Matrices inversibles

Chapitre IV
Matrices inversibles - Applications
1
Inverse d’une matrice carrée
Définition 1 Soit A une matrice carrée d’ordre n ≥ 2. Dire que A est inversible signifie
qu’il existe une matrice carrée d’ordre n telle que AB = BA = In .
Propriété 1 S’il existe B telle que AB = In (ou BA = In ), alors A est inversible.
Propriété 2 Si A est inversible, son inverse est unique et notée A−1
a b
Propriété 3 Une matrice carrée A =
d’ordre 2 est inversible si et seulement si son
c d
déterminant ad − bc est non nul. 1
d
−b
.
Dans ce cas, on a A−1 =
ad − bc −c a
Remarque 1 Dans la pratique, on utilisera la calculatrice pour inverser une matrice.
2
Écriture matricielle d’un système linéaire
Soit (S) le système :
2x − 3y = 1
.
5x + 7y = −3
2 −3
x
1
(S) s’écrit sous forme matricielle AX = B avec A =
;X=
et B =
5 7
y
−3
Propriété 4 Soit A une matrice carrée inversible et B une matrice colonne.
Le système dont l’écriture matricielle est AX = B admet une unique solution : X = A−1 B.
Démonstration :
−1
−1
Si AX = B et A inversible alors |A−1
{zA} X = A B soit X = A B.
In
Réciproquement, si X = A−1 B alors AX = AA−1 B = B.
On a donc bien AX = B ⇐⇒ X = A−1 B.
1
3
Matrices diagonalisables
Définition 2 Soit A une matrice carrée d’ordre n. On dit que A est diagonalisable s’il existe
une matrice carrée P d’ordre n inversible et une matrice D diagonale telles que A = P DP −1
Remarque 2 Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. Déterminer si une matrice
est diagonalisable nécessite des connaissances d’algèbre linéaire hors-programme. En TS, on
donnera donc les matrices P et D telles que A = P DP −1. On peut aussi utiliser un logiciel
de calcul formel. Par exemple, sous xcas, l’instruction jordan(A) donne, si elles existent, les
matrices P et D. L’intérêt de la diagonalisation réside dans la propriété qui suit (énoncée
pour les matrices d’ordre 2) qui se démontre facilement par récurrence :
Propriété 5 Soit A une matrice carrée d’ordre 2 telle que A = P DP −1
n
a
0
n
n −1
P −1 .
Alors, pour tout n ∈ N, A = P D P = P
0 bn
2
a 0
.
avec D =
0 b