )dt alors la fonction F a pour dérivée f .
a
C’est à dire, pour tout réel x ∈ I, F (x) = f (x)
Démonstration
La démonstration a été faite dans le paragraphe précédent, dans le cas d’une fonction positive et croissante.
Cette propriété sera admise dans le cas général.
Cours
Page 4/10
3 Primitive
Définition
F est une primitive de f sur un intervalle [a; b] signifie que :
F est dérivable sur [a; b] et pour tout x ∈ [a; b] on a F′ (x) = f (x)
Le théorème précédent peut s’énoncer sous la forme :
F est la primitive de f qui s’annule en a.
Il nous permet d’affirmer que toutes les fonctions continues admettent des primitives.
Propriété des primitives
Propriété
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f alors toutes les primitives de f
sont les fonctions de la forme F + k où k est une constante réelle.
Démonstration
• Démontrons que toutes les fonctions de la forme F + k sont des primitives de f :
Pour tout réel k,la dérivée de la fonction F + k est F′ = f donc F + k est une primitive de f
• Réciproquement, soit G une autre primitive de f . Considérons la fonction G − F, elle est dérivable comme
différence de deux fonctions dérivables et sa dérivée vaut (G − F)′ = G′ − F′ = f − f = 0.
On peut en déduire que la fonction G − F est constante, il existe donc un réel k ∈ R tel que, pour tout x ∈ I,
G(x) = F(x) + k
a) Application au calcul d’intégrales
Théorème
Soit f une fonction continue sur I, a et b deux réels de I et F une primitive de f sur I alors
Zb
a
h
ib
f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
a
Démonstration
D’après le théorème précédent,
Zb
a
f (x)dx = G(b) où G est la primitive de f qui s’annule en a. F étant aussi
une primitive de f , il existe une constante k ∈ R telle que, pour tout reél x de I, G(x) = F(x) + k. On a donc
G(a) = F(a) + k et G(b) = F(b) + k et par conséquent G(b) − G(a) = F(b) − F(a) et comme G(a) = 0 on a bien
Zb
f (x)dx = G(b) − G(a) = F(b) − F(a)
a
Cours
Page 5/10
b) Tableau des primitives
Fonctions
Primitives
a constante
ax
xn
1
x n+1
n +1
Pour tout n ∈ Z − {−1}
ln |x|
x doit garder un signe constant
1
x
ex
ex
1
p
x
p
2 x
sin x
− cos x
cos x
sin x
Remarques
x strictement positif
Dans ce tableau, u, v sont des fonctions qui admettent pour primitives respectives U et V.
Fonctions
Primitives
u+v
U+V
ku
kU
k constante
u′un
1
u n+1
n +1
Pour tout n ∈ Z − {−1}
ln |u|
u doit garder un signe constant
u′
u
u ′ eu
eu
u′
p
u
p
2 u
u ′ sin u
− cos u
u ′ cos u
sin u
Remarques
u strictement positif
IV Valeur moyenne d’une fonction
Définition
f étant une fonction continue sur l’intervalle [a; b].
La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a; b] est le réel :
1
b−a
Cours
Zb
f (x)dx
a
Page 6/10
V Propriétés des intégrales
1 Propriétés de linéarité
Propriété
f et g étant deux fonctions continues sur l’intervalle I, a et b deux réels de I et k un réel quelconque.
Zb
Zb
Zb
f (x) + g (x)dx =
f (x)dx +
g (x)dx
a
Zb
a
a
k f (x)dx = k
Zb
a
f (x)dx
a
Démonstration
Ces propriétés seront admises
2 Relation de Chasles
Propriété
f étant une fonction continue sur l’intervalle I, a, b et c trois réels quelconque de I.
Zb
a
f (x)dx =
Zc
a
f (x)dx +
Zb
f (x)dx
c
3 Positivité
Propriété
f étant une fonction continue sur l’intervalle I, a et b deux réels de I.
Si a É b et pour tout x ∈ [a; b] on a f (x) Ê 0 alors
Zb
a
f (x)dx Ê 0
Démonstration
Cette propriété découle de la définition de l’intégrale
Cours
Page 7/10
4 Ordre et intégrale
Propriété
f et g étant deux fonctions continues sur l’intervalle I, a et b deux réels de I.
Si a É b et pour tout x ∈ [a; b] on a f (x) É g (x) alors
Zb
a
f (x)dx É
Zb
g (x)dx
a
Démonstration
Pour tout x ∈ [a; b] on a f (x) É g (x) alors g (x) − f (x) Ê 0 on peut donc utiliser la propriété de positivité donc
Zb
g (x) − f (x)dx Ê 0
a
Zb
Zb
Zb
Zb
g (x)dx
f (x)dx É
f (x)dx Ê 0 d’où
g (x)dx −
Il suffit d’utiliser la propriété de linéarité :
a
a
a
a
5 Inégalité de la moyenne
Propriété
f étant une fonction continue sur l’intervalle I, a et b deux réels de I et m et M deux réels.
Zb
Si a É b et pour tout x ∈ [a; b] on a m É f (x) É M alors m(b − a) É
f (x)dx É M(b − a)
a
Interprétation graphique dans le cas où f est positive
J
I
H
G
E
F
M
m
a
b
L’aire sous la courbe est comprise entre l’aire du rectangle EFGH et et celle du rectangle EFIJ
Démonstration
Il suffit d’utiliser la propriété précédente :
Zb
a
mdx É
Zb
a
f (x)dx É
Zb
Mdx
a
Or lorsque la fonction est constante, son intégrale est le produit de cette constante par la longueur de l’intervalle d’où :
Zb
m(b − a) É
f (x)dx É M(b − a)
a
Cours
Page 8/10
Remarque
Cette propriété est très utile car elle permet d’encadrer une intégrale que l’on ne sait pas calculer, il suffit de
majorer et de minorer la fonction à intégrer.
VI Correction de l’activité d’introduction
f (x k )
f (x k−1 )
x k−1
xk
1. a. Comme le suggère le graphique, la fonction f étant croissante, pour tout k, 1 É k É n, l’aire Ak est comet l’aire du grand rectangle
.
a
Or ces deux rectangles ont pour largeur x k − x k−1 =
et pour longueur respective
n
¶2
µ ¶2
µ
ka
(k − 1)a
et f (x k ) =
.
f (x k−1 ) =
n
n
µ
¶
µ ¶
a ka 2
a (k − 1)a 2
É Ak É
On en déduit que :
n
n
n n
b. L’aire A étant la somme des aires Ak , pour k variant de 1 à n, il suffit d’ajouter membre à membre les n
inégalités précédentes, on obtient donc que pour tout n Ê 2 :
µ ¶2
µ ¶2
µ
µ
¶ ¶
µ
³ na ´2 ¶
a ³ a ´2
2a
2a
(n − 1)a 2
a ³ a ´2
+
+
+···+
ÉA É
+···+
n n
n
n
n n
n
n
n(n
+
1)(2n
+ 1)
.
2. a. Montrons par récurence que pour tout entier n > 0 : 12 + 22 + · · · + n 2 =
6
1(1 + 1)(2 × 1 + 1)
Initialisation : 12 = 1 et
= 1, la propriété est vraie au rang le plus bas.
6
Hérédité : Supposons qu’il existe une certain entier n tel que :
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 2 2 + · · · + n 2 =
6
prise entre l’aire du petit rectangle
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2
6
n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2
=
6
= ···
(n + 1)(2n 2 + 7n + 6)
=
6
(n + 1) ((n + 1) + 1) (2(n + 1) + 1)
(n + 1)(2n 2 + 7n + 6)
Or
= ··· =
6
6
(n + 1) ((n + 1) + 1) (2(n + 1) + 1)
2
2
2
2
Donc 1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
6
La propriété se transmet au rang suivant.
n(n + 1)(2n + 1)
.
Conclusion : Pour tout entier n > 0, 12 + 22 + · · · + n 2 =
6
donc 12 + 22 + · · · + n 2 + (n + 1)2 =
Cours
Page 9/10
µ
µ
¶ ¶
µ ¶2
a ³ a ´2
(n − 1)a 2
2a
un =
+···+
+
n n
n
n
³ a ´3 ¡
¢
un =
12 + 22 + · · · + (n − 1)2
n
b.
³ a ´3 (n − 1)n(2n − 1)
un =
n
6
µ
µ ¶2
³ na ´2 ¶
2a
a ³ a ´2
+···+
+
vn =
n n
n
n
³ a ´3 ¡
¢
vn =
1 2 + 22 + · · · + n 2
n
³ a ´3 n(n + 1)(2n + 1)
vn =
n
6
a 3 (n − 1)n(2n − 1)
a 3 (n + 1)(2n + 1)
v
=
n
6n 3
6n 2
c. Pour calculer les limites des suites (u n ) et (v n ), il suffit de chercher la limite du quotient des monômes
de plus haut degré :
2a 3 n 3 1 3
2a 3 n 3 1 3
=
a
et
lim
v
=
lim
= a
lim u n = lim
n
n−→+∞
n−→+∞ 6n 3
n−→+∞
n−→+∞ 6n 3
3
3
d. Pour tout entier n > 0, on a : u n É A É v n
un =
En passant à la limite et en remarquant que A ne dépend pas de n on obtient :
1
1 3
a É A É a3
3
3
1 3
donc
A= a
3
3. F est dérivable car c’est une fonction polynôme et pour tout réel a ∈ [ 0 ; +∞[ on a :
1
F′ (a) = 3a 2 = a 2 = f (a)
3
F est donc une primitive de f
Cours
Page 10/10

Calcul d`aire et intégrale - Pagesperso

Transcription

Documents pareils

Reconnaissance après la naissance

Le Jour d`après

Gens du voyage - Site de la ville de Saint Chamond

Calcul d`aire et Calcul intégral : fonctions continues 1 Intégrale et

Être, Dire et Faire

Formulaire - Demande extrait acte de décès

Synthèse de cours (Terminale ES) → Calcul intégral

6 Intégration

Carte 5 Asie orientale

Calcul intégral