Théorème de Cauchy-Lipschitz

Sandrine C ARUSO
Théorème de Cauchy-Lipschitz
Référence : J.P Demailly, Analyse numérique et équations différentielles
On s’intéresse au problème de Cauchy
0
X = f (t, X)
X(t0 ) = x0
(1)
où f : U → Rn , avec U ouvert de R × Rn , et (t0 , x0 ) ∈ U .
Théorème (Cauchy-Lipschitz). Si f est continue sur U , et localement lipschitzienne en
X (ie pour tout (t1 , x1 ) ∈ U , il existe V ∈ V(x1 ) et W ∈ V(t1 ), et il existe k > 0, tels
pour tous x, y ∈ V et tout t ∈ W , kf (t, x) − f (t, y)k 6 k kx − yk), alors (1) admet
une unique solution maximale.
Remarquons que, comme f est continue, X est solution de (1) sur I si et seulement
si pour tout t ∈ I,
Z
t
X(t) = x0 +
f (u, X(u))du.
(2)
t0
Soient V ∈ V(x0 ), W ∈ V(t0 ) et k > 0 comme dans l’énoncé du théorème. Notons M = supW ×V f . Plaçons-nous sur un cylindre de sécurité : soit r > 0 tel que
B(x0 , r) ⊂ V , et soit T > 0 tel que T 6 Mr , et [t0 − T, t0 + T ] ⊂ W . Soit F l’ensemble
des fonctions continues de [t0 − T, t0 + T ] dans B(x0 , r). Alors F, muni de la norme
uniforme, est un espace complet.
Soit Φ l’opérateur sur F défini par
Z
t
Φ(Y )(t) = x0 +
f (u, Y (u))du.
t0
Le fait d’avoir choisi T < Mr assure que si Y ∈ F, Φ(Y ) est encore dans F. L’équation
intégrale (2) affirme en outre qu’une fonction X de classe C 1 est solution de (1) si et
seulement si elle est point fixe de Φ. Cherchons donc à appliquer un théorème de point
fixe.
Soient Y, Z ∈ F. Montrons par récurrence que, pour tout p ∈ N,
∀t ∈ [t0 − T, t0 + T ], kΦp (Y )(t) − Φp (Z)(t)k 6
k p |t − t0 |p
kY − Zk∞ .
p!
Cette égalité est vérifiée pour p = 0, par définition de k·k∞ .
1
Soit p ∈ N. Pour tout t ∈ [t0 − T, t0 + T ],
Z
p+1
t
Φ (Y )(t) − Φp+1 (Z)(t) 6 kf (u, Φp (Y )(u)) − f (u, Φp (Z)(u))k du
Zt0t
6 k kΦp (Y )(u) − Φp (Z)(u)k du (f loc. lip.)
Zt0t p
k |t − t0 |p
6 k
kY − Zk∞ dt (par hyp. de récurrence)
p!
t0
k p+1 |t − t0 |p+1
kY − Zk∞ ,
=
(p + 1)!
ce qui conclut la récurrence.
En particulier, pour tout p ∈ N et tous Y, Z ∈ F,
kΦp (Y ) − Φp (Z)k∞ 6
p
p
kpT p
kY − Zk∞ .
p!
p
p
Or, k p!T tend vers 0 lorsque p tend vers l’infini, donc il existe p ∈ N tel que k p!T < 1.
D’après le théorème du point fixe de Picard, Φ admet un Rpoint fixe X sur F.
t
En outre, comme X et f sont continues, t 7→ x0 + t0 f (u, X(u))du est de classe
C 1 , et donc le point fixe X est de classe C 1 . Finalement, X est l’unique solution de (1)
sur [t0 − T, t0 + T ].
Elle se prolonge en au moins une solution maximale. Supposons qu’il existe deux
tels prolongements X1 et X2 sur deux intervalles I1 et I2 . L’intervalle I1 ∩ I2 est non
vide, puisqu’il contient [t0 − T, t0 + T ]. Soit J le plus grand intervalle inclus dans
I1 ∩ I2 , contenant [t0 − T, t0 + T ], tel que X1 − X2 soit nulle sur J. Cet intervalle
est nécessairement fermé puisque X1 − X2 est continue. S’il n’est pas égal à I1 ∩ I2
tout entier, en l’une de ses bornes, on peut appliquer l’unicité locale précédemment
démontrée1 , et contredire la maximalité de J. Donc J = I1 ∩ I2 , ainsi X1 et X2 sont
égales sur I1 ∩ I2 , et par définition de solution maximale, I1 = I2 = I1 ∩ I2 . Finalement,
X se prolonge en une unique solution maximale, ce qui conclut.
1
Avec la condition initiale adéquate...
2