Théorème de l`enveloppe, J–Paul Tsasa Laboratoire d`Analyse

Théorème de l’enveloppe, J–Paul Tsasa
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One Pager
Janvier 2013
Vol. 5 – Num. 005
Copyright © Laréq 2013
http://www.lareq.com
Théorème de l’EnvEloppE et Conditions KKT
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu1
« La musique est une mathématique sonore, la mathématique est une musique silencieuse »
Edouard Herriot
Résumé
L’objectif poursuivi dans ce papier est double : (i) présenter, de manière pédagogique, le
théorème de l’enveloppe et (ii) l’illustrer par quelques exemples classiques. Au passage, le
papier mentionne le théorème de Karush – Kuhn – Tucker (conditions de Kuhn – Tucker ou
conditions KKT), un des inputs dans la démonstration du théorème de l’enveloppe, et en fournit,
par ailleurs, une illustration intuitive.
Mots – clé : Théorèmes de l’enveloppe, de fonction implicite et de Karush – Kuhn – Tucker.
Abstract
This paper seeks to present, in a simple and rigorous language, the envelope theorem. Also, we
illustrate this theorem with a few classic examples. Further, we discuss of the theorem of
Karush - Kuhn - Tucker conditions (Kuhn - Tucker conditions), input in the proof of the envelope
theorem.
Introduction
En analyse économique, on note plusieurs applications, notamment en modélisation macroéconomique et
en analyse microéconomique, qui utilisent le théorème de l’enveloppe pour identifier la nature de la
réponse de la valeur d’une fonction à l’optimum à la suite d’une variation d’un de ses paramètres. Dans
ce papier, nous nous proposons de présenter et de démontrer, plus rigoureusement, ledit théorème. En
un premier temps, nous présentons l’un des inputs caractéristiques du théorème en cause, avant d’en
proposer, dans un second temps, une démonstration et quelques applications classiques.
Théorème de Karush – Kuhn – Tucker
Avant d’aborder les aspects purement techniques, considérons un exemple intuitif, afin de fixer nos idées
sur l’objet de ce papier. Considérons une fonction univariée
décrivant l’équation d’une
parabole telle que :
Au regard de différentes valeurs prises par le paramètre
Supposons qu’on fixait le paramètre
Dans ce cas, en exécutant la condition du premier ordre
d’optimisation, on peut déterminer la valeur de
1
il y a lieu d’établir une famille de paraboles.
qui maximise la fonction
:
Université de Montréal (Ph.D. student) et Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative (Chercheur).
Mail : [email protected].
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Ainsi, on obtient les résultats suivants.
Tableau 1 : Solution de l’équation de la parabole à l’optimum
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
2,25
2,5
0
0,0625
0,25
0,5625
1
1,5625
2,25
3,0625
4
5,0625
6,25
Il vient qu’on peut donc visualiser la relation (quadratique) existant entre les valeurs du paramètre
fixées, et celles de la fonction
à l’optimum,
Figure 1 : Illustration du théorème de l’enveloppe
7
6
5
4
y*=f(x*;k)
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dès lors, si l’on s’intéressait à l’effet d’une variation infinitésimale de
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sur la fonction
tel que
c’est – à – dire :
Il nous suffirait d’appliquer le théorème de l’enveloppe, d’après lequel :
Avant de proposer sa formalisation, nous nous proposons de présenter un résultat qui nous servira
d’input par la suite. Il s’agit du théorème de Karush – Kuhn – Tucker qui fut, tout d’abord, présenté par
le mathématicien William Karush en 1939, dans son mémoire de master (mais cela passa inaperçu), et
par la suite, par les mathématiciens Albert Tucker et Harold Kuhn, dans un article publié en 1951.
Soit un problème de maximisation sous contrainte exprimé comme suit.
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Soit
et
Définissons
où
le support de ces
contraintes saturées avec
Les conditions de Kuhn – Tucker impliquent l’existence de multiplicateurs de Lagrange
et
tels que la condition nécessaire et la condition suffisante tiennent :

Condition nécessaire (conditions du premier ordre d’optimisation) :

Condition suffisante (conditions de relâchement supplémentaire ou Complementary slackness
condition) :
Pour illustrer ce théorème, considérons l’exemple classique suivant.
Saturons les contraintes :
et
Sachant que la solution
satisfaisant les contraintes d’égalité, satisfait également les contraintes d’inégalité, de ce fait, on peut
écrire :
Les conditions du premier ordre d’optimisation (conditions nécessaires), associées à ce programme,
sont :
;
;
;
;
;
;
;
Parallèlement, les conditions de relâchement
supplémentaire (complementary slackness condition) sont :
Ainsi obtient – on les conditions de Karush – Kuhn – Tucker.
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Théorème de l’enveloppe
Après avoir passé en revue le théorème KKT, il devient plus aisé d’énoncer et de prouver le théorème de
l’enveloppe. Considérons à cet effet, un problème de maximisation sous contrainte tel que :
Soit
Notons
le multiplicateur de Lagrange associé aux contraintes d’inégalité et
contraintes d’égalité tels que
différentiable à
et
celui associé aux
Le théorème de l’enveloppe suppose que
est
tel que :
Démonstration.
On sait que :
Par hypothèse,
est différentiable en
existe et
est différentiable par le théorème de la
fonction implicite. Ainsi :
Soit
dénote les
En différentiant
et
on a :
et
En appliquant les conditions de Karush – Kuhn – Tucker, il vient que :
De
et
on obtient :
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Dans l’exemple introductif, nous avons appliqué le théorème de l’enveloppe à une fonction univariée.
Considérons, à présent, une fonction multivariée telle que :
Ainsi :
Dès lors, le théorème de l’enveloppe peut s’appliquer :
Parallèlement, en considérant un problème d’optimisation sous contrainte, la règle reste identique :
Dès lors, on peut appliquer le théorème de l’enveloppe.
Ainsi, l’effet de
sur
est capté par :
In fine, signalons que ce papier n’avait pas pour objectif d’énumérer toutes les applications du théorème
de l’enveloppe dans la profession de l’économiste, mais plutôt d’extraire, parmi celles retenues, les
intuitions nécessaires à son utilisation. Aussi, il convient de noter que, dans le cadre des activités du
Laboratoire, telles que prévues dans le volume 5 de One pager Laréq, ce résultat sera, plus
spécifiquement, sollicité dans la formalisation des problèmes d’optimisation dynamique et dans la
dérivation des équations de Bellman, matières qui seront traitées dans les papiers à venir.
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Bibliographie
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Jersey, 990p.
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