Lycée Louis-Le-Grand, Paris 2014/2015 MPSI 4

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2014/2015
Programme des colles de la semaine 2 (06/10 – 11/10)
I. Applications et relations
3. Relations
• Relation n-aire, arité. Relation binaire.
• Exemple : relation fonctionnelle.
• Représentation sagittale d’une relation de E à F ; représentation par un graphe d’une relation sur E.
• Composée et réciproque d’une relation.
• Reflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité.
• Relations d’équivalence :
∗ Définition. Classes d’équivalence.
∗ Les classes d’équivalences forment une partition de E.
∗ (HP) La notion d’ensemble quotient a été définie, mais est hors-programme.
∗ (HP) Notion de congruence (relation respectant une opération). Passage au quotient d’une congruence
∗ (HP) Définition de Z/nZ et des lois d’addition et multiplication. Théoriquement, Z/nZ n’est pas au programme de Sup, mais nous en parlerons largement cette année.
• Relations d’ordre :
∗ Définition, relation stricte associée.
∗ Ordre total, ordre partiel.
∗ Restriction
∗ Minimum, maximum, borne supérieure, borne inférieure.
∗ (HP) Élément minimal, maximal, ensemble inductif, lemme de Zorn.
II. Sommes
P
Q
1. Manipulation des signes
et
P Q
• Définition intuitive des signe
et
sur un ensemble quelconque
• Cas de la somme et du produit sur un ensemble d’entiers consécutifs ; notation.
• Somme vide, produit vide.
• Transformation
X
X d’un
Xproduit en somme par application du ln
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ai =
ai +
ai (I et J disjoints)
i∈I⊔J
i∈I
i∈J
Cas d’une union non disjointe. Lien avec la formule du cardinal d’une union.
Sommation par groupements de termes (somme sur une partition à parts éventuellement vides)
P
Linéarité du symbole .
Somme de termes constants
Règles similaires pour les produits
Changement d’indice, défini par une bijection f : I → J.
Cas d’une translation des indices, lorsqu’on somme sur des entiers consécutifs.
Sommes télescopiques. Calcul d’une somme télescopique. Produit télescopique.
P
Sommes multiples, coupes d’un sous-ensemble de I × J, interversion de signes
sur un sous-ensemble de
I ×J
• Cas particuliers importants : somme sur un pavé, somme sur un triangle.
• Produit de deux sommes
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2. Rapide introduction aux séries
Le but de ce paragraphe est de donner certains outils pour pouvoir utiliser dès maintenant les commodités liées
à l’étude des séries dans les exercices ou problèmes. En aucun cas on ne posera cette semaine d’exercice trop
technique sur ce sujet, qui sera repris plus tard.
• Notion de série, somme partielle, convergence, divergence, somme.
• Théorème de comparaison des séries à termes positifs (démontré en admettant pour le moment le théorème
de convergence monotone)
• Nature des séries de Riemann (non démontré)
• Nature et somme des séries géométriques (démontré à la fin du chapitre)
3. Sommes classiques
• Sommes de puissances d’entiers Sp (n) =
n
X
i=0
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ip . Cas p = 0, 1, 2, 3 à connaître. Méthode de calcul de proche en
proche à connaître. Illustration géométrique des cas n = 1 et n = 3.
Somme des entiers impairs consécutifs. Illustration géométrique.
Sommes géométriques
Factorisations de an − bn et an + bn .
Coefficients binomiaux : définition combinatoire, diverses interprétations combinatoires ; formule par les factorielles.
Formule de symétrie, formule « comité-président », formule de Pascal (démonstration combinatoire, ou par
factorielles).
Triangle de Pascal.
Formule du binôme (démonstration par récurrence, ou par développement formel).
(HP) Coefficients multinomiaux, définition combinatoire par les partitions ; formule du multinôme (par développement formel).
Limite des suites géométriques
Convergence et somme des séries géométriques.